Appunti di dinamica

Le 4 forze fondamentali

1. Interazione forte: Intensità relativa ∼ 1, Raggio d'azione ∼ 10^-15 m
2. Interazione debole: Intensità relativa ∼ 10^-13, Raggio d'azione ∼ 10^-16 m
3. Interazione elettromagnetica: Intensità relativa ∼ 10^-2, Raggio d'azione ∼ ∞
4. Interazione gravitazionale: Intensità relativa ∼ 10^-42, Raggio d'azione ∼ ∞

Dinamica

Primo e secondo principio

• Primo principio: Se la risultante delle forze applicate o agenti su un corpo è nulla, allora il corpo mantiene il suo stato di moto (principio di inerzia).
• Secondo principio: Se un corpo si trova in moto accelerato, allora è soggetto ad almeno una forza responsabile di questa accelerazione. [K_g m/s²] = [W]

Risultante   R← = F←₁ + F←₂ + ...
R← = m (a←_m)
p← = m v← [K_g m/s] Quantità di moto
F← = d/dt (m v←) = d(m v←)/dt = m dv←/dt

Impulso di una forza

J← = ∫_t1^t₂ F←(t) dt
J← = ∫_t1^t₂ d p←
d p← = p←(t₂) - p←(t₁) = m v←(t₂) - m v←(t₁) (teorema dell'impulso)

Esempio

m = 12 K_g; F = k t
Δp← = ∫_t1^t₂ F← dt = 1/2 k t²
mv←(t₂) - mv←(t₁) = 1/2 k t²
N (s) = ^k/_2m → N (5s) = ^k/₂ (5)² = 3.13 m/s
X (t) = (∫^t₀ v t² dt = ^c/_m t^-3)
X (5) = (^k/_c)(5)²) = 5.2 m (7) − (5) = (5) Δt = 6.26m (7) = 11.46 m

Terzo principio

3 - Terzo principio: ∀ F₁ esercitata da un corpo A ad un corpo B, ∃ F₂ uguale in modulo e direzione ma opposta in verso, esercitata dal corpo B sul corpo A.

Piano di appoggio

F_P = -mg a_y
N: reazione vincolare → deformazione | F_P | = | N |

Esempio

F_g |_y = -mg cos(θ) a_y
F_Px = -mg sin(θ) a_x
mm a_x = -mg sin(θ) a_x
mm a_y = N − mg cos(θ) a_x e_y = 0
a_x = g sen(θ) a_x
a_N (t) = a_x t = ¹/₂ g sen(θ) t a_x
X (t) = ¹/₂ a_x t² = ¹/₂ g sen(θ) t²
x = ^h/_ρ0θ = ¹/₂ g ρ_∞ cos(θ) t_i²
t_c = ¹/_ρ∞cos(θ) ¹/_ρ0 √^2L/_y√x_i(t) = g ρ_∞ (θ)¹/_ρ0 √^2L/_g = √2Lg = 9.9 m/s

Tensione

Esempio m₁ →a_y = m₁ g - N; m₂ →a_y = m₂ g - T
N = T →a_y = T →a_y = T →a_y = T
T = ^{m₂ - m₁}/_{m1 + m2} g
m₁ →a_y = T →a_y = ^T/_m1 = ^m₂/_{m1 + m2} g

Forze di attrito

• Forze di attrito statico: F_as = -μ_s N
• Forze di attrito dinamico: F_ad = -μ_d N R_u

Esempio

N = mg cosθ e yma a_x = mg sinθ - μ_d |N|= mg [sinθ - μ_s cosθ]
a_x = g [μ_s cosθ] tan(θ) > μ_s→ il sistema è in movimento
a_x = g [sin(θ) - μ_d cos(θ)]
V(t) = a_x t = g [sin(θ) - μ_d cos(θ)] t
X(t) = t/2 a_x t² − 1/2 a_x t²
t₁ ² = 2ℎ g / g [sin(θ) - μ_d cos(θ)]
V(t + 1) ∼ ∙ ∙ ∙ = √ 2ℎ g (1 - μ_d / tan(θ))

Forza elastica

_F = - k _x
m_a = - k _x^d2_x⁄_dt² = - k ⁄ m

Polinomio caratteristico

λ² + ^k⁄_m = 0
λ_1,2 = ± i ω_o
ω_o² = ^k⁄_m
x(t) = c₁ Cos(ω_ot) + c₁sen(ω_ot)
x(0) = x_A = c₄
v(t) = - c₁ ω_o sen(ω_ot) + c₂ ω_o Cos(ω_ot)
v(0) = N_A = c₂ ω_o; c₂ = N_A⁄ω_o
x(t) = x_A Cos (ω_o t) + ^N_A⁄_ωo sen(ω_o t)
A = √ [ x_A² + (^N_A⁄_ωo)² ]
x( t ) = A [ ^X_A⁄_A Cos(ω_ot) + ^N_A⁄_Aωo sen (ω₀t)]
x(t) = A [ Cos (ω_o t) Cos(α) + sen(ω_o t) sen(α) ]
x(t) = A Cos (ω_ot - α) (Moto armonico)
tg(α) = ^N_A⁄_xAωo
α = arctg ( ^N_A⁄_xAωo)

Esempio

m = 1 Kg; K = 5 N/m
ω_o = √ ⁵⁄₁
x(t) = A Cos (ω_ot - α)
x_A = 15 cm
N_A = 0 m/s
X(t) = x_A Cos (ω_o t)
N(t) = - x_A ω_o sen (ω_o t)
A = √ [ x_A² + (^N_A⁄_ωo)² ] = x_A
α = arctg( ^N_A⁄_xAωo) = 0
v_m = x_m ω₀ = 0,15 √5 = 0,33 u m/s
x(t_s) = x_s = x_A Cos (ω₀ t)
t = 1 / ω₀ arccos (x_s / x_A) = 0,55 s
v (0,55) = - x_A ω₀ sen (ω₀, 0,55) = - 0,32 m/s
a (t) = - x_A w₀² Cos(ω₀ t)
a (0,55) = - x_A w₀² Cos (ω₀ 0,55) = -0,25 m/s²

Pendolo semplice

m â_θ = -mg sen (θ)
a_θ = - g sen (θ); â_θ = α L = d²θ / dt²
Ld²θ / dt² = -g / L sen (θ) → approssimazione piccole oscillazioni
θ piccolo sen(θ) ≃ θ
d²θ / dt² = g / L θ

Pendolo conico

β = π/2 - θ
mR₀θ = -T _Cx(θ - θ₀) = T (_L - θ₀)
mR₀θ = Στθ = Tm L sin(θ - θ₀) ≃ -mR₀θ
T = mg₀ = T θ∫ (1 - cosθθ- θ₀) = Tm L g₀γ = -g tanθ
T_i = 2πR/ v |R = L cosθ
R = h tanθ
h = L - o1 _α1x = ^v2/R |v || a₁| = sqrt(g/gh tanθ = tanθ/sqrt(g/h
T_p = 2π _{sqrt(L/g/sqrtLg}Tutti: i pendoli con di stessa b hanno lo stesso periodo

Dinamica rotazione

L = m R₂ x V momento angolare p₂ = m V
dp₂/dt = F -> F = 0; p si = conserva
dL/dt = m [_dR/dt X m A- dR/dt X _dR)/dt = m R x a = r x m a = m x = r x F = MBraccio
dL/dt = M L; momento si conserva dL (braccioEsempio:M + RX F = Rt x R + R = V₀ dL (braccio x 0dL dt*oL (m(R x xT dT = M R L = m x V₁L