Appunti di Elettromagnetismo

Elettromagnetismo

04-10-2012 Campo vettoriale: S (x,t)

• ∇×S: campo vettoriale stazionario

∇ dipende dal tempo

∇ = ∑ (∂/∂x_i) e_i = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z) > triviante se ∇ dipende o no dal tempo -> ∇ agisce solo su coordinate spaziali

Campi vettoriali conservativi e irrotazionali: S è conservativo sse è una funzione scalare φ(x,t) te ∇S(x,t) = ∇(∇φ) sse ∇(∇φ) = (∂φ/∂x, ∂φ/∂y, ∂φ/∂z) (campo gravitazionale)

Def: Campo irrotazionale ↔ ∇×S(x,t) = 0 in ogni punto

Teorema Se S è conservativo o è anche irrotazionale

Ωi = Ωi

[∇×(∇f)]_i = Σ ε_ijk ∂_j ∂_k f = 0 > armonico simmetrico f = f_ij = f_ji

(a×b)_i = ε_ijk a_j b_k = ε_ilm a_l b_m indice libero

(a×b)_i = ε_ijk a_j b_k = ε_lmn a_l b_m - ∂

Sia ∇ e t∇ ≠ 0 ⟹ ∇ = ∂_i se D è semplicemente connesso

Dominio semplicemente connesso: si tocca un centro e un qualsiasi punto P è possibile collegarli con un segmento

Curva chiusa in una regione tridimensionale è un dominio semplicemente connesso se possiamo tenere questa parte e la curva si connette con un punto

06/10/2022

Campo di velocità di un fluido soggetto a un moto rotatorio. L'origine dell'andamento rotatorio è nell'origine, proprio dove il campo non è definito.

Campo radiale - decresce allontanandosi dall'origine

Interazione gravitazionale Interazione elettrostatica

La natura radiale del campo entra in gioca nei trsf. e la densità delle linee di campo

Parametrizzazione della curva

Algoritmo per la determinazione dell'equazione anonima delle linee di campo

Esempio

Verificare che è irrotazionale e conservativo

più ci si allontana dal punto origine, il campo diventa intenso

Linee di campo tendenti alla tangente dalla origine

Esercizi

1. δ(kx) = 1/|k| δ(x)
2. ∫ δ(x - xi) f(x) dx = f(xi)
3. δ(g(x)) = Σ (δ(x - xi) / |g'(xi)|), xi = 1,...,n sono le radici di g(x)

ipotesi: funzione gradino

dimostrazioni

4. δ(kx) = 1/|k| δ(x)

u = kx, x = u/k

2. x dδ(x) = δ(x)

∫x dδ(x) f(x) dx = ∫x d(f(x) δ(x)) - ∫ f(x) d(x δ(x))

∫x d(f(x) δ(x)) = ^∞v ₀ x f(x) δ(x) - ∫ f(x) d(x δ(x)) = ^∞v _-∞ x f(x) δ(x)

3. - e^-f(x)

4. δ(g(x)) = Σ δ(x-xi)/|g'(xi)|

Dimostriamo che la soluzione è unica

∇·v = ∇·v_om + ∇·v_s ≠ 0

∇_xV_s = 0

V_s = 0

è lecito assumere come vettoriale che soddisfa

quelle proprietà e si annulla

all’interno e quello identicamente nullo

∇·v = 0 (7)

∇×v = 0 (7)

18-10-2022

Regime elettrostatico: cariche e correnti sorgente ferme.

\[\vec{J}_s=\vec{0} \Rightarrow \begin{cases} \nabla\cdot\vec{E}=\rho/\epsilon_0 \\ \nabla\times\vec{E}=\vec{0} \end{cases}\]

\[\vec{B}=\vec{0}\]

\[\rho[\vec{r}]=\sum_i Q_i \delta(\vec{r}-\vec{r_1})(C/m^3)\]

\[\vec{E}[\vec{r}]=\sum_i \frac{Q_i(\vec{r}-\vec{r_i})}{4\pi\epsilon_0 |\vec{r}-\vec{r}_i|^3}=\nabla \phi[\vec{r}]\]

\[E_x=\nabla\cdot\vec{E}\]

\[\nabla\times\vec{E}[\vec{r}]=0\]

\[\nabla\cdot\vec{B}=0\]

\[\nabla\times\vec{B}=0\]

Forza di Lorentz: \[\vec{F_q} = q(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B})\]

