Appunti di Analisi Matematica T-B

N →

2.1. DERIVAZIONE DI FUNZIONI 17

R R

• 6 6

Primo caso, c = 0 e c = 0, calcolo la derivata parziale rispetto a x:

1 2 2 22

∗ − ∗ ∗

∗ c (x c ) 2x (x c )

δg d x c

2 2 2

= =

(c , c ) =

1 2 22 22

2 2 2

δx dx x + c (x + c )

(c ) (c )

1 1

22 21

−

c c

∗

= c 2 22

2 2

(x + c )

• 6

Secondo caso, c = 0 e c = 0, calcolo la derivata parziale rispetto a x:

1 2 d 0

(c ) = =0

g(x) 1 21 2

dx (c + 0)

(x,0)

Quindi la derivata è nulla per tutti i punti che stanno sull’asse delle x.

• Terzo caso, c = c = 0, calcolo la derivata parziale rispetto a x:

1 2 h∗0 − 0

−

δg g(h, 0) g(0, 0) 2

h

(0, 0) = lim = lim =0

δx h h

h→0 h→0

Quindi la funzione è derivabile in (0, 0) e la sua derivata è nulla.

2.1.3 Simmetria 2

Definizione Possiamo considerare la riflessione rispetto ad una retta come una funzione da a

R

2 tale che:

R R (x, y) = (y, x)

f

Notiamo subito che la derivata parziale rispetto a x di una generica funzione g nel punto (x, y)

coincide con la derivata parziale rispetto a y nel punto (y, x):

− −

g(c + h, c ) g(c , c ) g(c , c + h) g(c , c )

1 2 1 2 2 1 2 1

lim = lim

h h

h→0 h→0

2.1.4 Differenziabilitá n ∈

Definizione Sia A aperto di , sia x A, diremo che f è differenziabile in x se esiste un

R 0 0

vettore a tale che sussiste: − ∗

f (x + h) f (x ) = a h + o(h)

0 0

Se f è differenziabile in x allora è derivabile parzialmente rispetto a tutte le variabili in x e a è

0 0

∇f

il gradiente della funzione f in x (a = (x )).

0 0

Dimostrazione Se calcoliamo la derivata parziale rispetto ad una generica variabile x otteniamo:

i

∗ −

δf f (x + h e ) f (x )

0 i 0

(x ) = lim

0

δx h

h→0

i

18 CAPITOLO 2. DERIVAZIONE

Sfruttiamo quindi la definizione di differenziabilità per calcolare questo limite:

∗ − ∗ ∗ ⇒

f (x + h e ) f (x ) = a (h e ) + o(h)

0 i 0 i

∗ −

f (x + h e ) f (x ) h→0

0 i 0

⇒ ∗

= a e = a

i i

h

C.v.d., la derivata parziale rispetto alla variabile i-esima di x è la variabile i-esima di a, quindi il

0

vettore a puó essere scritto come:

δf δf ∇f

a = (a , ..., a ) = (x ), ..., (x ) = (x )

1 n 0 0 0

δx δx

1 n

2.1.5 Piano tangente n →

Definizione Definiamo, se f : è differenziabile in x , piano tangente al grafico di f in

R R 0

n+1

∈

(x , f (x )) l’iperpiano:

R

0 0 x ,z

0 ∇f ∗ −

z = f (x ) + (x ) (x x )

0 0 0

n

∈

con x R

2.1.6 Continuità, derivabilità e differenziabilità

Proposizione Se una funzione è continua e derivabile in un punto, non è vero che è anche

differenziabile nello stesso. 2 →

Esempio Consideriamo la funzione g : continua e derivabile in (0, 0), dire se è differen-

R R

ziabile in (0, 0); 2

 xy 6

se (x, y) = (0, 0)

 2 2

g(x, y) = x + y

0 se (x, y) = (0, 0)



g è continua in (0, 0), infatti: 2 2

xy y (x,y)→(0,0)

|g(x, |x| ∗ ≤ |x| −−−−−−−→

y)| = = 0

2 2 2 2

x + y x + y

2 2 2 ≤

questo perchè y < x + y , quindi il loro rapporto è sempre 1

Inoltre g è derivabile in (0, 0) e la sua derivata è nulla:

δg δg

(0, 0) = (0, 0) = 0

δx δy

Se ora g fosse differenziabile in (0, 0) avremmo:

q

? 21 22

∇g(0,

g(h , h ) = g(0, 0) + 0)(h , h ) + o + h

h

1 2 1 2

N →

2.1. DERIVAZIONE DI FUNZIONI 19

R R

p 22

21

∇g(0, , noto subito che questa

+ h

sapendo che 0) = 0, mi basta verificare che g(h , h ) = o h

1 2

relazione è falsa perchè: g(h , h )

1 2 6

lim = 0

p 22

21 + h

h

(h ,h )→(0,0)

1 2

2.1.7 Differenziale primo

Definizione É detto differenziale primo della funzione della funzione f in x , con f differen-

0

ziabile in x , l’applicazione lineare df che approssima la funzione nel punto x , cosı̀ definita:

0 x 0

0

∗ ∇f ∗

df (h) = a h = (x ) h (2.1)

x 0

0

Condizioni di differenziabilità n ∈

Proposizione Sia A aperto di , con x A, se f possiede derivate parziali prime (cioè rispetto

R 0

a tutte le variabili) in un intorno di x e sono continue in x , allora f è differenziabile in x .

0 0 0

n

→ ⊆

Definizione Sia f : A con A aperto, ammette derivate parziali continue in A, diremo

R, R

1

∈

che f C (A, ossia sono continue le funzioni:

R),

δf →

: A per i = 1, 2, ..., n (2.2)

R

δx

i

2.1.8 Derivate direzionali

Definizione Sono dette derivate direzionali rispetto ad un versore v le derivate calcolate lungo

la direzione di tale versore (generalmente diverso dagli elementi della base canonica).

n

→ ⊆ ∈ ∗

Sia f : A A aperto, x A, consideriamo la retta r : x + t v con direzione del

R, R 0 0

versore v passante per il punto x , diremo che quindi f è derivabile parzialmente nella direzione di

0

v in x se esiste ed è finito il limite:

0 ∗ −

f (x + t v) f (x )

0 0

lim = D f (x )

v 0

t

t→0 0

∗

noto che, se g(t) = f (x + t v) allora D (x ) = g (0)

0 v 0

20 CAPITOLO 2. DERIVAZIONE

−y

∗

Esempio f (x, y) = x e , calcolare D (0, 0) con v = (cos ϑ, sin ϑ) = (v , v ) risulta:

v 1 2

−t∗sin ϑ

∗ ∗ ∗ ∗

g(t) = f (0 + t cos ϑ, 0 + t sin ϑ) = (t cos ϑ) e

calcolo quindi la derivata prima di g(t):

0 −t∗sin −t∗sin

ϑ ϑ

∗ ∗ ∗ ∗

g (t) = cos ϑ e + (t cos ϑ) e (− sin ϑ)

0

da cui calcolo g (0): 0 0

∗

g (0) = cos ϑ e = cos ϑ = D f (0, 0)

v

Osservazione La derivabilità direzionale per tutte le direzioni per un punto non comporta la

continuità della funzione nello stesso.

Esempio Consideriamo la funzione g non continua nell’origine ma derivabile, sempre nell’origine,

in tutte le direzioni: 2

 x y 6

se (x, y) = (0, 0)

 4 2

g(x, y) = x + y

0 se (x, y) = (0, 0)



Ora notiamo che la funzione g definita su (x, mx), cioè con y multiplo di x, secondo la direzione di

un qualunque versore, tende a 0 per x che tende a 0:

3

mx x→0

−−−→

g| = 0

(x,mx) 4 2 2

x + m x

2

Mentre se consideriamo la funzione g definita su (x, x ) , essa tende ad un valore diverso da 0:

4

x 1

2

(x,x )→0

−−−−−−→

g| =

2

(x,x ) 4

2x 2

2.1.9 Formula del gradiente

n

→ ⊆ ∈

Teorema Sia f : A A aperto, x A ed f differenziabile in x , allora per ogni versore

R, R 0 0

v risulta f derivabile in x nella direzione di v e vale la formula:

0 ∇f ∗

D f (x ) = (x ) v

v 0 0

Dimostrazione Data la differenziabilità di f in x , posso scrivere:

0

∇f ∗

f (x + h) = f (x ) + (x ) h + o(h)

0 0 0

∗

preso quindi h = t v si ha: ∗ ∇f ∗ ∗

f (x + t v) = f (x ) + (x ) t v + o(t)

0 0 0

da cui: ∗ −

f (x + t v) f (x )

0 0 ∇f ∗

= (x ) v + o(1)

0

t

quindi per la definizione di derivata direzionale:

∗ −

f (x + t v) f (x )

0 0 ∇f ∗

lim = (x ) v = D f (x )

0 v 0

t

t→0 N M

→

2.2. DERIVAZIONE DI FUNZIONI 21

R R

2 2

→

Esempio Sia g : tale che g(x, y) = xy , calcolare la derivata direzionale rispetto al

R R

versore v = (v , v ) nel punto c = (c , c ), cioé calcolare D g(c) = D g(c , c ).

1 2 1 2 v v 1 2

Scrivo il rapporto incrementale per la funzione nel punto c:

− −

g(c + tv) g(c) g(c + tv , c + tv ) g(c , c )

1 1 2 2 1 2

=

t t

Sviluppo il numeratore e ricavo:

2 22 2 2 22 2 2 3

−

(c + tv )(c + tv ) c c 2c c v t + c v t + c v t + 2c v v t + v v t

1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1

2 2

=

t t

ora ricavo, dalla definizione di derivata direzionale che, per t che tende a 0:

22

∇g(c) ∗

D g(c) = v = c v + 2c c v

v 1 1 2 2

da cui: 22

∇g(c) = (c , 2c c )

1 2

n m

→

2.2 Derivazione di funzioni R R

2.2.1 Derivata parziale

m n

→ ⊆ ∈

Sia f : A con A aperto, sia c A.

