Appunti di cinematica

Cinematica

Def: Studio qualitativo dei moti dei corpi indipendentemente dalle Cause del moto stesso

Δ_r(t) = vettore spostamento

S(t) = distanza (grandezza scalare)

• Velocità media

v_m = Δ_r(t) / Δt = [r(t + Δt) - r(t)] / Δt

Se Δt → 0 v_r (t + Δt) - v_r(t) / Δt = dv/dt = v (velocità istantanea)

a(t) = dv(t) / dt

• Moto rettilineo uniforme

a = 0

dr/dt = ∫_xo^v(t) dr = ∫_xi^v(t) a dt

v(t) = x_i

v(t) = Dx/dt = x_i (velocità cost.)

x(t) - x_o = v_ot

x = x_o + v_ot

Legge oraria

Moto rettilineo uniformemente accelerato:

\(\overline{a}=\overline{a}_c(cost.)\)\(\overline{v}=\frac{d\overline{r}}{dt} \rightarrow \int_{t_0}^{t}\overline{d\ }r = \int_{t_0}^{t}dt\cdot\overline{v} \)\(\overline{v}(t)=\overline{v}_0+\overline{a}\cdot t \rightarrow \overline{r}(t)=\int \overline{v}(t)dt\)\(\Rightarrow x(t)=x_0=\int_{t_0}^t\overline{v}_0dt+\int_{t_0}^t\overline{a}\cdot tdt\)\(\Rightarrow \overline{x}(t)=\overline{x}_0+\overline{v}_0t+ \frac{1}{2}\overline{a}\cdot t^2\)

Legge oraria a accelerazione costante

Esempio:

Un punto materiale inizialmente fermo è sottoposto ad un'accelerazione con la seguente funzione: \(a(t) = k\cdot t^2\) dove \(k = 2 \,m/s^4\)

Trova la legge oraria e calcola velocità e posizione al tempo t=5s\(x_0=0\)\(v_0=0\)\(\overline{a}(t)=k\cdot t^2\)\(\frac{dv}{dt}=k\int_{t_0}^{t}t^2 dt\Rightarrow \overline{v}(t)=k \left[ \frac{t^3}{3} \right]_0^t=\frac{1}{3}kt^3\)\(\overline{r}(t)=\int\overline{v}(t)dt=\int\frac{1}{3}kt^3dt\Rightarrow x(t)=k\left[ \frac{t^4}{12} \right]_0^t=\frac{1}{12}kt^4\)

\(\overline{v}(t)=\frac{1}{3}kt^3 \rightarrow \overline{v}(5)=83,3\, m/s\)\(\overline{x}(t)=\frac{1}{12}kt^4 \rightarrow \overline{x}(5)=104,16\, m\)

• Cinematica in due dimensioni:

Rappresentazione cartesiana

y(t) = x(t) u_x + y(t) u_y

x(t) = R cos(θ)

y(t) = R sen(θ)

Rappresentazione polare

y(t) = R(t) u_R

R = √(x_i² + y²)

θ = arctan(y/x)

• Si sceglie la rappresentazione considerando l'accelerazione

Cartesiana

r(t) = x u_x + y u_y ; r(t + dt) - r(t) = dr = dx u_x + dy u_y

v(t) = dr(t)/dt = dx/dt u_x + dy/dt u_y = v_x u_x + v_y u_y

a(t) = dv(t)/dt = d²x/dt² u_x + d²y/dt² u_y = dv_x/dt u_x + dv_y/dt u_y

• Moto parabolico:

v_o = v_ox + v_oy

v_ox = v_o cos(θ) u_x

v_oy = v_o sen(θ)

|a(t)| = √(a_t² + a_g²)

β(t) = arctan(-a_g / a_t)

Angolo formato tra l'accelerazione e il verso radiale

Finish!