Appunti di controlli automatici

Controlli 4-10-191

Sistema dinamico

Le variabili d'ingresso rappresentano le azioni che vengono compiute sull'oggetto in modo indipendente da esso.

Le variabili d'uscita rappresentano quanto del comportamento dell'oggetto fisico in esame è, per qualche ragione, di interesse.

Le variabili di stato descrivono la situazione interna dell'oggetto, ossia quanto basta per permettere il calcolo delle variabili di uscita, noti che siano il valore di quelle in ingresso e l'istante di tempo.

Il numero delle variabili di stato si dice ordine del sistema.

Equazione di stato: ẋ(t) = f(X(t), u(t), t) X(t₀) = X₀.

Trasformazione d'uscita: y(t) = g(X(t), u(t), t)

Sistema SISO (Single input single output)

Sistema MIMO (Multi input multi output)

Sistema strettamente proprio se g non dipende da u, altrimenti è proprio.

Sistema non dinamico o statico se g non dipende da x.

Sistema invariato se f e g non dipendono dal tempo.

Sistema lineare se f e g sono lineari in x e u.

Sistema (lineare tempo invariante) LTI:
Ẋ(t) = A x(t) + B u(t)
y(t) = c x(t) + D u(t)

Sistema a dimensioni finite, o a parametri concentrati (finiti).
Ad esempio un tubo trasportatore: y(t) = u(t - τ) τ = L/V.

Controlli 4-10-191 - Dettagli

• Variabili d'ingresso (U ∈ R^m): rappresentano le azioni che vengono compiute sull'oggetto in modo indipendente da esso.
• Variabili d'uscita (Y ∈ R^p): rappresentano quanto del comportamento dell'oggetto fisico in esame è, per qualche ragione, di interesse.
• Variabili di stato (X ∈ Rⁿ): descrivono la situazione interna dell'oggetto, ossia quanto basta per permettere il calcolo della variabile di uscita, note che siano il valore di quella in ingresso e l'istante di tempo.
• Il numero delle variabili di stato si dice ordine del sistema.
• Equazione di stato: Ẋ(t) = f(X(t), U(t), t) X(t₀) = X₀.
• Trasformazione d'uscita: y(t) = g(X(t), U(t), t).
• Sistema SISO (Single Input Single Output).
• MIMO (Multi Input Multi Output).
• Sistema strettamente proprio se g non dipende da u, altrimenti è proprio.
• Sistema non dinamico o statico se g non dipende da x.
• Sistema invariante se f e g non dipendono dal tempo.
• Sistema lineare se f e g sono lineari in x e u.
• Sistema (lineare tempo invariante) LTI:
  Ẋ(t) = A x(t) + B u(t)
  y(t) = c x(t) + D u(t)
• Sistema di dimensione finita o a parametri concentrati (infinita).
  Ad esempio un tubo trasportatore: y(t) = u(t - τ) RITARDO PURO τ = L/V.

Esempio: Carrello

Posizione p, velocità v. Scelgo come y la posizione del carrello:

ṗ(t) = v(t)
v̇(t) = 1/m [ - k p(t) - h v(t) ]

Ẋ(t) = [ ṗ(t) v̇(t) ] =

y(t) = p(t) = (1, 0)

Movimento di sistemi LTI

Movimenti il sistema = soluzione dell'equazione differenziale caratteristica:

Ẍ(t) = Ax(t) + Bu(t) es. x(t) = e^Atx(0) +

Movimento libero

Movimento _forzato

Formule di Lagrange

Esempio: Un serbatoio d'acqua è alimentato da un canale fluviale tramite l'apertura istantanea di una saracinesca in grado di riversare l/m³ di acqua all'ora. Il serbatoio ha una sezione di 2 m² ed è alto 5m ed ha una perdita d'acqua in volume proporzionale al livello presente nel serbatoio secondo un coefficiente K = 0.2 m³/h. Si determini se aprendo il serbatoio vuoto tenendo la saracinesca sempre aperta, l'acqua trabocca.

2-Si determini se può esistere un livello dell'acqua X tale per cui aprendo e chiudendo la saracinesca alternativamente ogni ora si verifica una condizione di regime.

Controlli 7-10-19

Sistemi LTI - sovrapposizione degli effetti

1. Ẍ(t) = Ax(t) + Bu(t)
   Ẏ(t) = Cx(t) + Du(t)
   X(0) = X₀x'(t) = X₀
2. X², u²
3. x"'(t) = 2 x(t) + βx"(t)
   ^Ly^L(t) = αy^L(t) + βy^M(t)
   ^Lr | ⇒ y^m(t) = αy(t) + βx"(t) dove: x"'(t) = .. y"'(t) = .._n,x₀

Equilibrio

Ẏ(t) = g(x(t), u(t))
X(b) = X₀
La coppia (.., u)