R R

Diremo che f, funzione che associa vettori ad n componenti vettori ad m componenti è deriva-

bile parzialmente rispetto a x (con i = 1, 2, ..., n) se esiste ed é finito il seguente limite l, che

i

chiameremo derivata parziale di f rispetto a x nel punto c

i

∗ − δf

f(c + t e ) f(c)

i = l = (c)

lim t δx

t→0 i

ciò significa che: ∗ −

f(c + t e ) f(c)

i ≤ ∀|t| ≤

−

∀ε ∃δ(ε) ε δ(ε)(6 = 0)

l

> 0 > 0 : t →

Osservazione Se f = (f , f , ..., f ) con f : A allora f è derivabile rispetto a x in c se e

R

1 2 m k i

solo se ciascuna f (con k = 1, 2, , ..., m) è derivabile rispetto a x in c:

i i

δf δf

k

∃l ⇐⇒ ∃l

= (c) = con i = (1, .., n) e k = (1, .., m)

k

δx δx

i i

2 3

→

Esempio Sia g : tale che:

R R 2 2 2 xyz

g(x, y, z) = (xy + z , 5x + e )

calcolare la derivata rispetto a x, y e z in un punto generico P = (c , c , c ):

0 1 2 3

δg δg δg

(c , c , c ), (c , c , c ), (c , c , c )

1 2 3 1 2 3 1 2 3

δx δy δz

22 CAPITOLO 2. DERIVAZIONE

Partendo dalla derivata rispetto a x, limito la funzione g alla sola variabile x:

22 23 2 xc c )

g| = (xc + c , 5x + e 2 3

(x,c ,c )

2 3

da cui posso derivare rispetto a x nel punto c :

1

d 22 c c c

22 xc c ∗

∗ )

)| = (c , 10c + c c e

g| (c ) = (c , 10x + c c e 1 2 3

2 3 c 1 2 3

1 2 3

(x,c ,c ) 1

2 3

dx

Con lo stesso procedimento ricavo:

δg c c c

∗ )

(c , c , c ) = (2c c , c c e 1 2 3

1 2 3 1 2 1 3

δy

δg c c c

∗

(c , c , c ) = (2c , c c e )

1 2 3

1 2 3 3 1 2

δz

2.2.2 Derivata direzionale

m n n

→ ⊆ ∈ ∈

Definizione Sia f : A con A aperto, sia c A e sia v versore. Diremo che f è

R R R

m

∈

derivabile secondo la direzione di v se esiste ed è finito l il limite definito come:

R

∗ −

f(c + t v) f(c) = l = (l , ..., l )

lim 1 m

t

t→0

quindi l è detta derivata di f nella direzione di v in c e si indica come:

δf (c) = D f(c)

v

δv

Osservazione Vale la precedente osservazione per cui D f(c) esiste se e solo se esiste D f (c)

v v k

per ogni k = (1, 2, ..., m): ∃l ⇐⇒ ∃l ∀k

= D f(c) = D f (c) = (1, ..., m)

v k v k

2.2.3 Derivata di somma e prodotto

m n

→ ⊆ ∈ → ∈

Siano f, g : A con A aperto, sia c A e w : A e sia k se f, g e w sono

R R R R,

n

∈

derivabili rispetto a v , allora:

R

• f + g è derivabile rispetto a v in c e:

D (f + g)(c) = D f(c) + D g(c)

v v v

• ∗

k f è derivabile rispetto a v in c e: ∗ ∗

D (k f)(c) = k D (f)(c)

v v

• ∗

w f è derivabile rispetto a v in c e:

∗ ∗ ∗

D (w f)(c) = D w(c) f(c) + w(c) D f(c)

v v v

| {z } {z } {z } {z }

| |{z} | |

n n

n

∈R ∈R ∈R ∈R ∈R

• ×

f g è derivabile rispetto a v in c e:

× × ×

D (g f)(c) = D g(c) f(c) + g(c) D f(c)

v v v

| {z } | {z } |{z} |{z} | {z }

n n n n n

∈R ∈R ∈R ∈R ∈R

N M

→

2.2. DERIVAZIONE DI FUNZIONI 23

R R

2.2.4 Matrice Jacobiana

Definizione Abbiamo appena visto che la derivata direzionale di una funzione vettoriale f è il

vettore formato dalle derivate direzionali delle singole funzioni reali f con k = 1, 2, ..., m:

k

D f(c) = (D f (c), D f (c), ..., D f (c))

v v 1 v 2 v m

Per essere derivabili lungo la direzione di v, le funzioni f devono ammettere tutte le derivate

k

parziali: δf

k con i = 1, 2, .., n e k = 1, 2, ..., m

δx

i

Definiamo quindi la matrice Jacobiana di f in c come: 

 δf δf δf

(c) (c) ... (c)

1 1 1

δx δx δx

 

∇f (c) 1 2 n

1 δf δf δf

δf (c) (c) ... (c)

2 2 2 



k

δx δx δx

D f(c) ... D f(c) ...

=

J (c) = = =

(c) 

 1 2 n

e e

f  

1 n ... ... ... ...

δx 



k ∇f (c) 



m δf δf δf

(c) (c) ... (c)

m m m

δx δx δx

1 2 n

con i = 1, 2, ..., n e k = 1, 2, ..., m.

2.2.5 Differenziabilitá

m n

→ ⊆ ∈

Definizione Sia f; A con A aperto, sia c A, diremo che f è differenziabile in c se

R R

esiste un’applicazione lineare T che approssima la funzione nell’intorno del punto c a meno di un

resto infinitesimo o(|h|): n m

∃T ∈ ; ) : f(c + h) = f(c) + T (h) + o(|h|)

L(R R

n m n m

∈ |h|

con T ; ) applicazione lineare da a e modulo di h.

L(R R R R

Vale dunque anche la relazione: − −

f(c + h) f(c) T (h) m

∈

lim = 0 R

|h|

h→0

2.2.6 Differenziale

Definizione L’applicazione lineare T è detta differenziale della funzione f in c e si può scrivere

come: T = df c

Dall’algebra lineare sappiamo che T applicata ad h può essere scritta come il prodotto della matrice

associata a T (indicata con L ) per h stesso, cioè in questo senso:

T ∗

T (h) = df (h) = L h

c T

24 CAPITOLO 2. DERIVAZIONE

n m

→ ∈

Proprietà Sia f : A(⊆ ) con A aperto, c A, f differenziabile in c, allora:

R R

• f è continua in c

• f è derivabile in ogni direzione nel punto c e la derivata vale:

D f(c) = T (v) = df (v)

v c

• T è unica e: n δf

X ∗

T (v) = df (v) = v (c)

c i δx

i

i=1

Osservazione Noto che se v = e elemento i-esimo della base canonica, allora:

i δf

D f(c) = T (e ) = df (e ) = (c);

e i c i

i δx

i

cosı̀ se h = h e + h e + ... + h e , allora T (h) si può calcolare come:

1 1 2 2 m m δf

δf

∗ ∗ (c) + ... + h (c)

T (h) = h T (e ) + .. + h T (e ) = h n

1 1 n n 1 δx δx

1 n

inoltre osservo che la matrice m associata a T è proprio la matrice jacobiana della funzione f nel

punto c:  

h

1

δf δf

∗ ∗ ...

T (h) = df (h) = J (c) (h) = =

(c) ... (c)

c f  

δx δx

1 n h

n



 δf δf

δf (c) (c) ... (c)

1 1

1   

   ∇f h

h (c) 1

1 1

δx δx δx

1 2 n

δf δf δf ∇f (c) h

h

(c) (c) ... (c)

2 2 2 

 2 2

2   

   ∗

∗

δx δx δx =

= 

 1 2 n   

   ... ...

...

... ... ... ... 

     





 δf δf δf ∇f (c) h

h

(c) (c) ... (c)

m m m m n

n

δx δx δx

1 2 n δf

n m

→ ∈

Teorema Siano f, g : A(⊆ ) e sia c A, se, in un intorno di c, esistono per

R R δx

i

i = 1, 2, ..., n e sono continue, allora f è differenziabile in c.

δf

n m

→ per i = 1, 2, ..., n e sono continue, diremo

Definizione Sia f : A(⊆ ) , se esistono

R R δx

i

1 m

∈

che f C (A, ).

R

2.2.7 Differenziale di somma e prodotto

n m

→ ∈ →

Siano f, g : A(⊆ ) differenziabili in c A, sia w : A anch’essa differenziabile in c e

R R R

∈

sia k allora:

R,

• f + g è differenziabile in c e: d(f + g) = d(f) + d(g)

c c c

M

→

2.3. DERIVAZIONE DI FUNZIONI 25

R R

• ∗

k f è differenziabile in c e: ∗ ∗

d(k f) = k d(f)

c c

• ∗

w f è differenziabile in c e: ∗ ∗ ∗

d(w f) = dw f(c) + w(c) df

c c c

• ×

f g è differenziabile in c e: × ∗ ∗

d(f g) = df g(c) + f(gc) dg

c c c

2.2.8 Differenziale della composizione

n m m p

⊆ ⊆ → →

Sia A aperto, sia B aperto e f : A , g : B , sia l’immagine di f contenuta

R R R R

⊆ ∈

nel dominio di g (f(A) B) e sia c A;

se f è differenziabile in c e g differenziabile in f(c), allora:

• ◦

g f è differenziabile in c e: ◦ ∗

d(g f) = dg df

c c

f(c)

• la matrice associata alla composizione è il prodotto delle jacobiane associate ai singoli diffe-

renziali: ∗

J (c) = J (c) J (c)

g◦f g f

• ◦

g f è derivabile in c e la derivata k-esima rispetto alla variabile j-esima della funzione si

calcola come: m

◦ δg δf

δ(g f) j

k X k ∗ ∗

(c) = (f(c)) (c)

δx δy δx

i j i

j=1

con i = 1, 2, ..., n e k = 1, 2, ..., p. m

→

2.3 Derivazione di funzioni R R

2.3.1 Derivata m

⊆ → ∈

Definizione Sia I intervallo con f : I , diremo che f è derivabile in c I se esiste il

R R

m

limite in definito sul rapporto incrementale:

R −

f(c + h) f(c) m

∈

= l

lim R

h

h→0

0

scrieremo quindi l = f (c), ossia derivata prima della funzione f in c.

Osservazione Notiamo che, essendo n = 1, cioè gli elementi del dominio hanno una sola variabile,

allora derivabilità e differenziabilità coincidono, quindi:

0

∗

df (h) = h f (c)

c

con c ed h numeri reali.

26 CAPITOLO 2. DERIVAZIONE

2.3.2 Derivata di somma e prodotto

m

→ ∈ →

Siano f, g : I(⊆ differenziabili in c I, sia w : I anch’esso differenziabile in c e sia

R) R R

∈

k allora:

R,

• (f + g) è derivabile in c e: 0

0 0

(f + g) (c) = f (c) + g (c)

• ∗

(k f) è derivabile in c e: 0

0

∗ ∗

(k f) (c) = k f (c)

• ∗

(w f) è derivabile in c e: 0

0 0

∗ ∗ ∗

(w f) (c) = w (c) f(c) + w(c) f (c)

• ∗

(f g) (prodotto scalare) è derivabile in c e: 0

0 0

∗ ∗ ∗

(g f) (c) = g (c) f(c) + g(c) f (c)

• ×

(f g) (prodotto vettoriale) è derivabile in c e: 0

0 0

× × ×

(g f) (c) = g (c) f(c) + g(c) f (c)

2.3.3 Derivata della composizione m

⊆ → →

Teorema Siano I, J intervalli, siano h : I e f : J con f derivabile in h(c) ed h

R R R

◦

derivabile in c, allora f h è derivabile in c e: 0

0 0

◦ ∗

(f h) (c) = f (h(c)) h (c)

m

⊆ ⊆ → →

Teorema Sia I intervallo, B aperto, siano f : I B e g : B con f derivabile in

R R R

◦

g(c) e g derivabile in c, allora g f è derivabile in c e: 0

0

◦ ∇g(f(c)) ∗

(g f) (c) = f (c)

2 3

→

Esempio Sia f : tale che:

R R 2

f(x, y) = (x + y, xy, xy )

3 →

Sia g : tale che:

R R 2

∗ ∗

g(u, v, w) = u v w ◦

Calcolare la matrice jacobiana associata alla composizione (g f) nel punto (x , y ).

