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Il luogo delle radici delle equazioni complesse
In questa lezione esploreremo il concetto del luogo delle radici nel piano complesso. Il luogo delle radici è il luogo dei punti nel piano complesso che soddisfano un'equazione complessa data. Nel caso generale, il luogo delle radici è determinato dalle radici di un polinomio di grado N, dove N è un numero intero positivo.
Consideriamo l'esempio di un polinomio di secondo grado: P(z) = az^2 + bz + c. Le radici di questo polinomio possono essere determinate utilizzando la formula quadratica. Se il discriminante è maggiore di zero, le radici sono reali e distinte. Se il discriminante è uguale a zero, le radici sono reali e coincidenti. Se il discriminante è minore di zero, le radici sono complesse coniugate.
Per rappresentare graficamente il luogo delle radici nel piano complesso, possiamo utilizzare un sistema di coordinate cartesiane. L'asse x rappresenta la parte reale delle radici e l'asse y rappresenta la parte immaginaria delle radici. I punti nel piano complesso che soddisfano l'equazione complessa si trovano sul luogo delle radici.
Ad esempio, consideriamo l'equazione complessa s^2 + Ks + 1 = 0. Utilizzando la formula quadratica, possiamo determinare le radici come s = (-K ± √(K^2 - 4))/2. Se K è positivo, le radici sono reali e distinte. Se K è negativo, le radici sono complesse coniugate.
Per rappresentare graficamente il luogo delle radici nel piano complesso, disegniamo un punto per ogni valore di K. Se K è positivo, il punto si trova nel luogo delle radici positivo. Se K è negativo, il punto si trova nel luogo delle radici negativo.
Questo è solo un esempio semplice del concetto del luogo delle radici nel piano complesso. Il concetto può essere esteso a polinomi di grado superiore e a equazioni complesse più complesse.
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