Appunti di Analisi Matematica T-B

A

ossia il volume del sottografico di f (R(f )). Se tale volume é inferiore a +∞, diremo che é

sommabile secondo Riemann.

f di segno qualunque 2

→ ∈

Definizione Sia f : A con A J(R ) ed f di segno qualunque, definiamo due funzioni:

R +

• parte positiva di f : f (x, y) = max{f (x, y), 0}

−

• parte negativa di f : f (x, y) = min{f (x, y), 0}

La cui somma ha come risultato la funzione f : −

+

f (x, y) + f (x, y) = f (x, y)

−

+

Quindi il sottografico di f e f sono misurabili secondo Peano-Jordan:

−

+ 3

∈

R(f ), R(f ) J(R )

e, se non entrambi +∞, diremo che f é integrabile secondo Reimann e poniamo:

Z Z Z

− −

+ +

− −

f (x, y)dxdy = µ (R(f ) R(f )) = f (x, y)dxdy f (x, y)dxdy

3

A A A

−

+

R R

se sia f (x, y)dxdy che f (x, y)dxdy sono finiti, allora diremo che f é sommabile secondo

A A

Reimann e quindi: Z |f (x, y)|dxdy < +∞

A

58 CAPITOLO 3. INTEGRAZIONE

2

→ ∈

Teorema Sia f : A con A J(R ) ed f integrabile secondo Riemann, allora:

R

• l’esistenza e il valore dell’integrale di f su A non dipendono dai valori che f assume su un

insieme di misura nulla;

• |f |

se f é sommabile secondo Riemann, allora é sommabile secondo Riemann e viceversa;

• vale la disuguaglianza triangolare, ossia: Z

Z ≤ |f (x, y)|dxdy

f (x, y)dxdy A

A

• vale la media integrale: Z

1

≤ ≤

inf f f (x, y)dxdy sup f

µ (A)

A 2 A

A

2

→ ∈

Teorema se f, g : A con A J(R ) sommabili secondo Riemann, allora valgono le proprietá

R

di linearitá e monotonia:

(R R R

(f + g)dxdy = f dxdy + gdxdy

A A A

linearitá R R

∗ ∗

(c f )dxdy = c f dxdy

A A

n R R

≤ ∈ ≤

monotonia f g (∀x, y A) =⇒ f dxdy gdxdy

A A

2

→ ∈ ∪A

inoltre se f : A con A J(R ), µ (A) < 0, f sommabile secondo Riemann su A ed A = A

R 2 1 2

∪

con A e A misurabili secondo Peano-Jordan e µ (A A ) = 0, allora:

1 2 2 1 2

Z Z Z

f dxdy = f dxdy + f dxdy

A A A

1 2

3.2.3 Insieme normale n

→ ∈

Definizione Siano f, g : A con A J(R ) e sia:

R ≤ ∀x ∈

g(x) f (x) A

n+1

Allora il sottoinsieme di :

R x,y n+1

{(x, ∈ |x ∈ ≤ ≤

B = y) A, g(x) y f (x)}

R

é detto normale rispetto all’asse y.

Nota bene se f, g sono sommabili secondo Riemann, allora:

Z

n+1

∈ −

B J(R ), µ (B) = (f (x) g(x))dx

n+1 A

3.3. INTEGRALE DOPPIO 59

3.3 Integrale doppio

3.3.1 Teoremi di riduzione

Il calcolo dell’integrale di una funzione definita su un insieme normale puó essere semplificato

attraverso i teoremi di riduzione, riconosciamo casi particolari:

Funzione definita su un rettangolo 2 ×

Consideriamo una funzione definita su un rettangolo, ossia un intervallo in del tipo I = [a, b]

R

→

[c, d] ed f : I continua.