0 0

Scrivo l’equazione della funzione composta: 2 2 2 4 4 3 5

◦

(g f)(x, y) = g(f(x, y)) = g(x + y, xy, xy ) = (x + y)(xy) (xy ) = x y + x y

Ora ricavo la jacobiana sapendo che è formata incolonnando i gradienti della funzione g(f(x, y)):

δf

δf

◦ (x , y ) (x , y ) =

J (x , y ) = (∇(g f)(x )) = 0 0 0 0

g◦f 0 0 0 δx δy

3 30 4

30 4 20 5 40

y + 5x y

4x y + 3x y 4x

= 0

0 0 0

2.4. TEOREMI SU FUNZIONI VETTORIALI 27

2.4 Teoremi su funzioni vettoriali

2.4.1 Teorema del valor medio

n

→ ⊆ ∈

Teorema Sia f : A con A aperto, siano a e b A e consideriamo il segmento di

R, R

estremi i punti a e b, indicato con [a, b], se f è differenziabile in ogni punto x del segmento, allora

∈

esiste un punto c [a, b] tale che:

{a,b} − ∇f −

f (b) f (a) = (c)(b a)

→

Dimostrazione Sia Φ̄ : [0, 1] A cosı̀ definita: −

Φ̄(t) = a + t(b a)

osservo che per t = 0, Φ̄(0) = a e per t = 1, Φ̄(1) = b;

→

Sia ora g(t) = f (Φ̄(t)), con g : [0, 1] derivabile perchè composizione di funzioni derivabili, dal

R

teorema di Lagrange so che esiste almeno un punto δ nell’intervallo [0,1] tale che la sua derivata è

pari all’inclinazione del segmento che congiunge i due estremi:

0

− ∈]0,

g(1) g(0) = g (δ) con δ 1[

ma per la composizione di funzioni so che:

0 0

∇f ∗ ∇f − ∗ −

g (δ) = (Φ̄(δ)) Φ̄ (δ) = (a + δ(b a)) (b a)

posso scrivere quindi: − − ∇f − ∗ −

g(1) g(0) = f (b) f (a) = (a + δ(b a)) (b a)

quindi esiste dato che esiste δ, esiste anche il punto c definito come:

−

c = a + δ(b a)

2.4.2 Teorema delle funzioni a gradiente nullo

n

→ ⊆ ∈ ∇f ∀x ∈

Teorema Sia f : A con A connesso per archi e x A, se (x) = 0 A, allora f

R R

è costante n

⊆

Dimostrazione noto che se A è connesso per archi, allora è anche connesso per poligonali,

R

ossia per ogni coppia di elementi a e b di A, esiste un numero p finito di punti tali che:

a = x , x , x , ..., x = b

0 1 2 p ∈ {x }

sappiamo quindi che l’unione di due punti successivi x ed x , ..., x con i = 1, ..., p

i−1 i 0 p

appartiene ad A: p

[ ⊆

[x , x ] A

i−1 i

i=1

28 CAPITOLO 2. DERIVAZIONE

allora abbiamo che: p p

X X

− − ∇f −

f (b) f (a) = f (x ) f (x ) = (c )(x x )

i i−1 i i i−1

i=1 i=1

∇f

ma dato che (x) = 0 per ipotesi, allora: p

X

− −

f (b) f (a) = f (x ) f (x ) = 0

i i−1

i=1

2.5 Derivate di ordine superiore al primo

2 →

2.5.1 Derivata seconda di funzione R R

2

→ ⊆ ∈

Sia f : A con A aperto, sia c = (c , c ) A e supponiamo un intorno U (c , c ) tale che:

R R 1 2 1 2

δf

∀(x, ∈ ∃

y) U (c , c ) (x, y)

1 2 δx δf

quindi è definita la funzione che manda un punto (x, y) nel valore (x, y) = f (x, y).

x

δx

Definizione Se tale funzione è derivabile rispetto a x in (c , c ) diremo che f è derivabile due

1 2

volte rispetto a x in (c , c ) e scriveremo:

1 2 2

δf δ f

δ (c , c ) = (c , c ) = f (c , c )

1 2 1 2 xx 1 2

2

δx δx δx

allo stesso modo, se tale funzione è derivabile rispetto a y in (c , c ) diremo che f è derivabile due

1 2

volte, prima rispetto a x e poi rispetto a y in (c , c ) e scriveremo:

1 2

2

δ δf δ f

(c , c ) = (c , c ) = f (c , c )

1 2 1 2 xy 1 2

δy δx δyδx

se la prima funzione è la derivata rispetto a y della funzione f nel punto (c , c ), e tale funzione è

1 2

derivabile rispetto a y in (c , c ) diremo che f è derivabile due volte rispetto a y in (c , c ) e

1 2 1 2

scriveremo: 2

δ δf δ f

(c , c ) = (c , c ) = f (c , c )

1 2 1 2 yy 1 2

2

δy δy δy n →

2.5.2 Derivata seconda di funzione R R

n

→ ⊆ ∈

Sia f : A con A aperto, sia c A e supponiamo che esista la derivata parziale di f

R R

{1, ∈

rispetto a x (con i = 2, ..., n}), esiste quindi una funzione che manda i punti x U (c) nella

i

derivata f rispetto a x nel punto x:

i δf

3 −→

U (c) x x

δx

i

2.5. DERIVATE DI ORDINE SUPERIORE AL PRIMO 29

{1,

Definizione Se tale funzione è derivabile parzialmente rispetto a x (j = ..., n}) in (c , ..., c )

j 1 n

diremo che f è derivabile due volte, prima rispetto a x , poi rispetto a x e scriveremo:

i j

2

δ δf δ f

(c) = (c)

δx δx δx δx

j i j i

Osservazione Se f ammette tutte le derivate parziali seconde continue in ogni punto di A, diremo

2

∈

che f C (A, R).

2.5.3 Matrice Hessiana 2

Definizione Supponiamo che f ammetta derivate parziali seconde in c (di numero n ), indichiamo

matrice Hessiana di f in c:

  

 ∇f

f (c) f (c) ... f (c) (c)

x x x x x x x

1 1 1 2 1 n 1

∇f

f (c) f (c) ... f (c) (c)

x x x x x x x

  



2 1 2 2 2 n 2

H (c) = =

f   



... ... ... ... ...

  

 ∇f

f (c) f (c)

(c) ... f (c)

x x x

x x x x

n 1 n

n 2 n n

×

è una matrice n n, ed è simmetrica se: 2

2 δ f

δ f (c) = (c)

δx δx δx δx

i j j i

{1,

con i, j = 2, ..., n}.

2.5.4 Teorema di Schwarz n

→ ⊆ ∈

Teorema Sia f : A con A aperto, c A, supponiamo che, fissati i e j indici, esistano

R R 2

∈

f (x) e f (x) e siano continue, ossia f C (A, allora:

R),

x x x x

i j j i 2

2

δ f δ f

(x) = (x)

δx δx δx δx

i j j i

Esempio derivare rispetto a x e y, derivare due volte rispetto a x, rispetto a y, prima rispetto a

2 →

x e poi rispetto a y e viceversa la funzione f : definita come:

R R

2

x

f (x, y) = y

nel punto (x , y ):

0 0 2x

δ f (x , y ) = 0

x 0 0 y

0 2

x

−

δ f (x , y ) = 0

y 0 0 2

y

0

2

δ f (x , y ) =

xx 0 0 y 0

20

x

δ f (x , y ) =

yy 0 0 3

y

0 2x

−

δ f (x , y ) = 0

xy 0 0 2

y 0

2x

−

δ f (x , y ) = 0

yx 0 0 2

y 0

30 CAPITOLO 2. DERIVAZIONE

Le ultime due derivate sono uguali, c.v.d. per il teorema di Schwarz.

2.5.5 Formula di Taylor con resto di Peano

2 n n

∈ ⊆ ∈ ∈

Sia f C (A, sia A aperto, sia x A, allora dato un incremento h posso scrivere:

R), R R

0 1 T 2

∇f ∗ ∗

f (x + h) = f (x ) + (x ) h + h H (x )h + o(|h| )

0 0 0 f 0

2

Esplicitamente: n n 2

δf 1 δ f

X X 2

∗ ∗ ∗

f (x + h) = f (x ) + (x ) h + (x ) h h + o(|h| )

0 0 0 i 0 i j

δx 2 δx δx

i j i

i=1 i,j=1

2.5.6 Differenziale secondo

2 n

∈ ⊆ ∈

Sia f C (A, sia A aperto e x A, la forma quadratica:

R), R 0 n 2

δ f

X

T

2 n n 2 ∗ ∗

→ (x ) h h

d f (x ) : tale che d f (x )(h) = h H (x )h =

R R 0 i j

0 0 f 0 δx δx

j i

i,j=1

è detta differenziale secondo di f nel punto x , quindi:

0 2

d f (x )(h)

0 2

+ o(|h| )

f (x + h) = f (x ) + df (x )(h) +

0 0 0 2

2.6 Estremanti

n

→ ⊆ ∈

Sia f : A con A aperto e sia x A, allora:

R R 0

• x è punto di massimo (minimo) assoluto per f in A se:

0 ≥ ∀x ∈

f (x ) (≤)f (x) A

0

• ∃U

x è punto di massimo (minimo) locale se (x ) tale che:

0 r 0

≥ ∀x ∈

f (x ) (≤)f (x) U (x )

0 r 0

2.6.1 Teorema di Fermat

Teorema Sia f come sopra, se x è estremante relativo (ossia massimo o minimo locale) e se f è

0

derivabile in x , allora:

0 ∇f (x ) = 0

0

Dimostrazione Per ipotesi x è punto di massimo o minimo locale, quindi t = 0 è estremante

0 ∗

locale per la funzione g(t) = f (x + t e ), dunque:

0 i δf

0 (x ) = 0

g (0) = 0

δx

i

2.6. ESTREMANTI 31

2.6.2 Punti stazionari ∇f

Definizione Se f è derivabile in A, i punti di A in cui si annulla sono detti punti critici o

punti stazionari.

