Appunti di cinematica

Cinematica

Def: Studio qualitativo dei moti di corpi indipendentemente dalle cause del moto stesso

Δ_r(t) = vettore spostamentoS(t) = distanza (grandezza scalare)

⟶ Velocità media _vm = _Δr(t)/_Δt = _{r(t + Δt) - r(t)}/_Δt

⟶ Se Δt ⇒ quando allora non osservare bene

⟶ lim_{Δt⟶0 r(t + Δt) - r(t)}/_Δt = ^d_r/_dt = _v ⟶ velocità istantanea

_a(t) = ^d_v(t)/_dt

▪ Moto rettilineo uniforme

_a = 0_{a = ^dv/dt}

⟶ dr = v(t) - vi d̯ --> v(t) = ∫tx0 a d̯ --> v(tf) - v(ti) = 0 (velocità cost.)

_r(t) = _x + v₀ t^_r(t) - x₀ = v₀ t

⟶ Legge oraria

Cinematica

Def: Studio qualitativo dei moti dei corpi indipendentemente dalle cause del moto stesso

Δ^→x(t) = vettore spostamento S(t) = distanza (grandezza scalare)

⇒ Velocità media v_m = ^Δ→x(t)/_Δt = ^{→x(t + Δt) - →x(t)}/_Δt

⇒ Se Δt è quanto abbassa non osservare bene

⇒ lim _Δt→0 ^{→x(t + Δt) - →x(t)}/_Δt = d^→x/dt = ^→v (Velocità istantanea)

^→a(t) = d^→v(t)/dt

• Moto rettilineo uniforme

^→a = 0

→a = d→v/dt → →v(t) = ∫t→adt

^→v_(t) = v₀ (Velocità Cost.)

→v(t) = d→x/dt → ∫xd→x = ∫tv0dt

^→x(t) - x₀ = v₀t

^→x - x₀ = v₀t

Legge oraria

• Moto rettilineo uniformemente accelerato:

\(\vec{a} = \textrm{costante}\)

\(\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} \rightarrow \int_{t_0}^{t} d\vec{v} = \int_{t_0}^{t} \vec{a}_0 \cdot dt \rightarrow \vec{v}(t) = \vec{v}_0 \cdot \vec{a}_0 \cdot t\)

\(\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt} \rightarrow \int_{t_0}^{t} \vec{v} \cdot dt = \int_{t_0}^{t} \vec{a}_0 \cdot t \cdot dt\)

\(\Rightarrow \vec{x}(t) - \vec{x}_0 = \int_{0}^{t} \vec{v}_0 t + \int_{0}^{t} \frac{1}{2} \ \vec{a}_0 \cdot t \ \cdot dt\)

\(\vec{x}(t) - \vec{x}_0 = \vec{v}_0 t + \vec{a}_0 \left[\frac{t^2}{2}\right]^{t}_{0}\)

\(\vec{x}(t) = \vec{x}_0 + \vec{v}_0 t + \frac{1}{2} \cdot \vec{a}_0 \cdot t^2\)

Legge oraria accelerazione costante

• Esempio:

Un punto materiale inizialmente fermo è sottoposto ad un’accelerazione con la seguente funzione \(a(t)=k \cdot t^2\) dove \(k=2 \ m/s^4\)

Trovare la legge oraria e calcolare velocità e posizione al tempo \(t=5s\)

\(x_0 : 0\)

\(v_0 : 0\)

\(\vec{a}(t)=k \cdot t^2\)

\(\frac{d \vec{v}}{dt} = k \cdot t^2 \rightarrow \int_{0}^{t} d\vec{v} = \int_{0}^{t} k \ t^2 dt \rightarrow \vec{v}(t)=k \left[ \frac{t^3}{3}\right]^{t}_{0}\)

\( = \frac{1}{3} \ k \ t^3\)

\(\int_{0}^{x} d\vec{r} = \frac{1}{3} \cdot k\cdot t^3\rightarrow x(t)= \int_{0}^{x} d\vec{r}= \int_{0}^{t} ( \frac{k \cdot t^3}{3})\cdot dt\)

\(x(t) = \frac{k}{12} \cdot t^4\)

\(\vec{v}(t)=\frac{1}{3} \cdot k \cdot t^3 \rightarrow \vec{v}(5)=83,3 \ m/s\)

\(\vec{x}(t)=\frac{k}{12} \cdot t^4 \rightarrow \vec{x}(5)= 104,16 \ m \)

Moto verticale:

Un punto materiale viene lasciato cadere da un'altezza ho. Vogliamo ricavare le espressioni della posizione, della velocità e infine del tempo. Calcolo del tempo di caduta.