R Figura 3.1: funzione definita su un rettangolo I

→

Consideriamo ora la funzione G : [c, d] definita come:

R b

Z

G(y) = f (x, y)dx

a ∈

Figura 3.2: funzione G in un punto y [c, d]

0

che é una funzione continua e sommabile secondo Riemann nel dominio, e definiamo integrale doppio

60 CAPITOLO 3. INTEGRAZIONE

di f il numero reale: !

b

d

d Z

Z

ZZ Z f (x, y)dx dy

G(y)dy =

f (x, y)dxdy = a

c

c

I →

Analogamente definiamo la funzione H : [a, b] tale che:

R

d

Z

H(x) = f (x, y)dy

c ∈

Figura 3.3: funzione H in un punto x [a, b]

0

che, come sopra, é continua e sommabile secondo Riemann, e l’integrale doppio di f si puó scrivere:

!

b b d

ZZ Z Z Z

f (x, y)dxdy = H(x)dx = f (x, y)dy dx

I a a c

∗ → →

Nota bene se f (x, y) = g(x) h(y) con g : [a, b] e h : [c, d] continue, allora:

R R

b d

ZZ Z Z

∗

f (x, y)dxdy = g(x)dx h(y)dy

I a c

Funzione definita su un insieme normale

Se consideriamo invece una funzione definita su un insieme normale del piano, ossia un un insieme

2

⊆

K (in questo caso normale rispetto a y) tale che:

R 2

{(x, ∈ |a ≤ ≤ ≤ ≤

K = y) x b, ψ (x) y ψ (x)}

R 1 2

3.4. INTEGRALE TRIPLO 61

2

Figura 3.4: Insiemi normali (∈ ) rispetto a y (a) e x (b)

R

→ →

con ψ , ψ : [a, b] continua, quindi la funzione f : K é continua e il suo integrale

R R

1 2

doppio su K si calcola come: !

b ψ (x)

ZZ Z Z 2

f (x, y)dxdy = f (x, y)dy dx

K a ψ (x)

1

2

⊆

Se invece K é un insieme normale rispetto all’asse x, cioé tale:

R 2

{(x, ∈ |ϕ ≤ ≤ ≤ ≤

K = y) (y) x ϕ (y), c y d}

R 1 2

→

con ϕ , ϕ : [a, b] continue, allora:

R

1 2 !

d ϕ (y)

ZZ Z Z 2

f (x, y)dxdy = f (x, y)dx dy

K c ϕ (y)

1

f come sopra da K a continua.

R

3.4 Integrale triplo

3.4.1 Teorema di Cavalieri

3

⊆

Definizione Un insieme V é detto solido di Cavalieri, se tale insieme é misurabile secondo

R

Peano-Jordan, posso definire, per ogni piano perpendicolare ad una retta λ, l’insieme sez (V ), che

λ

rappresenta l’intersezione tra tale piano e il solido V , tale insieme é bidimensionale e misurabile

secondo Peano-Jordan: 2

∈

sez (V ) J (R )

λ b

62 CAPITOLO 3. INTEGRAZIONE

Teorema Siano V e V due solidi di Cavalieri di asse λ, se:

1 2 ≤

µ (sez (V )) µ (sez (V ))

2 λ 1 2 λ 2

per ogni piano perpendicolare a λ, allora: ≤

µ (V ) µ (V )

3 1 3 2

in particolare se µ (sez (V )) = µ (sez (V )), allora:

2 λ 1 2 λ 2

µ (V ) = µ (V )

3 1 3 2

Teorema Se V é un solido di Cavalieri di asse z e la funzione che associa quote z a misure

→

bidimensionali di sez (V ) (z µ (sez (V ))) é sommabile su [α, β] e nulla all’esterno dell’intervallo,

z 2 z

allora il volume di V é dato da: β

Z

µ (V ) = µ (sez (V ))dz < +∞

3 2 z

α

→

se invece abbiamo f : V continua allora chiamiamo integrale triplo di f su V il volume di

R

V : !