Osservazione Se f è derivabile in A, eventuali estremanti vanno ricercati tra le soluzioni del

sistema: δf

 (x) = 0

 δx



 1

 ⇐⇒ ∇f (x) = 0

...

δf



 (x) = 0



 δx

n

2.6.3 Punti di sella

Definizione Sia f come sopra, x è detto punto di sella se è un punto critico ma non è estremante.

0

2 2

−

Esempio Sia f (x, y) = x y , noto che l’origine è un punto critico, perchè:

∇f −2y)|

(0, 0) = (2x, = (0, 0)

(0,0)

ma non è estremante, quindi è punto di sella della funzione. 2 2 3 2

− ∈

Esempio Calcolare i punti critici della funzione f (x, y) = x + y x y, con (x, y) :

R

Calcolo il gradiente della funzione:

δ

δ 2 2 3 2 2 3 2 3

− − − −

∇f (x + y x y), (x + y x y) = (2x 3x y, 2y x )

(x, y) = δx δy

Pongo quindi il gradiente uguale a zero, cioè risolvo il sistema:

( 2

−

2x 3x y = 0

3

−

2y x = 0

Risolvo e ricavo tre punti che soddisfano il sistema (punti critici), cioè:

c = (0, 0)

0  

s 3

r

4 1 4

4

4 ∗

,

c =

1  

3 2 3 

 s 3

r

4 1 4

4

4

− − ∗

c = ,

2  

3 2 3

32 CAPITOLO 2. DERIVAZIONE

2.7 Forme quadratiche n

Richiamo Ricordo che una forma quadratica q definita su con valori reali è un’applicazione

R

lineare della forma: n

X n T

∗ ∗ ∈

q(v) = a v v con v = v M v

R

ij i j

i,j=1

con M matrice dei coefficienti a .

i,j

2 n

∈ ⊆ ∈ ∇f

Osservazione Sia f C (A, con A e x A, se (x ) = 0, allora:

R), R 0 0

1 T 2

h H (x )h + o(|h| )

f (x + h) = f (x ) + 0 + f 0

0 0 2

da cui: 2

δ f

1 X 2

∗ ∗

− h h + o(|h| )

∆f (x ) = f (x + h) f (x ) = i j

0 0 0 2 δx δx

j i

i,j

che è quindi metà della forma quadratica avente come matrice associata l’hessiana nel punto x , a

0

2

|h|

meno di uno scarto infinitesimo di :

q(h) T

2

+ o(|h| ) con q(h) = h H (x )h

∆f (x ) = f 0

0 2

Definizione La forma quadratica è:

• ∀h 6

definita positiva (o negativa) se = 0 ho che q(h) > 0(< 0);

• ∀h 6 ≥

semidefinita positiva (o negativa) se = 0 ho che q(h) 0(≤ 0);

• indefinita o non definita se esistono h , h tali che:

1 2

q(h ) > 0 > q(h )

1 2

2.7.1 Classificazione in due dimensioni

21 22

Sia q(h , h ) = ah + 2bh h + ch con a, b, c non tutti nulli, dove la matrice M è costruita come

1 2 1 2

segue:

a b

M = b c 6

ora, se a = b = 0 la forma quadratica è indefinita, invece se a = 0, posso scrivere:

2 2

−

ac b

b 22

∗ ∗

q(h , h ) = a h + h + h

2

1 2 1 a a 2

−

per ottenere la quadratica in funzione di a e del determinante di M , cioè ac b , da cui ricavo che:

2.7. FORME QUADRATICHE 33

Teorema q forma quadratica è:

• ⇐⇒

definita positiva (negativa) det M > 0 e a > 0(< 0);

• ⇐⇒

indefinita det M < 0;

• ⇐⇒

semidefinita positiva (negativa) det M = 0 e a > 0(< 0).

2 2

∈ ⊆ ∈

Caso pratico Sia f C (A, con A e (x , y ) A punto stazionario della funzione,

R), R 0 o

allora:

δ f (x , y ) δ f (x , y )

xx 0 0 xy 0 0

H (x , y ) =

f 0 0 δ f (x , y ) δ f (x , y )

yx 0 0 yy 0 0

quindi:

• se det H (x , y ) > 0 e δ f (x , y ) > 0 allora (x , y ) è punto di minimo locale;

f 0 0 xx 0 0 0 0

• se det H (x , y ) < 0, (x , y ) è punto di sella;

f 0 0 0 0

• se det H (x , y ) = 0, non possiamo dire nulla.

f 0 0

2.7.2 Criterio di Sylvester

P ∗ ∗

Teorema Sia q(h) = a h h con M = (a ) (con i, j = 1, 2, ..., n) e a = aji, allora:

ij i j ij ij

i,j

• ∀k

q è definita positiva se e solo se det M > 0, = 1, 2, ..., n;

k

k

• ∗ ∀k

q è definita negativa se e solo se (−1) det M > 0, = 1, 2, ..., n;

k

• q è indefinita se esiste un indice h pari tale che det M < 0 oppure se esistono due indici j e

h

l dispari tali che det M < 0 < det M .

j l

Con M minore principale di ordine k della matrice M , per esempio:

k  

a a a ... a

11 12 13 1n  

a a a ... a a a a

21 22 23 2n 11 12 13

 

a a

11 12

 

a a a ... a a a a

M =

M = M =

31 32 33 3n 21 22 23

2 3

   

a a

21 22

 

... ... ... ... ... a a a

31 32 33

 

a a a ... a

n1 n2 n3 nn

Test degli autovalori

Richiamo Ricordo che un autovalore λ di una matrice M è un numero reale tale che, se esiste

n

∈

v :

R {0} ∗ ∗

M v = λ v −

e rappresenta le radici (soluzioni) del polinomio caratteristico della matrice M (p(λ) = det(M

λI) = 0).

34 CAPITOLO 2. DERIVAZIONE

Teorema Sia M matrice simmetrica associata alla forma quadratica q, allora diremo che q è:

• definita positiva (negativa) se tutti gli autovalori λ della matrice M sono strettamente positivi

(negativi);

• semidefinita positiva (negativa) se tutti gli autovalori λ della matrice M sono positivi (nega-

tivi) o nulli;

• indefinita se esistono due autovalori λ , λ tali che λ > 0 > λ .

1 2 1 2

Se uno o piú autovalori sono nulli, si procede studiando la natura della funzione lungo le direzioni

di tale autovalore, se la molteplicitá dell’autovalore é uno si parla di una sola direzione, mentre se

ha molteplicitá due l’incertezza é lungo un piano.

2.7.3 Regola di Cartesio

Sapendo che siamo interessati solo al segno degli autovalori, possiamo applicare la regola di Cartesio,

che consente di ricavare quante soluzioni positive, negative o nulle ha il polinomio caratteristico.

Teorema Se p(λ) è il polinomio caratteristico della matrice M simmetrica:

n n−1 0

p(λ) = a λ + a λ + ... + a λ

n n−1 0

allora il numero di radici positive del polinomio caratteristico è uguale al numero di variazioni (nel

segno) dei coefficienti a , ..., a .

n 0

Per le radici negative si applica la stessa regola al polinomio p(−λ), se non è presente il coefficiente

a notiamo che anche 0 è soluzione del polinomio caratteristico.

0

Esempio Sia M la matrice associata alla forma quadratica q cosı̀ costruita:

 

a 0 b 3 2 2

−λ

0 0 0

M = =⇒ p(λ) = + aλ + b λ

 

b 0 0

Il polinomio caratteristico quindi, per Cartesio, ammette una sola soluzione positiva (una sola

3 2 2

− −

variazione di segno), una negativa (p(−λ) = λ aλ b λ) ed una nulla (a = 0).

0

Dal test degli autovalori, ricavo che q è indefinita.

2.7.4 Relazione tra forma quadratica ed estremanti

2 n

∈ ⊆ ∈

Teorema Sia f C (A, con A e x A punto stazionario della funzione, se q (h) è la

R), R 0 H

forma quadratica associata all’hessiana in x , allora:

0

• ⇐⇒

se q è definita positiva (negativa) x è punto di minimo (massimo) locale;

0

• ⇐⇒

se q è indefinita x è punto di sella;

0

• ⇐⇒

se q è semidefinita positiva (negativa) x è punto di minimo (massimo) locale o punto

0

di sella.

2.7. FORME QUADRATICHE 35

Esempio Studiare gli estremanti relativi della seguente funzione:

2 2

− −

f (x, y, z) = x y 2xz + z y

Calcolo le derivate parziali rispetto a x, y e z:

−

δ f = 2xy 2z

x 2 −

δ f = x 1

y −2x

δ f = + 2z

z

Per determinarmi quindi i punti critici, pongo le tre derivate parziali a sistema uguali a zero:

 

− −1

2xy 2z = 0 x = 1,

 

 

2 ⇒

−

x 1 = 0 y =1

 

−2x −1

+ 2z = 0 z = 1,

  −1),

Quindi i punti critici sono P = (1, 1, 1) e P = (−1, 1, calcolo quindi le matrici hessiane in

1 2

ciascun punto:      

−2 −2 −2 −2

2y 2x 2 2 2

−2

⇒

2x 0 0 2 0 0 0 0

H (x, y, z) = H (P ) = , H (P ) =

f f 1 f 2

     

−2 −2 −2

0 2 0 2 0 2

Della matrice hessiana relativa al primo punto critico calcolo i minori ∆ :

k

∆ = 2 > 0

1 −4

∆ = < 0

2

∆ = ...

3

Per Sylvester, dato che il minore principale di ordine 2 è negativo, la forma quadratica associata è

indefinita, quindi il punto critico è un punto di sella. Con lo stesso procedimento, otteniamo che

anche il secondo è un punto di sella.

Esempio Determinare i punti critici della seguente funzione e indicarne il tipo:

2 2

f (x, y, z) = x + y + xyz

Calcolando le drivate parziali ricavo che i punti critici sono tutti posti nell’asse z, quindi la matrice

hessiana é:  

2 z 0

0

z 2 0

H (0, 0, z ) = 0

f 0  

0 0 0

Della matrice hessiana calcolo i minori ∆ :

k

∆ = 2

1 2

−

∆ = 4 z

2

36 CAPITOLO 2. DERIVAZIONE

∆ = 0

3 |z |

Per Sylvester posso solo dire che se > 2 allora siamo in corrispondenza di un punto di sella.

