Appunti di Analisi Matematica T-B

Analisi Matematica T-B

Collareda Mattia

Dipartimento di Ingegneria Energetica, Universitá di Bologna

10 giugno 2018

2

Indice n →

1 Funzioni in piú variabili (f : 7

R R)

1.1 Prodotto scalare e prodotto vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

n

1.1.1 Spazio euclideo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

R n

1.1.2 Base canonica di . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

R

2

1.1.3 Spazio vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

R 3

1.1.4 Spazio vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

R

1.1.5 Combinazione lineare rispetto alla base canonica . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.6 Norma e modulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.7 Prodotto scalare tra vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.8 Angolo tra due vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.9 Prodotto vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.10 Prodotto misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2 Continuità e limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3

1.2.1 Equazione del piano in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

R

1.2.2 Intorno sferico e punto di accumulazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.3 Insieme limitato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.4 Limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.5 Continuità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.6 Teorema della permanenza del segno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.7 Esistenza del limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

n

1.3 Topologia in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

R

1.3.1 Insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.2 Insieme aperto o chiuso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.3 Teorema di Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.4 Connessione per archi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.5 Teorema degli zeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Derivazione 15

n →

2.1 Derivazione di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

R R

2.1.1 Derivata parziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.2 Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.3 Simmetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.4 Differenziabilitá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.5 Piano tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3

4 INDICE

2.1.6 Continuità, derivabilità e differenziabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.7 Differenziale primo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.8 Derivate direzionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.9 Formula del gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

n m

→

2.2 Derivazione di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

R R

2.2.1 Derivata parziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.2 Derivata direzionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.3 Derivata di somma e prodotto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.4 Matrice Jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.5 Differenziabilitá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.6 Differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.7 Differenziale di somma e prodotto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.8 Differenziale della composizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

m

→

2.3 Derivazione di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

R R

2.3.1 Derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.2 Derivata di somma e prodotto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.3 Derivata della composizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4 Teoremi su funzioni vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4.1 Teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4.2 Teorema delle funzioni a gradiente nullo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.5 Derivate di ordine superiore al primo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2 →

2.5.1 Derivata seconda di funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

R R

n →

2.5.2 Derivata seconda di funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

R R

2.5.3 Matrice Hessiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.5.4 Teorema di Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.5.5 Formula di Taylor con resto di Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5.6 Differenziale secondo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.6 Estremanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.6.1 Teorema di Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.6.2 Punti stazionari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.6.3 Punti di sella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.7 Forme quadratiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.7.1 Classificazione in due dimensioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.7.2 Criterio di Sylvester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.7.3 Regola di Cartesio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.7.4 Relazione tra forma quadratica ed estremanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.8 Numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.8.1 Proprietá dei numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.8.2 Forma trigonometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.8.3 Forma esponenziale, formula di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.8.4 Formula di De Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.8.5 Teorema fondamentale dell’algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.9 Equazioni differenziali lineari del primo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.9.1 Integrale generale dell’equazione completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.9.2 Problema di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.10 Equazioni differenziali del secondo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

INDICE 5

2.10.1 Problema di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.10.2 Equazioni differenziali a coefficienti costanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.10.3 Metodo di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.10.4 Wronskiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.10.5 Metodo per somiglianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.10.6 Somma di soluzioni particolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3 Integrazione 53

3.1 Misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.1.1 Misura di Peano-Jordan nel piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.1.2 Misura di insiemi piani limitati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.2 Integrale di Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.2.1 Grafico e sottografico di f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.2.2 Integrazione secondo Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.2.3 Insieme normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.3 Integrale doppio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.3.1 Teoremi di riduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.4 Integrale triplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.4.1 Teorema di Cavalieri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.4.2 Riduzione per fili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.5 Coordinate cartesiane e polari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.5.1 Teorema del cambio di variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.5.2 Coordinate polari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.5.3 Coordinate cilindriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.5.4 Coordinate sferiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.5.5 Trasformazione di un triangolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3

3.6 Quadriche in (in forma canonica) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

R

3.7 Funzioni trigonometriche e iperboliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.7.1 Funzioni trigonometriche inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.7.2 Funzioni iperboliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.7.3 Funzioni iperboliche inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

m

4 Curve in (m = 2, 3) 77

R

4.1 Rappresentazione parametrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.1.1 Caso m = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.1.2 Proprietá di una rappresentazione parametrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.1.3 Velocitá vettoriale e scalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.1.4 Rappresentazione parametrica regolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.1.5 Integrale di una rappresentazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

2

4.2 Parametrizzazione di una curva in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

R

4.3 Rappresentazione parametrica in forma polare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.4 Lunghezza di una rappresentazione parametrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.5 Eccentricitá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.5.1 Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.5.2 Ellisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.5.3 Iperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6 INDICE

4.6 Studio del moto in coordinate polari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.6.1 Seconda legge di Keplero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.6.2 Prima legge di Keplero, eccentricitá dell’orbita . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.6.3 Terza legge di Keplero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.7 Parametrizzazioni equivalenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.7.1 Relazione di equivalenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.7.2 Lunghezza di due rappresentazioni equivalenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.8 Massa e lunghezza d’arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.9 Baricentro di una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.10 Momento di inerzia di una curva rispetto ad una retta . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5 Campi vettoriali 91