β

ZZZ Z ZZ

µ (V ) = f (x, y, z)dxdydz = f (x, y, z)dxdy dz

3 V α sez (V )

z

3.4. INTEGRALE TRIPLO 63

Volume del cilindro

Consideriamo un cilindro (C ) di raggio R e altezza H:

l 3

{(x, ∈ |(x, ∈ ≤ ≤

C = y, z) y) A, 0 z H}

R

l

con A area di base del cilindro, tale che: 2

∗

µ (A) = µ (sez (Cl)) = π R

2 2 z

da cui possiamo ricavare il volume del cilindro:

H

Z 2 2 2

∗ − ∗ ∗

µ (C ) = π R dz = (H 0) π R = πHR

3 l 0

Volume del cono

Consideriamo un cono (C ) di raggio di base R e altezza H:

n 3

{(x, ∈ |(x, ∈ ≤ ≤

C = y, z) y) A(z), 0 z H}

R

n

Come possiamo notare in questo caso la sezione dipende dalla quota z e notiamo che i triangoli

∗

Hrz e HR0 sono simili, quindi vale la proporzione:

∗ ∗

− − ∗

H z r (H z ) R

−→

= r =

H R H

64 CAPITOLO 3. INTEGRAZIONE

da cui ricaviamo l’area della sezione A in funzione di z:

2

R

2 2

∗ −

∗

µ (A) = πr (H z)

= π

2 2

H

Integriamo quindi rispetto a z da = ad H per ricavare l’area del cono: H

H H

2 2 2 3 2

−

Z Z

R R R (H z) πR H

2 2

− −

π (H z) dz = π (H z) dz = π

µ (C ) = =

3 n 2 2 2

H H H 3 3

0 0 0

Volume della sfera

Consideriamo una sfera (S ) di raggio R, descritta come un insieme di punti nello spazio tali che:

f 3 2 2 2 2

{(x, ∈ |x ≤ }

S = y, z) + y + z R

R

f

Anche in questo caso l’area della sezione dipende dalla quota z, in particolare il raggio della sezione

puó essere scritto in funzione di z sfruttando il teorema di Pitagora:

p ∗2

2 −

r = R z

da cui, l’area della sezione A: 2 2 2 2 2

∗ − −

µ (A) = πr = π (R z ) = πR πz

2

−R

Posso ora integrare da a +R per ricavarmi l’area della sfera:

R R R

Z Z Z 2 4

2 2 2 2 3 3 3

− − −

µ (S ) = (πR πz )dz = πR dz π z dz = 2πR πR = πR

3 f 3 3

−R −R −R

Volume di un solido di rotazione +

→

Nel piano xz consideriamo il sottografico della funzione f : [a, b] che manda punti dell’asse

R z

x compresi nell’intervallo [a, b] in punti del semiasse positivo delle coordinate z.

Se tale sottografico viene fatto ruotare attorno all’asse x otteniamo un solido di Cavalieri di asse x

∗ ∗

che chiamiamo S , infatti se le sezioni sez (S ) sono dischi di centro (x , 0, 0) e raggio f (x ) allora

r x r

posso scrivere l’area di tali dischi in funzione della coordinata x:

2

µ (sez (S )) = πf (x)

2 x r

3.4. INTEGRALE TRIPLO 65

e il volume del solido S sará l’integrale da a a b dell’area delle sezioni:

r b

Z 2

πf (x)dx

µ (S ) =

3 r a

3.4.2 Riduzione per fili 2

→ ∈

Siano α, β : A funzioni continue con A J (R ) misurabile nel piano e sia K un insieme

R z b

normale rispetto a z: 3

{(x, ∈ |(x, ∈ ≤ ≤

K = y, z) y) A, α(x, y) z β(x, y)}

R →

Teorema Se esiste una funzione continua f : K , con K come sopra, allora la funzione:

R

β(x,y)

Z

3 →

A (x, y) f (x, y, z)dz

α(x,y)

é continua e il volume del solido K si calcola come: !

β(x,y)

ZZZ ZZ Z

µ (K) = f dxdydz = f (x, y, z)dz dxdy

3 K A α(x,y)

66 CAPITOLO 3. INTEGRAZIONE

Se ora anche A é un insieme normale, supponiamo rispetto a y:

2

{(x, ∈ |a ≤ ≤ ≤ ≤

A = y) x b, ψ (x) y ψ (x)}

R 1 2

→

con ψ , ψ : [a, b] funzioni continue, allora il volume di K si puó scrivere come:

R

1 2 y ! !

β(x,y)

ψ (x)

b Z

ZZZ Z

Z 2 f (x, y, z)dz

µ (K) = dy dx

f dxdydz =

3 α(x,y)

&ps