0

Consideriamo ora il caso in cui z sia inferiore o uguale a 2, allora studiamo gli autovalori della forma

quadratica associata all’hessiana:

 

2 z 0

0 2

⇒ − −λ(λ −

z 2 0

H (0, 0, z ) = det(H (0, 0, 2) λI ) = 4λ)

0

f 0 f 3

 

0 0 0 −

Da cui ricavo tre autovalori λ = 0, λ = 2 z e λ = 2 + z , uno dei quali é nullo, a riprova che

1 2 0 3 0

la forma quadratica nell’asse z é semidefinita positiva. −2),

Studio ora il punto z = 2 (il ragionamento é analogo per il punto z = ricavo gli autovalori:

0 0

λ = 0, λ = 0, λ = 4

1 2 3

quindi l’autovalore nullo ha molteplicitá doppia, e le direzioni ”critiche” sono dunque due, studio

quindi il piano generato dai due autovettori relativi agli autovalori nulli:

per il calcolo degli autovettori risolvo il sistema:  2v + 2v = 0

     

2 2 0 v v 1 2

1 1 



∗ ∗

2 2 0 v v

= λ(= 0) =⇒ 2v + 2v = 0

2 2 1 2

     

0 0 0 v v  0=0

3 3 

−a, ∈

ottengo dunque due autovettori nella forma (a, b) e (0, 0, c) con a, b, c numeri reali qualsiasi.

R

−1,

Per semplicitá scelgo i due vettori (1, 0) e (0, 0, 1) come generatori del piano da studiare, che

posso quindi scrivere come: −1,

(0, 0, 2) + t (1, 0) + t (0, 0, 1)

1 2

2.8 Numeri complessi 2

Un numero complesso é costituito da una coppia di numeri a e b nell’insieme per cui sono

R

definite le seguenti proprietá:

due numeri complessi possono essere sommati e il risultato é:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

due numeri complessi possono essere moltiplicati e il risultato é:

∗ −

(a, b) (c, d) = (ac bd; bc + ad)

la somma ammette elemento neutro, che é (0, 0)

il prodotto ammette elemento neutro, che é (1, 0)

Possiamo identificare l’asse reale come un sottoinsieme dei numeri complessi:

2

⊆ {R ∗}

= ; +,

R C

i cui elementi sono della forma (a, 0) con a numero reale.

2.8. NUMERI COMPLESSI 37

Definizione Il quadrato del numero (−1, 0) ha come risultato:

∗

(−1, 0) (−1, 0) = (0, 1)

che indichiamo con il simbolo i, detto termine immaginario, tale che che:

∈

(a, b) = (a, 0) + (0, b) = a + ib con a, b R

a é detta parte reale del numero complesso, mentre ib é detta parte immaginaria.

2.8.1 Proprietá dei numeri complessi

Definizione É detto modulo di un numero complesso z = a + ib lo scalare:

p 2 2

|z| = a + b

Definizione É detto coniugato di un numero complesso z = a + ib il numero complesso:

−

z̄ = a ib

Definizione É detta distanza tra due numeri immaginari z e w il modulo della loro differenza:

|z − w|

Proprietá Siano z e w due numeri complessi, valgono le seguenti proprietá:

• |z ∗ |z| ∗ |w|

modulo del prodotto: w| =

• |z ≤ |z| |w|

disuguaglianza triangolare: + w| +

2

• ∗ |z|

prodotto per un coniugato: z z̄ =

z̄

1

−1

• =

reciproco: z = 2

|z|

z

• |z| |z̄|

modulo del coniugato: =

2.8.2 Forma trigonometrica

Definizione Definiamo argomento del numero complesso z l’angolo ϑ, misurato in radianti, for-

mato dal vettore che congiunge il punto (0,0) con z e il semiasse positivo dei numeri reali.

L’argomento si determina come:

• ≥

ϑ 0: si ruota in senso antiorario il semiasse positivo reale fino a sovrapporlo al vettore z;

• ≤

ϑ 0: si ruota in senso orario il semiasse positivo reale fino a sovrapporlo al vettore z.

38 CAPITOLO 2. DERIVAZIONE

Nota bene Due argomenti ϑ e ϑ dello stesso numero complesso differiscono tra loro di un

1 2

multiplo intero di 2π, quindi: − ∈

ϑ ϑ = 2kπ con k Z

1 2

Definizione Rispetto a ϑ posso definire a e b come segue:

|z| ∗ |z| ∗

a = cos ϑ, b = sin ϑ

Da cui definiamo la scrittura di un numero complesso in forma trigonometrica:

|z| ∗ ∗

z = a + ib = (cos ϑ + i sin ϑ)

2.8.3 Forma esponenziale, formula di Eulero

La formula di Eulero é un’uguaglianza che lega le funzioni trigonometriche alla funzione esponenziale

nel campo dei complessi, in particolare afferma che: iα

∗

cos α + i sin α = e

Definizione Con l’utilizzo della formula di Eulero definiamo quindi la scittura di un numero

complesso in forma esponenziale: iϑ

|z| ∗ ∗ |z| ∗

z = (cos ϑ + i sin ϑ) = e

2.8.4 Formula di De Moivre

iα iβ

|z|e |w|e

Siano z = a + ib = e w = c + id = due numeri complessi, con α e β argomenti

rispettivamente di z e w, quindi si ha che:

∗ |z| ∗ |w| ∗ ∗

z w = (cos α + i sin α) (cos β + i sin β) =

|z| ∗ |w| ∗ −

= (cos α cos β sin α sin β + i(sin α cos β + sin β cos α)) =

i(α+β)

|z| ∗ |w| ∗ |z| ∗ |w| ∗

= (cos(α + β) + i sin(α + β)) = e

quindi, iterando il primo argomento ottengo:

n n n inα

|z| ∗ |z|

z = (cos(nα) + i sin(nα)) = e

detta formula di De Moivre.

2.8.5 Teorema fondamentale dell’algebra

Teorema Ogni polinomio in di grado n a coefficienti complessi ha esattamente n-radici se

C

contate con le loro molteplicitá.

∗

∈ ∈

Sia z (C ) un numero complesso e n un numero naturale, allora l’equazione

C N

{0} n

w = z

2.9. EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI DEL PRIMO ORDINE 39

ha esattamente n soluzioni, che sono dette radici n-esime di z.

|w|(cos |z|(cos

Per verificare che un numero complesso w = ψ + i sin ψ) sia radice n-esima di z = ϑ +

i sin ϑ) utilizzo la formula di De Moivre:

n n n inψ

|w| ∗ |w|

w = (cos(nψ) + i sin(nψ)) = e

a cui eguaglio z, ottengo quindi un sistema costruito come segue:

( n

|w| |z| ∈

= con n N

n inψ iϑ

|w| |z|e

e = =⇒ ∈ ∈

nψ = ϑ + 2kπ con n k

N, Z

da cui:  p |z|

|w| n

=

 ϑ + 2kπ

ψ =

 n

Riconosco dei casi particolari per determinati valori di k:

• Per k = 0, ho ψ = ϑ/n;

ϑ+2π

• Per k = 1, ho ψ = n

ϑ+2nπ ϑ

• Per k = n, ho ψ = =

n n

Perció il numero di soluzioni dipende da n, perché all’aumentare di k, periodicamente, ottengo due

valori di ψ identici. z

Definizione Definiamo il numero complesso e con z = a + ib come:

z a+ib a ib a

∗ ∗

e = e = e e = e (cos b + i sin b)

a z

|e |.

Noto quindi che e =

2.9 Equazioni differenziali lineari del primo ordine

Definizione Sono dette equazioni differenziali lineari del primo ordine in forma normale

le equazioni del tipo: 0

y (t) + a(t)y(t) = f (t)

→

con a, f : I funzioni continue ed I intervallo;

R 1

∈

le soluzioni di questa equazione sono una qualunque y C (I, che la soddisfi.

R) ≡

L’equazione scritta nella forma sopra é detta equazione completa, mentre se f 0 in I, l’e-

quazione é detta omogenea.

L’insieme delle soluzioni é detto integrale generale dell’equazione differenziale.

40 CAPITOLO 2. DERIVAZIONE

Definizione É detta equazione omogenea associata all’equazione differenziale l’equazione:

0

y (t) + a(t)y(t) = 0

Se consideriamo l’omogenea associata come una retta nel piano passante per l’origine, l’equazione

completa é un’altra retta parallela a quest’ultima, generata sommando all’omogenea un vettore.

Nota bene Le soluzioni dell’omogenea associata costituiscono uno spazio vettoriale uni-dimensionale

1 1

∈

sottospazio di C (I, quindi dati y , y C (I, che soddisfano l’omogenea, ho che:

R), R)

1 2

0

(λy ) (t) + a(t)(λy )(t) = 0 in I

1 1

0

(y + y ) (t) + a(t)(y + y )(t) = 0 in I

1 2 1 2

Teorema L’integrale generale dell’equazione completa si ottiene sommando all’integrale generale

dell’omogenea associata una soluzione particolare dell’equazione completa.

Dimostrazione Siano y e y due soluzioni dell’equazione completa:

1 2 0

y + a(t)y = f (t)

1

1

0

y + a(t)y = f (t)

2

2

−

Allora y y é soluzione dell’omogenea associata, perché:

1 2 0 0 0

− − − ⇒ − −

y y + a(t)(y y ) = f (t) f (t) (y y ) + a(t)(y y ) = 0

1 2 1 2 1 2

1 2

− −

quindi y = (y y ) + y , dove (y y ) appartiene all’integrale generale dell’omogenea, mentre

1 1 2 2 1 2

y é la soluzione particolare di cui dovevamo dimostrare l’esistenza.