5.1 Campi vettoriali stazionari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.1.1 Rotore di un campo vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.1.2 Divergenza di un campo vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.1.3 Lavoro di un campo vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.2 Campi conservativi esatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.2.1 Lavoro di un campo conservativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.2.2 Campo conservativo irrotazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.2.3 Insieme semplicemente connesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.2.4 Formule di Gauss-Green nel piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.2.5 Calcolo di aree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3

6 Superficie in 101

R

6.1 Superficie regolare in forma parametrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.1.1 Vettore normale alla superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.1.2 Piano tangente alla superficie in un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.1.3 Superfici di rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.1.4 Elemento d’area infinitesimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6.2 Integrali di superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6.2.1 Superficie orientabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6.2.2 Bordo della superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6.3 Flusso di un campo attraverso una superficie orientata . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6.3.1 Teorema della divergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6.3.2 Teorema di Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Capitolo 1

Funzioni in piú variabili

n →

(f : R R)

1.1 Prodotto scalare e prodotto vettoriale

n

1.1.1 Spazio euclideo R n

Definizione Definiamo lo spazio vettoriale come il prodotto cartesiano dell’insieme n

R R

volte: n × × ×

= ...

R R R R

n

∈ ⇔

Quindi x x = (x , x , ..., x ) con x componente i-esima del vettore x

R 1 2 n i

n

Essendo uno spazio vettoriale, per i suoi elementi (vettori) valgono le operazioni di somma e

R

prodotto per uno scalare: n

• siano x = (x , x , ..., x ) e y = (y , y , ..., y ) vettori appartenenti allo spazio , la loro

R

1 2 n 1 2 n

somma ha per componenti la somma delle componenti dei singoli vettori:

x + y = (x + y , ..., x + y )

1 1 n n

• ∈

sia λ numero reale allora definiamo il vettore λx:

R λx = (λx , λx , ..., λx )

1 2 n

n

1.1.2 Base canonica di R n

Definizione Definiamo la base canonica dello spazio e la indichiamo con C = e , e , ..., e

R 1 2 n

l’insieme dei vettori: e = (1, 0, 0, ..., 0)

1

e = (0, 1, 0, ..., 0)

2

.....

e = (0, 0, 0, ..., 1)

n 7 N →

8 CAPITOLO 1. FUNZIONI IN PIÚ VARIABILI (F : R R)

2

1.1.3 Spazio vettoriale R 2

Definizione Nel caso n = 2 scriveremo il generico vettore appartenente ad come x = (x, y) e

R

indicheremo con i e con j rispettivamente gli elementi della base canonica e ed e :

1 2

i = e , j = e

1 2

3

1.1.4 Spazio vettoriale R 3

Definizione Similmente a come appena fatto, scriveremo il generico vettore appartenente ad R

come x = (x, y, z) e indicheremo con i, j e k gli elementi della base canonica:

i = e , j = e , k = e

1 2 3

1.1.5 Combinazione lineare rispetto alla base canonica

n

Proposizione Se x è un vettore appartenente allo spazio vettoriale , allora può essere scritto

R

come combinazione lineare rispetto alla sua base canonica, cioè:

x = (x , ..., x ) = x e + x e + ... + x e

1 n 1 1 2 2 3 n

Osservazione Il vettore x conserva le coordinate solo per una determinata base, in caso la base

fosse diversa necessariamente saranno diverse anche le coordinate.

1.1.6 Norma e modulo n

∈ |x|

Definizione Definiamo norma o modulo di un vettore x e la indichiamo con il numero

R

positivo reale calcolato come: v n

u q

X

u 2 21 22 2

|x| ||x|| x = x + x + ... + x

= = t n

i

i=1

|x|

Osservazione Nel caso si abbia che = 1 allora x è un versore, osserviamo che tutti gli elementi

della base canonica sono versori.

6

Se x = 0, cioè almeno una delle sue componenti non è nulla, allora necessariamente il suo modulo

è strettamente positivo: 6 ⇔ |x|

x = 0 > 0

e il suo versore si calcola come il rapporto tra il vettore stesso e il suo modulo:

x

vers. x = |x|

1.1. PRODOTTO SCALARE E PRODOTTO VETTORIALE 9

1.1.7 Prodotto scalare tra vettori n

Definizione Siano u = (u , ..., u ) e v = (v , ..., v ) vettori di , definiamo il prodotto scalare

R

1 n 1 n

∗

u v: ∗

u v = u v + u v + ... + u v

1 1 2 2 n n

Il prodotto scalare può essere anche scritto in funzione dei moduli dei due vettori:

∗ |u| ∗ |v| ∗

u v = cos ϑ

dove ϑ è l’angolo compreso tra i due vettori; osserviamo che se uno dei due vettori è un versore,

allora il prodotto scalare rappresenta la proiezione ortogonale del vettore sulla direzione del versore.

1.1.8 Angolo tra due vettori

Definizione Definiamo l’angolo tra due vettori u e v non nulli come l’unico angolo compreso

∈

tra 0 e π radianti (ϑ [0, π]) tale che il suo coseno è dato dal rapporto:

∗