• \(\vec{a} = -g \hat{y}\)

• \(\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}\) \( \Rightarrow -9.81 \int_{0}^{t} dt = \int_{0}^{\vec{v}(t)} d\vec{v} \Rightarrow \vec{v}(t) = -9.81t \)

• \(\vec{v} = \frac{d\vec{y}}{dt} \Rightarrow \int_{h_o}^{y(t)} d(y) = \int_{0}^{t} -9.81t dt \Rightarrow y(t) - ho = -\frac{1}{2}gt^2\)

\(\vec{v}(t) = -9.81t\)

\(y(t) = ho - \frac{1}{2}gt^2\)

• -t = \(\left[\frac{ho}{\frac{1}{2}g}\right]^\frac{1}{2}\)

Esempio:

• \(\vec{a} = -g \hat{y}\)

• \(\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}\) \(\Rightarrow \int_{\vec{v}_o}^{\vec{v}(t)} d\vec{v} = \int_{0}^{t} -g dt \Rightarrow \vec{v}(t) = \vec{v}_o - g t\)

• \(\vec{v} = \frac{d\vec{y}}{dt} \Rightarrow \int_{yo}^{y(t)} dy = \int_{0}^{t} \vec{v}_o dt + \int_{0}^{t}(-g) t dt\)

\(y(t) = \vec{v}_o t - \frac{1}{2} gt^2\)

\(v(t_o) = - \vec{v}_o - g t_o \Rightarrow t_o = \frac{\vec{v}_o}{g}\)

y(t₁) = ^v₀2⁄_g,

¹⁄₂^t₁2val²g → t₂ = 2t₁ = ^2v₀⁄_g

Moto rettilineo smorzato:

x(t) = -kv(t)

a = ^dv⁄_dt → -k^{vt = dx⁄_dt}

∫^v(t)⁄_xx dv = ∫^t⁄₀ -k dt → ln v(t)⁄v₀ = -kt

v(t) = v₀ e^-kt

x(t) = ∫^x(t)⁄₀ dx = ∫^t⁄₀ v₀ e^-kt dt

x(t) = -v₀⁄_k e^-kt + v₀⁄_k

= v₀⁄_k (1 - e^-kt)

v(t) = v₀ e^-t/τ

v₀ = 2 m/s

τ = 5 s

• τ "Costante di tempo" si:
• Ottiene intersecando la retta tangente al tempo t=0 e l'asse del tempo. I sistemi, governati da questo tipo di eq, avranno al 99,2% del lav. valore di regime in un tempo pari a 5τ.

v(t) = v₀ e^-t/τv₀ = 2 m/sτ = 5 s

v = v₀ e^-t/τ → ^dv/_dt = ^-v₀/_τ e^-t/τ

( ^dv/_dt )_t=0 = ^-v₀/_τ

Questo è il coefficiente angolare della retta tangente alla velocità per t = 0. L'equazione completa della retta tangente (v') è data da:

v' = ^-v₀/_τ t + v₀

v' si annulla (quindi attraversa l'asse del tempo) per t = τ

v'(t = τ) = ^-v₀/_τ τ + v₀ = 0

v' = ^-v₀/_τ t + v₀

v(t) = v₀ e^-t/τv₀ = 2 m/sτ = 5 s

Cinematica in due dimensioni:

- Rappresentazione Cartesiana

y(t) = x(t)u_x + y(t)u_y

x(t) = R cos(θ)

y(t) = R sen(θ)

- Rappresentazione polare

γ(t) = R(t) u_R

R = √(x² + y²)

θ = arctan(^y/_x)

Si sceglie la rappresentazione considerando l'accelerazione

Cartesiana

r(t) = x u_x + y u_y ; r(t + dt) - r(t) = dr = dx u_x + dy u_y

v(t) = ^dr(t)/_dt = ^dx/_dt u_x + ^dy/_dt u_y = v_x u_x + v_y u_y

a(t) = ^dv(t)/_dt = ^d2x/_dt² u_x + ^d2y/_dt² u_y = ^dv_x/_dt u_x + ^dv_y/_dt u_y

Moto parabolico

v_o = v_ox + v_oy

v_ox = v_o cos(α) u_x

v_oy = v_o sen(α)

1. a_x = 0

   a_x = ^{d v_x(t)}⁄_{d t} → _to∫^v_x(t) d v_x = 0 → v_x(t) = v_o x = v_o cos θ u_x

   v_x = ^{d x}⁄_{d t} → _to∫^t d x = ∫₀^t v_o x d t → x(t) = x_o + v_o cos θ t u_x

2. a_y = -g u_y

   a_y = ^{d v_y}⁄_{d t} → _to∫^v_y(t) d v_y = -g u_y ∫_to^t d t

   v_y(t) = (v_o sen θ - g t) u_y = ^{d y}⁄_{d t}

   ∫_yo^y(t) d y = ∫₀^t v_y(t) d t

   y(t) = y_o + (v_o sen θ t - ¹⁄₂ g t²) u_y

• Traiettoria:

x(t) = x_o + v_o cos θ t

y(t) = y_o + v_o sen θ t - ¹⁄₂ g t² →

t = ^{x(t) - x_o}⁄_{vocos θ}

y = y_o + v_o sen θ ^{x - x_o}⁄_{vo cos θ} - ^g⁄₂ ^{(x - x_o)2}⁄_{v²o cos²θ}

se x_o e y_o ≠ 0

se x_o c_y = 0;