2

2.9.1 Integrale generale dell’equazione completa

Sia A(t) una primitiva di a(t) in I e moltiplico entrambi gli addendi dell’omogenea associata per

A(t)

e , ottengo: 0 A(t) A(t)

∗ ∗ ∗

y (t) e + a(t) e y (t) = 0

o

o

che equivale a scrivere: 0

A(t)

∗

(y (t) e ) = 0

o A(t)

∗

Questo significa che se y (t) é soluzione dell’omogenea associata, allora y (t) e é una funzione

o o

costante nel suo dominio (perché la sua derivata prima é nulla), quindi:

−A(t)

A(t)

∗ ∗

y (t) e = c =⇒ y (t) = c e

o o

Ricaviamo ora una soluzione particolare dell’equazione completa, per cui l’integrale generale dell’e-

quazione completa sará dato dalla somma di quest’ultima e le soluzioni dell’omogenea associata;

A(t)

moltiplichiamo dunque tutti i termini dell’equazione completa per e con A(t) come sopra:

0 A(t) A(t) A(t)

∗ ∗ ∗ ∗ ⇒

y (t) e + a(t) e y (t) = f (t) e

p

p

2.9. EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI DEL PRIMO ORDINE 41

0

A(t) A(t)

⇒ ∗ ∗

(y (t) e ) = f (t) e

p

da cui ricavo y come segue:

p Z

−A(t) A(t)

y = e f (t)e dt

p

Percui l’integrale generale dell’equazione completa é: Z

−A(t) −A(t) A(t)

∗

y(t) = y (t) + y (t) = c e + e f (t)e dt

o p

2.9.2 Problema di Cauchy

Il problema di Cauchy consiste in un sistema di un’equazione differenziale e la soluzione applicata

ad un istante prefissato: ( 0

y (t) + a(t)y(t) = f (t)

y(t ) = y con t fissato

0 0 0

Per risolvere il problema di Cauchy, una volta utilizzata la formula appena vista per ricavare

l’integrale generale, imponiamo le condizioni iniziali y(t ) = y per calcolare c:

0 0

Z

−A(t) −A(t) A(t)

∗

y(t) = c e + e f (t)e dt

A(t)

R

con A(t) una qualunque primitiva di a(t), se fissiamo G(t) = f (t)e dt, allora:

−A(t −A(t

) )

y(t ) = ce + e G(t ) = y

0 0

0 0 0

da cui ricaviamo: −A(t )

−

y e G(t )

0

0 0

c = −A(t )

e 0

0

∈ ∈ ∀y ∈

Teorema Siano a, f C (I, sia t I, allora il problema di Cauchy ammette una

R), R,

0 0

0

ed una sola soluzione in C (I, R)

Esercizio Risolvere il seguente problema di Cauchy:

 2y 1

0

y + =

 2

x x

y(−1) = 2



2 1

Noto subito che a(x) = e f (x) = , quindi calcolo una primitiva di a(x):

2

x x Z Z 2dx

A(x) = a(x)dx = = 2 ln x

x

Da cui calcolo G(x): 2

2 ln x ln x 2

Z Z Z Z Z

e e x

A(x)

G(x) = f (x)e dx = dx = dx = dx = dx = x

2 2 2

x x x

42 CAPITOLO 2. DERIVAZIONE

allora l’integrale generale dell’equazione completa é: 1

c

−2 −2

ln x ln x ∗ +

y(x) = ce + e x = 2

x x

da cui, applicando le condizioni iniziali: −

y(−1) = 2 =⇒ c 1 = 2 =⇒ c = 3

quindi: 1

3 +

y(x) = 2

x x

Esercizio Risolvere il seguente problema di Cauchy:

 2y 1

0 con x < 0

y + =

 2

x x

y(−1) = 0



2 1

Riconosco le funzioni a(x) = e f (x) = ;

2

t x

calcolo una primitiva di a(x): Z Z 1 |x|

∗ dx = 2 ln

A(x) = a(x)dx = 2 x

ma dato che x é sempre negativo scrivo A(x) = 2 ln(−x), l’integrale generale quindi si calcola come:

Z

−A(x) −A(x) A(x)

y(x) = ce + e f (x)e dx =

2 ln(−x)

Z e

−2 −2

ln(−x) ln(−x)

y(x) = ce + e dx =

2

x 2

(−x)

R

2 ln(−x) dx

e

R dx

c c 2

x

2

x

= + =

+ = 2 2

2 ln(−x) 2 ln(−x) (−x) (−x)

e e

R 1dx

c c 1

= + = +

2 2 2

x x x x

Per ricavare c applico le condizioni iniziali: c 1

y(−1) = 0 =⇒ + = 0 =⇒ c = 3

2 −1

(−1)

quindi: 3 1

y(x) = +

2

x x

2.10 Equazioni differenziali del secondo ordine

Definizione Sono dette equazioni differenziali del secondo ordine le equazioni nella forma:

00 0

a (t)y + a (t)y + a (t)y = f (t)

2 1 0

2.10. EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL SECONDO ORDINE 43

0

∈

dove le fuzioni a , a , a , f C (I, R).

0 1 2 ≡

Se la funzione f é identicamente nulla in I (f 0), allora l’equazione é detta omogenea;

≡

se la funzione a (t) 1, l’equazione é detta in forma normale.

2

Noi studieremo solo equazioni scritte in forma normale, cioé del tipo:

00 0 ∈

L(y) = t : y + a(t)y + b(t)y = f (t) con t I

L rappresenta un’operatore che manda funzioni derivabili due volte e con derivata seconda continua

in fuzioni continue: 2 0

→

L : C (I, C (I,

R) R)

L’insieme di tutte le soluioni dell’equazione L(y) = f é detto integrale generale dell’equazione

differenziale;

L(y) = 0 é detta equazione omogenea associata;

L(y) = f é detta equazione completa. 2

Teorema L’insieme delle soluzioni dell’omogenea associata é un sottospazio vettoriale di C (I, R)

di dimensione 2. Inoltre l’integrale generale dell’equazione completa si ottiene sommando all’inte-

grale generale dell’omogenea associata una soluzione particolare dell’equazione completa:

V = V + y

f o p

Con V integrale generale dell’equazione completa, V integrale generale dell’omogenea associata e

f o

y soluzione particolare dell’equazione completa.

p

2.10.1 Problema di Cauchy

Il problema di Cauchy, per le equazioni differenziali del secondo ordine, é un sistema di tre equazioni

del tipo:  00 0

y + a(t)y + b(t)y = f (t)



 y(t ) = y

0 0

0

 y (t ) = y

 0 1

e si puó dimostrare che ammette una e una sola soluzione.

Teorema Esistono due soluzioni dell’omogenea z e z linearmente intdipendenti, allora l’integrale

1 2

generale dell’omogenea Lk = 0 puó essere scritto come la combinazione lineare delle prime.

Dimostrazione Siano z e z due soluzioni dell’omogenea associata:

1 2  

Lz = 0 Lz = 0

1 2

 

 

e

z (t ) = 1 z (t ) = 0

1 0 2 0

0 0

 

z (t ) = 0 z (t ) = 1

 

0 0

1 2 6

Ovviamente le due soluzioni sono linearmente indipendenti, perché z (t ) = 1 = z (t ) = 0, inoltre

1 0 2 0

é soluzione dell’omogenea associata anche la loro combinazione lineare, cioé:

z(t) = c z (t) + c z (t)

1 1 2 2

44 CAPITOLO 2. DERIVAZIONE

con derivata: 0 0 0

z (t) = c z (t) + c z (t)

1 2

1 2

scelgo come coefficienti c e c rispettivamente il valore della funzione z in t e il valore della sue

1 2 0

derivata in t e definisco la funzione k(t):

0 0 0

c = z(t ), c = z (t ) =⇒ k(t) = z(t )z (t) + z (t )z (t)

1 0 2 0 0 1 0 1

che é anch’essa soluzione dell’omogenea associata, e il problema di Cauchy per tale equazione si

scrive:  Lk = 0



 k(t ) = z(t )

0 0

0 0

 k (t ) = z (t )

 0 0

≡

Per l’unicitá del problema di Cauchy ho che k z in I, e l’integrale generale dell’equazione omogenea

associata sará: {c ∈ ∈

z (t) + c z (t) con c , c t I}

R,

1 1 2 2 1 2

Inoltre l’integrale generale dell’equazione completa sará:

{c ∈ ∈

z (t) + c z (t) + y (t) con c , c t I}

R,

1 1 2 2 p 1 2

2.10.2 Equazioni differenziali a coefficienti costanti

Sia l’equazione differenziale a coefficienti costanti:

00 0 ∈

L(y) = y + ay + by = f (t) con a, b R

la cui omogenea associata é: 00 0

L(y) = y + ay + by = 0

e cerchiamo soluzioni nella forma: wt ∈

y(t) = e con t C

Ricordo che w numero complesso si scrive come α + iβ, allora:

wt αt+(iβ)t αt (iβ)t αt

∗

e = e = e e = e (cos βt + i sin βt)

quindi la sua derivata é:

d d

d wt αt αt

∗

e = (e cos βt) + i (e sin βt) =

dt dt dt

αt αt αt αt

− ∗

= (αe cos βt e β sin βt) + i (αe sin βt + e β cos βt) =

αt ∗ −

= e (α cos βt β sin βt + iα sin βt + iβ cos βt)) =

αt αt

∗ ∗ ∗ −

= e cos βt (α + iβ) + e sin βt(iα β);

∗ −1, − −

sapendo che i i = posso scrivere (iα β) = (iα iiβ) = i(α + iβ), quindi:

2.10. EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL SECONDO ORDINE 45

αt αt

∗ ∗ ∗

= e cos βt (α + iβ) + e i sin βt(α + iβ) =

αt αt iβt wt

∗ ∗ ∗ ∗

= e (αiβ) (cos βt + i sin βt) = w e e = we

L’omogenea associata quindi puó essere scritta come:

0

wt wt wt

(e )” + a(e ) + b(e ) = 0

ossia: 2 wt wt wt

w e + awe + be = 0

o anche: 2 wt

(w + aw + b)e = 0

wt

ma essendo e sempre positivo, definiamo il polinomio caratteristico dell’equazione differenziale:

00 0 2

y + ay + by =⇒ p(λ) = λ + aλ + b

le cui radici consentono di ricavare la soluzione dell’equazione differenziale.

2.10.3 Metodo di Lagrange

Il Metodo di Lagrange consente, una volta individuate le radici del polinomio caratteristico, ditext

calcolare la soluzione dell’equazione differenziale. 0

Consideriamo l’equazione differenziale Ly = y”+ay +by = f (t) la cui omogenea associata é Ly = 0,

2

e il cui polinomio caratteristico é p(λ) = λ + aλ + b, allora, studiando l’equazione caratteristica

2

λ + aλ + b = 0:

2

• −

se ∆ = a 4b > 0, allora p(λ) = 0 ha due soluzioni reali distinte, e l’integrale generale

dell’omogenea associata é: λ t λ t ∈

y (t) = c e + c e con c , c

1 2 R

o 1 2 1 2

• −

se ∆ < 0, allora p(λ) = 0 ha due soluzioni complesse coniugate w = α + iβ e w̄ = α iβ,

l’integrale generale dell’omogenea associata quindi sará:

wt w̄t ∈

y (t) = d e + d e con d , d C

o 1 1 1 2

2 wt w̄t

∈

che tuttavia non é una funzione C (I, in quanto e e e sono funzioni definite nei

R)

complessi, quindi diciamo che l’integrale generale ”reale” dell’omogenea associata é:

αt αt ∈

y (t) = c e cos βt + c e sin βt con c , c R

o 1 2 1 2

2 2

⊆

tenendo a mente che C (I, C (I, scrivo:

R) C),

(α+iβ)t (α−iβ)t

d e + d e =

1 2

αt αt −

d e (cos βt + i sin βt) + d e (cos βt i sin βt) =

1 2

αt αt

−

(d + d )e cos βt + i(d d )e sin βt

1 2 1 2

46 CAPITOLO 2. DERIVAZIONE

quindi prendo d e d tali che:

1 2 (

( −ic

c

∈ d =

d + d = c 1 2

R 1

1 2 1 2

=⇒ c +ic

− ∈

i(d d ) = c d = 1 2

R

1 2 2 2 2

• −a/2

se ∆ = 0 l’equazione caratteristica p(λ) = 0 ha una soluzione doppia λ = e l’integrale

generale ”reale” si scrive: a a

− −

t t

y (t) = c e + c te

2 2

o 1 2

Soluzione particolare

La soluzione particolare che, sommata all’integrale generale dell’omogenea dá l’integrale generale

dell’equazione completa é: y (t) = g (t)z (t) + g (t)z (t)

p 1 1 2 2

con z e z soluzioni linearmente indipendenti ottenute dall’integrale generale dell’omogenea asso-

1 2

ciata: y (t) = c z (t) + c z (t)

o 1 1 2 2

0

∈

e g , g funzioni C (I, da determinare; l’integrale generale dell’equazione completa sará alla

R)

1 2

fine nella forma: y(t) = c z (t) + c z (t) + g (t)z (t) + g (t)z (t)

1 1 2 2 1 1 2 2

Impongo: ( 0 0

g z + g z = 0

1 2

1 2

0 0 0 0 ∈

g z + g z = f (t) con t I

1 1 2 2

Le soluzioni di tale sistema permettono di ricavare le derivate di g e g e di conseguenza le funzioni

1 2

stesse.

