Appunti di Elettromagnetismo

Energia magnetica per un sistema di circuiti magneticamente accoppiati

N S B̄Q = (111)R La carica totale che circola in un circuito si misura(va) col galvanometrobalistico. 7.11.1 Energia magnetica per un sistema di circuiti magnetica-mente accoppiati Iniziamo considerando due circuiti magneticamente accoppiati, tali che inciascun circuito è concatenato un flusso di campo B generato dall’altro cir-cuito. Figure 79: Circuiti magneticamente accoppiati ( ( dΦ d−− = (L i + M i )f + f = R i f = 1 11 1 12 21 L 1 1 L dt dt1 1 dΦ d− −f =f + f = R i = (L i + M i )2L2 L 2 2 22 2 21 1dt dt22 ( di di ×if = L + M + R i dt1 21 11 12 1 1 1dt dt=⇒ di di ×if = L + M + R i dt2 12 22 21 2 2 2dt dt Sommando membro a membro tali espressioni otteniamo: (f i + f i )dt = L i di + L i di + M i di + M i di +11 1 1 22 2 2 12 1 2 21 2 11 1 2 2 | {z }| {z } variazione di energia magnetica in dtenergia erogata dai generatori 2 2 )dt+ (R i + R i1 2 21| {z }energia dissipata dalla resistenza136 11 21 22L i + L i + M i idU = d 11 22

12 1 2m 2 2Z 1 121 22U = dU = L i + L i =+ M i im m 11 22 12 1 22 2 {z }|energia di accoppiamento| {z }energia dei singoli circuiti1 1 1 1= (L i + M i )i + (L i + M i )i = Φ i + Φ i11 1 12 2 1 22 2 21 1 2 1 1 2 22 2 2 2Generalizzando per N circuiti si ottiene che:N n N1 1X X XU = M i i = Φ im ij i j i i2 2i=1 j=1 i=1Se i = j si hanno i coefficienti di autoinduzione.7.12 Energia magnetica e forze sui circuiti(k)Consideriamo N circuiti ed applichiamo una forza esterna F sul circuito kecompiendo un lavoro virtuale elementare: ~~ · ·dL = F ~v dt ~v dt = dSe e(k) k k kCome conseguenza si avrà una variazione di energia magnetica dU , unmlavoro dei generatori dL ed un’energia dissipata dalle resistenze dU .G RdL dU dUdL G m Re⇒ + = +dL + dL = dU + dUe G m R dt dt dt dt N dΦdU 1 P= im i ii=1dt 2 dt NdL P= f iG i ii=1dt NdU 2P= i RR iii=1dt dΦRicordando ora che nell’i-esimo circuito si può scrivere f = + R i siii i idtgiunge

alla relazione finale: N NN N1 dΦdL dΦX XX Xie i 2 2+ i + i R = i + i Ri i i ii idt dt 2 dti=1i=1 i=1 i=1137

Il lavoro per unità di tempo fornito dai generatori compensa l’energia dissi-pata nei resistori e in più fornisce un’energia doppia rispetto alla variazionedi energia magnetica. N1 dΦdL X ie − ⇒ −dU= i dL =i e mdt 2 dti=1~ ~~ −dU

Per uno spostamento dS : dL = F dS = . La forza magnetica èk e e(k) k mopposta alla forza virtuale che va applicata, perciò si ottiene la formula peril calcolo della forza magnetica: ~ ~(k) ∇UF = (112)mm

Se i circuiti sono rigidi e le correnti costanti ci interessa solo il termine diaccoppiamento per l’energia: N1 X Φ iU = i im accoppiamento 2 i=1U = Φ im i ii

7.12.1 Induttanza del cavo coassiale con conduttore centrale diraggio a e conduttore esterno di raggio b

7.12.2 Forza da applicare ad un solenoide per non variare la sualunghezza

7.12.3 Esempio 7.18 - Forza di risucchio

7.13 Il

completamento delle equazioni di Maxwell Cerchiamo di ricapitolare quello che è stato detto fin'ora: • I equazione ρ~div E =0 Non c'è difficoltà nel passare dal caso stazionario a quello non stazionario sia nella forma locale che nella forma integrale: ρ(x, y, z, t)~div E (x, y, z, t) =0 • II equazione ~div B =0 Anche se B(~r, t), la divergenza resta nulla. Infatti non cambia il fatto che non esistono cariche magnetiche e che le linee di forza sono chiuse. • III equazione ~∂B~ -rot B =0 ∂t La dipendenza dal tempo è la parte principale della III equazione e della sua forma integrale. • IV equazione ~ ~rot B = μ J Se applichiamo l'operatore divergenza sia a destra che a sinistra si ottiene: ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~∇ · ∇ ×∀ · ⇒ ∀ ·B = 0 = μ J J = 00 0 Deve inoltre valere l'equazione di continuità: ∂ρ~ ~∇ · J + = 0∂t ~ ~∂ρ 6 ∇ · 6 ⇒ Ma nel caso stazionario = 0 perciò si dovrebbe avere J = 0∂t DIFFICOLTÀ Consideriamo allora la scarica di un condensatore come in figura:

Scelta una linea chiusa l si dovrebbe avere arbitrariamente dalla scelta della superficie S che il flusso sia nullo: ∮ ∇ × ∙ B n̂dS = 0 B dl = 00 S Pensiamo adesso di fare l'integrale sulla superficie Σ che rimane nelle arma-1 ture e poi sulla superficie Σ che invece intercetta il filo: ∮ ∇ × ∙ B n̂dS = μ J n̂dS = 00 Σ Σ ∮ ∇ × ∙ B n̂dS = μ I0 0 cΣ2 La scelta di S non sembra essere fisicamente arbitraria. Il problema fu risolto da Maxwell tramite semplici

Considerazioni matematiche. È necessario sostituire l'espressione di ρ(x, y, z, t) che si può ricavare dalla prima equazione nella IV. Allora quello che si ottiene è:

∇ · ∇ · ( E ) = 0J + 0 0∂t ∇ E0 ∇ · J + c 0 ∂t J = J è detta densità di corrente di conduzione che è associata ai portatori.

Definiamo quindi J = J + = J + J densità di corrente di spostamento. Tramite questa espressione siamo giunti alla formulazione finale della IV equazione: ∂E 0∇ × J + B = μ (113)

La bontà di questa aggiunta sono le conseguenze che ne derivano e tra queste la più importante è l'esistenza delle onde elettromagnetiche.

Alla densità di corrente di spostamento può essere associata una corrente di spostamento I che può essere calcolata nel seguente modo:

∫∫ ∂E 0∇ · n̂dS I = J n̂dS = s

sistema di alimentazione del circuito, che fornisce una corrente costante e continua. Quindi, se la corrente non varia nel tempo, possiamo trascurare il termine aggiuntivo e considerare il campo magnetico generato solo dalla corrente stazionaria. In conclusione, la legge di Ampère nella sua forma generale tiene conto sia della corrente di conduzione che della corrente di spostamento. Tuttavia, nella maggior parte dei casi pratici, possiamo trascurare la corrente di spostamento e utilizzare la forma semplificata della legge di Ampère che tiene conto solo della corrente di conduzione.

campo elettrico. Possiamo dire che il circuito è in condizioni quasi-stazionarie se il tempo di propagazione del segnale elettrico è molto piccolo rispetto ai tempi di variazione delle sorgenti. Verifichiamo come ultima cosa che la corrente totale resti continua sia in generale che con un esempio:

Se racchiudiamo una delle due armature con una superficie S, poiché ∇ · J = 0, il flusso di J attraverso S sarà nullo.

Se pensiamo allora di dividere S in due parti, Σ che intercetta il filo e Σ1 che avvolge l'armatura si avrà:

∬ J · (-I · n̂) dS = ∬ J · n̂ dS + ∬ J · n̂ dS = 0

Infatti su Σ non c'è campo elettrico mentre sul filo scorre la corrente I.

Sulle armature la corrente arriva come corrente di conduzione e poi procede come corrente di spostamento. Vediamolo nell'esempio:

spostamento tra le lastre t-ΔQτ = RC dq = Q(t) = Q e τ0 - ΔQdq 1 t-I = = = Q e τc 0dt dt τ~ 1/∂E/∂Q t t0 0 - --n̂ = e n̂ = Q eI = J S = τ/τc 0 c 0s s 0 ∂t ∂t S τ0

Concludiamo ricapitolando le 4 equazioni che sono in grado di descrivere tutti i fenomeni dell'elettromagnetismo classico:

ρ ∇ · ∇ · B = 0

E = 0

∂E/∂B ∇ × ∇ × - B = μJ + E = 0

∂t ∂t

Equazioni di Maxwell nel vuoto

ρ∇ · ∇ · E = B = 0

∂B/∂E ∇ × - ∇ × E = B = μJ + c∂t ∂t

Equazioni di Maxwell nei mezzi omogenei ed isotropi

1438 Onde elettromagnetiche

Consideriamo un mezzo dielettrico infinitamente esteso omogeneo ed isotropo. Sia un dielettrico perfetto ed isolante. Inoltre non siano presenti cariche elettriche. In un

mezzo cosı̀ fatto si ha che ρ = 0 e J = 0, perciò le equazioni di Maxwell si riducono a:

    ∇ · ∇ ·