Appunti di controlli automatici

Controlli 4-10-19

✪ Sistema dinamico

Variabili di ingresso (u ∈ ℝ^m):rappresentano le azioni che vengono compiute sull'oggetto in modo indipendente da esso.

Variabili di uscita (y ∈ ℝ^p):rappresentano quanto del comportamento dell’oggetto fisico in esame è, per qualche ragione, d'interesse.

Variabili di stato (x ∈ ℝⁿ):descrivono la situazione interna dell'oggetto ossia quanto basta per permettere il calcolo delle variabili di uscita note che siano il valore in quel dato, ossia a instante t, tempo.Il numero di tutte le variabili di stato si dice ordine del sistema.

Equazione di stato

x(t) = f(x(t), u(t), t)

x(t_o) = x_to

Trasformazione d'uscita

y(t) = g(x(t), u(t), t)

Sistema SISO (Single input single output)"MIMO" (Multi) "Multe" (!)

Sistema strettamente proprio se g non dipende da ,altrimenti è proprio

Sistema non dinamico o statico se g non dipende da .

Sistema invariante se f e g non dipendono dal tempo.

Sistema lineare se f e g sono lineari in x e u.

Sistema (lineare tempo invariante) LTI

x(t) = A x(t) + B u(t)y(t) = c x(t) + D u(t)

Sistema a dimensione finita o a parametri concentrabili (finita)Ad esempio la nostra trasportatore

() = u(t - τ)

RITARDO PURO

τ = L/v

p: posizione

v: velocità

scelte come uscite (y) di posizione del carrello

ṗ(t) = v(t)

V̇(t) = (1/n) [F - N_R(t) - hV(t)]

ẋ(t) = [(t) v(t)] = ^{(0 1) (p(t)) (0 1/M)} (0 K) _(v(t)) + _{(0 1)} F(t)

y(t) = (1 0) ^(p(t)) + 0 F(t) _(v(t))

Movimento di sistemi LTI

Movimento di sistemi = soluzione dell'equazione differenziale caratteristica

X(t) = AX(t) + Bu(t) = ∫e^A(t-) Bu()d

X(0) = X₀

formuli di Lagrange

ESE

Un serbatoio d'acqua è alimentato ad h un canale fluviale tramite l'apertura istantanea di una saracinesca in grado di riversare 1m³ di acqua all'ora.

Il serbatoio ha una sezione di 2 m² ed è alto 5m ed è nota una perdita d'acqua in volume proporzionale al livello presente nel serbatoio secondo un coefficiente K= 0,2 m³/h.

a. Determinare se partendo coi serbatoio vuoto tenendo la saracinesca sempre aperta, l'acqua trabocca.

b. Si determini se può esistere un livello dell'acqua x tale per cui aprendo chiudendo a saracinesca alternativamente ogni ora si verifica una condizione di regime.

Stabilità dei sistemi LTI

ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)x̄ in punto di equilibrioUso il principio di sovrapposizione degli effetti con u¹(t)=h⁻¹(t)=ũ¹x̄₀ + ẋ¹(t) = A(x̄ + x¹(t))ẋ¹(t) = Ax¹(t)ẋ¹(t) = e^Atx¹₀ t=0, x¹₀=xẋ¹(t₀) = ẋ ẋ¹(t₀) = δx₀

Teorema

Uno stato di equilibrio in un sistema LTI è stabile, asintoticamente stabile o instabile SSE tutti gli stati di equilibrio del sistema sono rispettivamente stabili, asintoticamente stabili o instabili.

STABILITÀ AS. STAB. e INSTABILITÀ DEL SISTEMA

Teorema

Un sistema LTI è asintoticamente stabile SSE per ogni matrice simmetrica e definita positiva Q esista una matrice simmetrica definita positiva P tale che P risolvi l'equazione di LyapunovPA + A^TP = -Q

Inoltre, se il sistema è asintoticamente stabile, allora P è l'unica sol.ẋ(t) = Ax(t)V(x) = x^TPx > 0V̇(x) = x^TPẋ + ẋ^TPx = x^TP Ax + x^TA^TP x = ẋ^T(PA + A^TP)ẋ = -ẋ^TQẋ < 0

ESE: ẋ = -2x -3ẋẏ = 4x -2xQ: matrice I identità

Q = ( 1 0 ) (0 1) A = ( 2 -3 ) (4 -2)

