Appunti di Cinematica

La cinematica e le grandezze fondamentali

Il punto materiale è un'astrazione, un modello utilizzato entro determinati limiti di validità e consente di vedere un corpo o un insieme di corpi di grandi dimensioni come un unico punto (è una semplificazione). Le caratteristiche fondamentali della cinematica sono lo studio della traiettoria di un punto materiale e la sua legge oraria. Le grandezze fondamentali della cinematica sono tre (grandezze vettoriali): - Spostamento (m) - Velocità (m/s) - Accelerazione (m/s^2) I moti che vedremo sono unidimensionali (rettilineo uniforme, r. uniformemente accelerato, armonico) o bidimensionali (parabolico, circolare). La nozione di moto è relativa perché presuppone la scelta di un sistema di riferimento, che può essere meccanico o geometrico (fissato un riferimento meccanico, è un sistema di coordinate). Il concetto di tempo nella meccanica classica è un concetto assoluto. Il tempo fluisce nello stesso modo indipendentemente.dall'osservatore. Consideriamo un punto materiale P che andiamo ad inserire in un sistema di riferimento cartesiano. Il vettore che collega l'origine degli assi al punto materiale si chiama vettore posizione e, come qualsiasi altro vettore, può essere scomposto nelle sue componenti lungo gli assi x e y (rappresentazione vettoriale). Qualora il punto materiale si muovesse lungo la sua traiettoria è possibile stabilire il suo spostamento senza tenerne conto (vettore che collega la posizione iniziale e la posizione finale del punto). La velocità media è il rapporto tra lo spazio percorso e il tempo impiegato per percorrerlo (m/s). Può essere calcolata come la derivata prima della posizione. Andando a comprimere il tempo impiegato attraverso un'operazione di limite del rapporto per la variazione del tempo che tende a zero, si ottiene la velocità istantanea. La velocità ha direzione tangente alla traiettoria in ogni punto e verso.positivo seconcorde a quello del moto, negativo se discorde. L'accelerazione media misura la variazione di velocità nell'intervallo di tempo Δt e si misura in m/s^2. Si può esprimere anche come derivata prima della velocità, o come derivata seconda della posizione rispetto al tempo. Facendo un'operazione di limite per la variazione di tempo che tende a zero, si ottiene l'accelerazione istantanea. Il segno dell'accelerazione determina la variazione della velocità. Ci troviamo in presenza di un'accelerazione negativa se un corpo decelera costantemente, positiva se gradualmente e in modo costante acquista velocità. Il moto rettilineo uniforme è un tipo di moto unidimensionale (supponiamo che sia lungo l'asse x) particolare in cui la velocità è costante e, dunque, in cui l'accelerazione è nulla. Legge Oraria: x(t) = x0 + v*t Dove: - x(t) è la posizione al tempo t - x0 è la posizione iniziale - v è la velocità.

moto rettilineo uniformemente accelerato è il moto unidimensionale particolare in cui l'accelerazione è costante. ¹⁺ ( )−vx v a ¿=vt t²

Legge Oraria x(t) = t + a [ (t- ]t0 0 0 0 0²

Il moto di Caduta di un grave è sostanzialmente un moto rettilineo uniformemente accelerato sull'asse y. ²L'accelerazione ( = cost) è l'accelerazione di gravità ( g = 9.8 ), diretta verso il m/s basso. ^{1+v ( )−vy a ¿=vt t2}

Legge Oraria y(t) = t - g [ (t- ]t0 0 0 0 0²

Lanciando un oggetto verso l'alto lungo la verticale, l'oggetto è sottoposto sempre all'accelerazione di gravità. Per questo motivo rallenterà sempre più fino a raggiungere l'altezza massima per poi ricadere. ^{2v 0}

Altezza massima h = 2 g ❑ v 0v(v = 0) quindi pongo uguale a 0 – gt e quindi t = (istante in cui l'oggetto 0 garriva all'altezza max)sostituisco quindi l'istante trovato nella legge

Oraria del moto v = 0

Tempo di Volo t = 2g (da un punto di vista grafica l'equazione oraria del moto rappresenta una parabola rivolta verso il basso. In un grafico spazio/tempo l'altezza massima - in cui si annulla la velocità - è il punto di massimo della parabola, e cade esattamente al centro della parabola... da qui il tempo di caduta è uguale al doppio del tempo che occorre per raggiungere la massima altezza.)

Sostituendo questo valore nell'equazione della velocità si ottiene da velocità di impatto al suolo v = v0 - gt

Il moto Parabolico è un moto composto bidimensionale (asse x e y) di un corpo che viene lanciato verso l'alto con una certa inclinazione rispetto all'asse delle x.

Leggi orarie del moto lungo gli assi cartesiani x e y

Moto rettilineo uniforme sull'asse x, x(t) = v0t

Moto rettilineo uniformemente accelerato (caduta dei gravi) lungo y, y(t) = v0t - 1/2gt^2

Per trovare l'altezza massima bisogna porre uguale a zero la componente lungo y della velocità e trovare l'istante (in cui il corpo raggiunge l'altezza massima per g/2v*sin(a0)) poi sostituirlo nella legge oraria del corpo lungo l'asse y -> h max = 2g.

La gittata è la differenza tra il punto di arrivo del corpo e la posizione di partenza (lungo x). Per calcolarla si pone y(t) = 0 e calcolo il tempo di volo (= al doppio del tempo che occorre per raggiungere l'altezza massima) per sostituirlo nella legge oraria del moto lungo x.

La velocità di impatto al suolo è opposta alla velocità iniziale.

Il moto circolare è il moto di un corpo che ruota intorno all'origine degli assi cartesiani. Esiste una sorta di corrispondenza biunivoca tra l'angolo e l'arco di circonferenza formato durante uno spostamento in un istante di tempo. Si può studiare quindi un moto circolare o dal punto di vista

degli archi o dal punto di vista dell'angolo.