y(x) = x tan θ - ^g⁄₂ v²_o cos²θ

• Gittata: ¹⁄₂ y_o e x_o = 0

y(t) = v_o sen θ t - ¹⁄₂ g t² = 0 → t (v_o sen θ - ¹⁄₂ gt) = 0

t₂ = 0

t₁ = ^{2 v_o sen θ}⁄_g → sostituiamo ad x

x(t₁) = v_o cos θ ^{2 v_o sen θ}⁄_g = ^{v2_o sen 2θ}⁄_g

2_me v_x e y₀ ≠ 0

y(t₁) = 0 → y₀ + v_0yt₁ + 1²/_gt² = 0

t_1,2 = ^{-v₀y±√(v2₀y)j2 - 2y₀ )}/_g = ^v₀y/_g

x(t₂) = v_0xt₂ + (v_0x/_g) (1+

Altezza massima: (v_y(t) = 0)

t_m = ^v₀y/_g

y(t_m) = y₀ + v²₀y/_2g = y²₀/₂

• Coordinate polari:

dr = d Ru_R = Rdθ u_θ

u_R = ^dR/_dt u_R = -R ^dθ/_dt u_θ

a = ^{d R}/_dtu_R + ^dR/_Rdt + (R ^dθ/_dt )u_θ + R ^dθ/_dt d^u_θ/_dt =

a = ^d2R/_dt²u_R + ^dR/_dt (R ^dθ/_dt )u_θ + R ^dθ/_dt d^u_θ/_dt

d u_R = ^duction_{dθ">dθ dt; ^duθ/dt = ^{d uθ}/dθ ^dθ/dt}

u_R = cosθ u_x + sinθ u_y

^{d u_R}/_dθ = -sinθ u_x + cosθ u_y = u_θ

u_θ = -sinθ u_x + cosθ u_y, ^du_θ/_dθ = -cosθ u_x - sinθ u_y = -u_P

γ(t)=R u_θ

ν(t)=^dγ(t)/_dt=^dR/_dt u_R + R ^dθ/_dt u_θ

Rων=ν_θ ; ν_θ = ν_R + ν_θ velocità tangenziale

a=^d2R/_dt² u_R + ^dR/_dt u_θ + R ^dθ/_dt u_θ+ R ^dθ/_dt

a=^d2R/_dt² u_R + ^dR/_dt u_θ + R ^d2θ/_dt² u_θ + R ^dθ/_dt

a=^d2R/_dt² u_R + ^d2θ/_dt² u_θ + 2 ^dR/_dt ω u_θ + R ^d2R/_dt² u_θ

a=( ^d2R/_dt² - ω²R) u_R + ( 2 ^dR/_dt ω + R ^d2θ/_dt²) u_θ

|d|=^d2θ/_dt² → accelerazione angolare

α=^d2θ/_dt² u₂

• Moto circolare

^dR/_dt=0 →

ν(t)=Rωu_θ

a(t)=- Rω²u_R + R ^d2θ/_dt² u_θ

acc. Centripeta

α=^d2θ/_dt² [rad/s²]

• Moto circolare uniforme:

α = _dw/^dt = 0

v(t) = Rw_(t)U₀ → Costante in modulo

a(t) = -R_w²U_R → è puramente centripeta e costante in modulo

• Oss: essendo il raggio costante, la posizione può essere determinata dall'angolo polare

dω = 0 → ₀∫ ^w(t)_w0 dω = ∫ ^t₀ 0 _dt → w(t) = w₀

w = _dθ/^dt → ∫ ^θ(t)_θ0 dθ = w ∫ ^t₀ d α → θ(t) = θ₀ + w₀t

⇒ Spazio effettivamente percorso (arco di circonferenza)

s(t) = θ(t)R = Rθ₀ + Rw₀t = s₀ + vt

|v| = wR → |a| = w²R = v²/_R

T = 2πR/|v| = 2π/w₀ [s]   f = ₁/^T [_fs = Hz]

• Moto uniformemente accelerato:

α = cost

v(t) = Rw(t)U₀ → il modulo non è costante

a(t) = -R^w₂U_R +Rα U_θ = a_R + A_θ → Componente centripeta non cost ed una tangenziale cost

α = _dω/^dt → ∫ ^w(t)_w0 dω = ∫ ^t₀ α dt → w(t) = w₀ + αt

w = _dθ/^dt → ∫ ^θ(t)_θ0 dθ = ∫ ^t₀ (w₀ + αt) dt → θ(t) = θ₀ + w₀t + ₁/² α^t2

s(t) = θ(t)R = Rθ₀ + Rω₀t + _Rα/²t² = s₀ + v₀t + ₁/² a_θt²

|v(t)|=|v(t)|R = (w₀ + α t) R   |a| = w₂t = v(t)²/_R