A⁺=( 2 4 )  (3 -2)P = ( b c )     b = 3/128 (c d)  c = 2/9P = ( 3/128 2/9 ) > 0 (128 2 2g)

Il sistema è disintatamente stabile

CONTROLLI 24-10-19

• Matrice A non diagonalizzabile

Si mette nella forma di Jordan

L^m A e^λt oppure t^m e^λt sen (ωt + φ)

Se λ complesso: λ = α ± jω

Dove m(ε t_m) è un qualunque intero compreso tra 1 e la massima dimensione del mini blocco di Jordan

Movimento forzato sistemi LTI

X_t = ∫₀^t g_x(t - τ) Bu(τ)dτ

• Impulso imp(t) = 0
• lim_t→∞ imp(t) = 1
• ip(t) ∫₀^t imp(t - τ)dτ = φ(τ)
• Risposta impulsiva dello stato u(t) * imp(t)

X_t(t) = ∫₀^t e^A(t-τ) Bu(τ)dτ

Risposta impulsiva dell'uscita y(t*) = Ce^AB + D imp(t)

Y(t*) = ∫₀^t y_y(t - τ) D u(●)dτ

Proprietà dei sistemi asintoticamente stabili

lim_t→∞ x(t) è indipendente dallo stato iniziale

La risposta all'impulso tende asintoticamente a zero

La risposta ad un qualunque ingresso di durata finita tende asintoticamente a zero

Visto che det(A) ≠ 0 dato u(ℰ) = x̄ = A^-1Bū

Ẋ = Ax + Bu

O = AẊ + Bu

• Stabilità esterna (BIBO - Bounded input Bounded output)

Teorema del valore finale

Se una funzione reale f ha trasformata razionale F con grado del denominatore maggiore del grado del numeratore e poli nulli o con parte reale negativa, allora

lim_t➡∞ f(t) = lim_s➡0 sF(s)

Trasformate di "polidoc"

• f(t) → F(s)

  • imp(t) → 1
  • sca(t) → 1/s
  • rampa(t) → 1/s²
  • par(t) → 1/s³
  • e^-st sca(t) → 1/(s+a)
  • sin(ωt)scal(t) → ω/(s²+ω²)
  • cos(ωt)scal(t) → s/(s²+ω²)
  • e^-σt cos(ωt)scal(t) → (s-σ)/((s-σ)²+ω²)
  • e^-σt sin(ωt)scal(t) → ω/((s-σ)²+ω²)
  • e^-σt sen(ωt)scal(t) → [2 ωk e^-σt]/[(s-σ)²+(ωk)²]²
  • e^-σt cos(ωt)scal(t) → [2 ωk e^-σt ω]/[(s-σ)]²+[ωk]²

CONTROLLI 7-11-18

Equazione differenziale in y e u

y⁽ⁿ⁾(t) = a₁y^(n-1)(t) + ... + a_ny(t) + b₀u^(m)(t)

P_m(s) U(s) + P_n(s) Y(s)

Y(s) = β_mU(s) + ... β₀U(s)

Y(s) G(s) = β_nSⁿ + ... + β₀

Rissunto

Sistemi del I ordine propri

Gs(s) = M/(As+1)

tc = 2T

4tst ∫ 4

ys(t) = μ(1-e^-t/Ts)u(t) e^-t/Ts Tc(t)

Sistemi del II ordine con poli complessi coniugati

Gs(s) = M/((Ts²)

y(t) = 1 M (e ^{)essero (e )) Kβ u(t)}

y (0) = 0

y(t) = -M e ^{( )} (cos( ) - ( )usan 0) ( ) 0

Thac = (0)

ys = M (1 +e )

( ) piccolina

5% = 100%

Tae= ( ) log(0,015)

Controlli 4-12-19

ES1:

L(jω) =

_(s+1) / _(s+5)

P = 1

ω < 0,5ω > 5

Per ω < 0 il contributo alla fase di ϵ e ϵ ⟶ 180°

N = 0 ≠ P ⟹ Anello chiuso non asint. stab.

Per passare a p ≤ 0 posso considerare il diagramma di Nyquist con p ≥ 0 e contare i giri attorno a +1.

L(s) =

_(s-1)/_(s+9)(s+5)

P = 1

ω < 5ω > 9

e N = 0 ≠ P ⟹ An chiuso non as stab.