Regime elettro statico: \(\vec{J}_s = 0 \Rightarrow \vec{B} = \vec{0}\)

\[\nabla\cdot\vec{E}[\vec{r}]=\frac{\rho(\vec{r})}{\epsilon_0}\]

\[\phi[\vec{r}]=-\nabla\phi(\vec{r})\]

\[\phi[\vec{r}]=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{R^3}\frac{\rho(\vec{r_1})}{|\vec{r}-\vec{r_1}|}dr^3_1\]

\[\vec{E}[\vec{r}]=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{R^3}\rho(\vec{r_1})\frac{(\vec{r}-\vec{r_1})}{\lvert\vec{r} - \vec{r_1} \rvert^3}dr^3_1=\sum_i Q_i \frac{\vec{r}-\vec{r_1}}{|\vec{r}-vec{r}_i|^3}\]

Regime di corrente continua

Mo non si ritardano solo a situazioni in cui le cariche sono ferme \(\vec{J}_S = 0 \Rightarrow \vec{B} = 0\) ma \(\vec{J} = \vec{0}\) non dipende da \(t\)

(eq. di continuità)

Supponiamo \((\rho =0 \Rightarrow \nabla\cdot\vec{E} = 0)\)

Da \(\vec{J} = 0\Rightarrow \nabla\cdot\vec{J} = 0\)

regime magnetostatico

Applichiamo teo di Helmots: conosciamo

\[\vec{B}[\vec{r}]=\oint_S d^2 \omega \, \vec{J}(\vec{r_1}) \nabla\cdot\vec{B}[\vec{r}_1]\frac{1}{|\vec{r1}-vec{r}|}\]

\[\vec{B}[\vec{r}] = \nabla \times \vec{A}[\vec{r}]\]

0 = cost

Esempio reale

L = 0 (Lm)

• Problema localizzato in una regione del piano che sembra che il resto della carica sia distribuita su superficie infinita

E(x,y,z) = Ex(x,y,z) x̂ + Ey(x,y,z) ŷ + Ez(x,y,z) ẑ

* Il sistema presenta delle simmetrie:

• Il campo deve essere necessariamente diretto lungo z.
• E può da qui dipendere da z.

Equazioni di Maxwell sono lineari

∇ · E = 1/ε₀ ρₑ

∇ · E₁ = 1/ε₀ ρ₁

∇ × E = E₂ + E = E₁ + E₁ Non è scontato: Perché queste 2 cariche non si influenzano e non variano E?

Nel caso puntiforme:

∇ · E = 1/ε₀ (ρₑ + ρ₁) ρₑ

∇ · (E₁ + E₁) =∇ · E₁ + 1/ε₀ ρ₁ = 1/ε₀ ρ₁ + ρₑ ρ₁

∇ · E = 0

∇ × E = 0

E(F) = F (z) ẑ

∮_Σα E · dΣ = Qint/ε₀

∮_Σα E · dΣ = ∫_Σup E · dΣup + ∫_Σdown E · dΣdown + ∫_Σside E · dΣside

∮_Σside = 0 (⊥ a E)

valore

Ora bisogna determinare

• σ
• σ
• σ = -2ε₀αl
• σ = -2ε₀αl

=> σ = -2ε₀αl

∯ _S E · d S = Q_int / ε₀ ∯ _S E · d l = 0

1. Legge di forza di Coulomb 2. Principio di sovrapposizione

Approccio continentale = giusto teorico: Principi di Newton + leggi di forza Teoria dei fluidi elettrici = particelle ⇒ e^- J.J. Thomson 1896-1897

Approccio inglese = Faraday = linee di campo = conoscenze orali/letture molto ridotte Maxwell = teorico di riferimento Tradotto da Maxwell: traduce idee di Faraday in forma matematica

1785-1789 = Coulomb scrive una serie di memorie in cui definisce la forza di attrazione tramite la bilancia di torsione

F_e = 1_/4πε₀ · q₁q₂ / r² F_mecc. = μ ℓ ⁰ k / λ Equilibrio: F_mecc. = F_elec. Kθd = Kq / d²

Lunghezza filo Diametro filo = solidissimo → così da misurare F di entità piccolissime Angolo di torsione

Prove: (1^a memoria) Chimico α 0. 0° 38° 1. 126° 0° 2. 567° 8.5°

Se le 2 cariche sono + e -: 2^a memoria = questo sistema non va bene