Esercizio Risolvere il seguente problema di Cauchy: π π

1



00 ∈ −

con t ;

y + y =



 cos t 2 2

 y(0) = 1

 0

 y (0) = 1



Applichiamo Lagrange per la risoluzione del problema, il polinomio caratteristico é:

2

p(λ) = λ + 1

∗ − ∗ −i

Il cui ∆ é negativo e le radici sono w = 0 + 1 i = i con β = 1 e w̄ = 0 1 i = con β = 1, per

cui l’integrale generale dell’omogenea é:

0∗t 0∗t

∗ ∗

y (t) = c e cos 1 t + c e sin 1 t = c cos t + c sin t

o 1 2 1 2

Dove riconosco z (t) = cos t e z (t) = sin t, con cui posso ora ricavare la soluzione particolare nella

1 2

forma: y = g (t)z (t) + g (t)z (t) = g (t) cos t + g (t) sin t

p 1 1 2 2 1 2

2.10. EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL SECONDO ORDINE 47

Impongo quindi:  0 0

g cos t + g sin t = 0

1 2

 1

0 0

g (− sin t) + g cos t =

1 2

 cos t

Moltiplico la prima equazione per sin t e la seconda per cos t, poi sommo le due equazioni:

( (

2 2

0 0 0 0

I) g cos t sin t + g sin t = 0 I) g cos t sin t + g sin t = 0

II+I

1 2 1 2

=⇒ 2

0 0 0 0

2 2

II) g (− cos t sin t) + g cos t = 1 II) g (sin t + cos t) = g = 1

1 2 2 2

0 ⇒

quindi g = 1 g = t da cui g = log(cos t) e la soluzione particolare sará:

2 1

2 ∗ ∗

y = log(cos t) cos t + t sin t

p

allora l’integrale generale dell’equazione completa in funzione di c e c sará:

1 2

∗ ∗

y(t) = c cos t + c sin t + log(cos t) cos t + t sin t

1 2

la cui derivata é: sin t

0 ∗ − ∗ ∗

−c − cos t log(cos t) sin t + sin t + t cos t =

y (t) = sin t + c cos t

1 2 cos t

−c − ∗ ∗

= sin t + c cos t log(cos t) sin t + t cos t

1 2

Applicando le condizioni iniziali ottengo il seguente sistema:

( ( −1

y(0) = 1 c =

1

⇒

0

y (0) = 1 c = 1

2

per cui l’integrale generale dell’equazione completa sará: ∗ ∗

y(t) = cos t + sin t + log(cos t) cos t + t sin t

2.10.4 Wronskiano

Il sistema appena visto, cioé: ( 0 0

g z + g z = 0

1 2

1 2

0 0 0 0 ∈

g z + g z = f (t) con t I

1 1 2 2

ammette soluzione unica, infatti la matrice dei coefficienti:

z z

1 2

0 0

z

z

1 2

ha determinante, definito wronskiano: 0 0

−

W (t) = z z z z

1 2

2 1

≡

che puó essere identicamente nullo (W (t) 0) in I oppure diverso da 0 in tutto I, quindi il sistema

∈

é risolvibile o meno per ogni t I

48 CAPITOLO 2. DERIVAZIONE

Dimostrazione Scriviamo la derivata del wronskiano:

0 0 0 00 0 0 00 00 00

− − −

W (t) = z z + z z z z z z = z z z z

1 2 1 2

1 2 2 1 2 1 2 1

00 0

Ora, dato che z e z sono soluzioni dell’omogenea associata y + ay + by = 0, allora posso scrivere

1 2

00 0 00 0

−az − −az −

z = bz e z = bz , da cui:

1 2

1 1 2 2

0 0 0 0 0 0 0

− − − − −

W (t) = z (−az bz ) z (−az bz ) = az z az z = a(z z z z )

1 2 2 1 2 1 1 2

2 1 1 2 2 1

0 0

−

ma z z z z é proprio il wronskiano, quindi:

1 2

2 1 0

W (t) = aW (t)

ossia: 0 −at

W (t) = aW (t) =⇒ W (t) = ce

che puó essere nullo se e solo se c = 0. Per Cramer, g e g si calcolano come:

1 2

0 z

2

0

f z Z z f

2

2

0 − dt

=⇒ g =

g = 1

1 W (t)

z z

1 2

0 0

z z

1 2

z 0

1

0

z f Z z f

1

1

0

g = =⇒ g = dt

2

2 W (t)

z z

1 2

0 0

z z

1 2

Teorema Se z (t) = λz (t), cioé z (t) e z (t) sono linearmente dipendenti, allora il wronskiano é

1 2 1 2

nullo, e non esistono g e g .

1 2

Dimostrazione Supponiamo per assurdo che W (t ) = 0, allora i due vettori colonna:

0

z (t ) z (t )

1 0 2 0 2

∈

v = , v = R

1 2

0 0

z (t ) z (t )

0 0

1 2

sono linearmente dipendenti, cioé esistono due coefficienti µ e µ non entrambi nulli tali che:

1 2

µ v + µ v = 0

1 1 2 2

con 0 vettore nullo.

Se ora considero la funzione z(t) = µ z (t) + µ z (t) (soluzione dell’omogenea associata, perché

1 1 2 2

combinazione lineare di soluzioni dell’omogenea associata) e il problema di Cauchy:

 L(z) = 0



 z(t ) = 0

0

0

 z (t ) = 0

 0

≡

che ha come unica soluzione z 0, é evidente che la combinazione lineare si annulla per coefficienti

µ e µ non entrambi nulli, e per la definizione di dipendenza lineare, z (t) e z (t) sono linearmente

1 2 1 2

dipendenti.

2.10. EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL SECONDO ORDINE 49

2.10.5 Metodo per somiglianza

Questo metodo consente di riconoscere la natura della soluzione particolare y dell’equazione dif-

p

00 0

ferenziale Ly = y + ay + by = f (t) partendo dalle caratteristiche di f (t), infatti riconosciamo i

seguenti casi:

forma di f (t) forma di y (t) casi particolari e osservazioni

p

CASO 1

polinomio di grado n polinomio di grado n se in (*) b = 0 cercare un polinomio di grado n + 1

se a = b = 0 cercare un polinomio di grado n + 2

f (t) = p(t) y (t) = q(t)

p

ESEMPI

00 3 3 2

y + 3y = 3t + 2 y = αt + βt + γt + δ

p

00 0 2

y + 2y = 2t + 7 y = αt + βt + γ b =0

p

00 0

y + 4y + 5y = 2t y = αt + β

p

CASO 2

λt λt 2

p(t)e con p(t) q(t)e con stesso λ e se λ é radice del polinomio caratteristico λ + aλ + b

h λt

∗

polinomio di grado n q(t) polinomio di grado n y é nella forma t q(t)e con h molteplicitá di λ

p

ESEMPI

00 0 3t 3t

−

y y + 3y = e (t + 2) y = e (αt + β)

p

00 2 2 1 2t

− ∗

y 4y = e t(t + 3) y = t e (αt + β) λ = 2 é radice del polinomio caratteristico e h = 1

p

CASO 3 2

A cos λt + B sin λt C cos λt + D sin λt se iλ é radice del polinomio caratteristico λ + aλ + b

h ∗

y é nella forma t (C cos λt + D sin λt) con h

p

molteplicitá di iλ

ESEMPI

00 0 −

y + 2y y = 3 sin 2t y = C cos 2t + D sin 2t

p

CASO 4

µt µt

e (A cos λt + B sin λt) e (C cos λt + D sin λt) se µ + iλ é radice del polinomio caratteristico

2 h µt

λ + aλ + b, y é nella forma t e (C cos λt + D sin λt)

p

con h molteplicitá di µ + iλ

ESEMPI

00 −t −t

y + 2y = 3e sin 2t y = e (C cos 2t + D sin 2t)

p

00 0 2t 1 2t

−

y 4y + 5y = 3e cos t y = t e (C cos t + D sin t)

p

2.10.6 Somma di soluzioni particolari

Sia l’equazione differenziale L(y) = f (t) + f (t), la soluzione particolare é la somma delle equazioni

1 2

particolari delle due equazioni differenziali:

L(y ) = f (t), L(y ) = f (t)

1,p 1 2,p 2

50 CAPITOLO 2. DERIVAZIONE

⇒

y = y + y L(y ) = f (t) + f (t)

p 1,p 2,p p 1 2

Esempio Risolvere il seguente problema di Cauchy con il metodo per somiglianza:

 00 0

y + 2y + y = x + x cos x



 y(0) = 0

0

 y (0) = 1



Calcolo innanzitutto il polinomio caratteristico dell’equazione differenziale:

2 2

p(λ) = λ + 2λ + 1 = (λ + 1)

−1;

La cui radice doppia é λ = l’integrale generale dell’omogenea, per il metodo di Lagrange

é nella forma: −1∗x −1∗x −x −x

y (x) = c e + c xe = c e + c xe

o 1 2 1 2

Noto inoltre che, per la formula di Eulero (vedi 2.8.3): −ix

ix

e + e

cos x = 2

quindi l’equazione differenziale puó essere scritta come: x

x −ix

00 0 ix

e + e

y + 2y + y = x + 2 2

Ora, per la somma di soluzioni particolari, riconosciamo la somma di tre soluzioni particolari:

x

x −ix

ix

e + e

L(y) = L(y ) + L(y ) + L(y ) = x +

1,p 2,p 3,p 2 2

da cui, per il metodo per somiglianza:

L(y ) = x polinomio di primo grado

1,p

caso 1. y = q(x) = Ax + B polinomio di primo grado

1,p

x ix

∗

L(y ) = e

2,p 2 ix ix

caso 2. λ = i =⇒ y = q(x)e = (Cx + D)e

2,p

x −ix

∗

L(y ) = e

3,p 2 −ix −ix

−i

caso 2. λ = =⇒ y = q(x)e = (Ex + F )e

3,p

Studiamo ora la prima soluzione particolare: 0 00

y = Ax + B, y = A, y =0

1,p 1,p 1,p

impongo, per il problema di Cauchy: 00 0

y + 2y + y = x

1,p

1,p 1,p

2.10. EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL SECONDO ORDINE 51

da cui: ⇒ −2 ⇒ −

2A + Ax + B = x A = 1, B = y = x 2

1,p

Studiamo la seconda soluzione particolare:

0 00

ix ix ix x ix

−

y = (Cx + D)e , y = Ce + i(Cx + D)e , y = 2iCe (Cx + D)e

2,p 2,p 2,p

Per il problema di Cauchy quindi:

x

00 0 ix

∗ e

y + 2 y + y =

2,p

2,p 2,p 2 x

x ix ix ix ix ix

−

2iCe (Cx + D)e + 2Ce + 2i(Cx + D)e + (Cx + D)e = e

2

x i 1 i

⇒ −

2iC + 2C + 2iCx + 2iD = C = , D = +

2 4 4 4

da cui:

ix 1 i ix

−

y = + + e

2,p 4 4 4

Con lo stesso procedimento studiamo la terza soluzione particolare, e otteniamo:

x

−ix 00 0 −ix

y = (Ex + F )e =⇒ y + 2y + y = e

3,p 3,p

3,p 3,p 2

da cui:

i ix

1 i 1 i −ix

− ⇒ − ∗

, F = y = + e

E = 3,p

4 4 4 4 4 4

Allora la soluzione particolare completa é la somma di y , y e y :

1,p 2,p 3,p

ix 1 i ix 1 i −ix

ix

− − − ∗

y = (x 2) + + + e + + e

p 4 4 4 4 4 4

Possiamo ora calcolare l’integrale generale dell’equazione completa, innanzitutto sommiamo

alla soluzione particolare completa l’integrale generale dell’omogenea precedentemente ricavato:

−ix −

+ 1 + i +ix + 1 i

−x −x −ix

ix

−

y(x) = y (x) + y (x) = c e + c xe + (x 2) + e + e

o p 1 2 4 4

la cui derivata é: − − −

i x + i 1 i x i 1

0 −x −x −ix

ix ix ix

−c − −

y (x) = e c e + 1 e + e + e + e

1 2 4 4 4 4

Ora applichiamo le condizioni iniziali del problema di Cauchy:

 

( −

y(0) = c 2 = 0 c = 2

y(0) = 0 1 1

 

⇒ ⇒

1 3

0 0 −c − −

(0) = 1

y y (0) = c + c =

1 2 2

 

2 2

Quindi l’integrale generale dell’equazione completa é:

−ix −

3 + 1 + i +ix + 1 i

−x −x −ix

ix

− −

y(x) = 2e xe + (x 2) + e + e

2 4 4

52 CAPITOLO 2. DERIVAZIONE

Capitolo 3

Integrazione

3.1 Misura

3.1.1 Misura di Peano-Jordan nel piano

Definizione É detto intervallo semiaperto a destra oppure superiormente semiaperto (s.s.)

un intervalle del tipo: ×

I = [a , b ) [a , b )

1 1 2 2

E definiamo area o misura di I il numero: 2

Y

− ∗ − −

µ (I) = (b a ) (b a ) = b a

2 1 1 2 2 i i

i=1

Definizione Chiamiamo poi plurintervallo un’unione finita di intervalli, siano essi chiusi, aperti

o semiaperti, un plurintervallo P lo diremo s.s. se unione di intervalli s.s..

Definizione Sia P un plurintervallo s.s., é quindi detta I-partizione o I-decomposizione di P

una qualunque famiglia finita di intervalli I con k = 1, 2, ..., m s.s tali che:

k

• il plurintervallo é l’unione di tutti gli intervalli:

m

[

P = I

k

k=1

• gli intervalli che compongono il plurintervallo sono a due a due disgiunti, ossia non si interse-

cano tra di loro: ∩ 6

I I = 0, i = j

i j

cioé non hanno nessun punto in comune.

Nota bene É chiaro che esistono infinite I-partizioni di P .

53

54 CAPITOLO 3. INTEGRAZIONE

{I }

Definizione Sia una I-partizione di P , chiameremo area o misura bidimensionale

k k=1,2,...,m

di P il numero: m

X

µ (P ) = µ (I )

2 2 k

k=1

Se Q é un plurintervallo qualsiasi e Q̄ = P̄ chiusure con P intervallo s.s., definiamo:

µ (Q) = µ (P )

2 2

Osservazione Siano P , ..., P plurintervalli a due a due disgiunti, allora l’area dell’unione di tali

1 m

plurintervalli é definita: m

X

∪ ∪

µ (P ... P ) = µ (P )

2 1 m 2 k

k=1

Se invece P e Q sono due plurintervalli qualsiasi, cioé possono esistere dei punti in cui si intersecano,

l’area della loro unione si calcola come:

∪ − ∩

µ (P Q) = µ (P ) + µ (Q) µ (P Q)

2 2 2 2

∩

con (P Q) intersezione tra i due plurintervalli.

La misura della differenza invece si calcola come: − ∩

µ (P Q) = µ (P ) µ (P Q)

r

2 2 2

⊆

da cui, se Q P , allora la misura della differenza si calcola come:

−

µ (P Q) = µ (P ) µ (Q)

r

2 2 2

2

⊆

Definizione Sia X limitato, diremo che X ha misura nulla se:

R ∀ε ∃P ⊆ ≤

> 0 : X P, µ (P ) ε

2

3.1.2 Misura di insiemi piani limitati

2

⊆

Sia X limitato e consideriamo queste due classi di numeri:

R 0 00

{µ {µ

(P )} e (P )}

0 00

⊆X

2 P 2 X⊆P

0 00

con P e P plurintervalli s.s., queste due classi di numeri sono separate, quindi ogni elemento di

una é sempre minore di ogni elemento dell’altra:

0 00

⊆ ≤ ⊆

µ (P X) µ (X P )

2 2

0 00

{P ⊆ {X ⊆ }

quindi il superiore di X} sará sempre minore dell’inferiore di P

0 00 0

i e ⊆

Definizione Posti µ (X) = sup µ (P ) e µ (X) = inf µ (P ) definiti rispettivamente su P X

2 2

2 2

00

⊆ , allora se:

e X P i e

µ (X) = µ (X) = µ (X)

2

2 2

diremo che X é misurabile secondo Peano-Jordan.

3.1. MISURA 55

2

⊆

Proposizione Sia X limitato e sia la famiglia dei plurintervalli s.s., allora:

R P

• X é misurabile secondo Peano-Jordan se e solo se:

0 00 0 00 00 0

∀ε ∃P ∈ ⊆ ⊆ ≤

> 0, , P con P X P t.c µ (P P ) ε

P r

2

• X é misurabile secondo Peano-Jordan se:

0 00 0 00 00 0

∀ε ∃X ⊆ ⊆ ≤

> 0, , X , con X X X e µ (X X ) ε

r

2

0 00

con X e X misurabili secondo Peano-Jordan.

2

Indichiamo con J (R ) la famiglia degli insiemi misurabili secondo Peano-Jordan, e presi due insiemi

b

2

∈

X, Y J (R ), la loro unione, la loro intersezione e la loro differenza sono misurabili secondo

b

Peano-Jordan: 2

∪ ∩ ∈

X Y, X Y, X Y J (R )

r b

2 →

La funzione µ : J (R ) [0, +∞) che manda plurintervalli misurabili secondo Peano-Jordan in

2 b

numeri reali positivi (cioé l’area degli stessi plurintervalli), ha le seguenti proprietá:

• finitamente additiva, ossia: m

X

≤

µ (X , ..., X ) µ (X )

2 1 m 2 i

i=1

oppure, se X , .., X sono a due a due disgiunte:

1 m m

X µ (X )

µ (X , ..., X ) = 2 i

2 1 m i=1

• area dell’unione di due plurintervalli qualsiasi:

∪ − ∩

µ (X Y ) = µ (X) + µ (Y ) µ (X Y )

2 2 2 2

• area della differenza tra due plurintervalli qualsiasi:

− ∩

µ (X Y ) = µ (X) µ (X Y )

r

2 2 2

⊆

e se Y X, allora: −

µ (X Y ) = µ (X) µ (Y )

r

2 2 2

2 2

• ⊆ ∀Y ∈

se X é non limitato diremo che X non é misurabile secondo Peano-Jordan; J (R ),

R b

∩

l’intersezione X Y é misurabile secondo Peano-Jordan e si pone la misura bidimensionale di

X: ∩ ∈

µ (X) = sup µ (X Y ) [0, +∞]

2 2

2

∈J

Y (R )

b

2

Definizione Definiamo con J(R ) la famiglia di tutti gli insiemi, limitati e non, misurabili, e la

2 → |

funzione µ : J(R ) [0, +∞] ha le stesse proprietá di µ .

2

2 2 J (R )

b

56 CAPITOLO 3. INTEGRAZIONE

2

⊆

Proposizione Se X limitato, allora X é misurabile secondo Peano-Jordan se e solo se la

R

sua frontiera (δX) ha misura bidimensionale nulla:

2

∈ ⇐⇒

X J(R ) µ (δX) = 0

2

3.2 Integrale di Riemann

3.2.1 Grafico e sottografico di f

2

→ ⊆ ≥

Definizione Sia f : A A ed f non negativa (f 0), definiamo il grafico di f come

R, R

3

l’insieme in :

R 3

{(x, ∈ |(x, ∈

γ(f ) = y, z) y) A, z = f (x, y)}

R

e chiameremo sottografico di f l’insieme: 3

{(x, ∈ |(x, ∈ ≤ ≤

R(f ) = y, z) y) A, 0 z f (x, y)}

R 2 3

Tutte le considerazioni fatte per la misura di intervalli in si applicano anche per , un

R R

3

intervallo semiaperto a destra, su si scrive come:

R × ×

I = [a , b ) [a , b ) [a , b )

1 1 2 2 3 3

3.2. INTEGRALE DI RIEMANN 57

3.2.2 Integrazione secondo Riemann

f non negativa 2 3

→ ∈ ∈

Definizione Sia f : A con A J(R ) ed f non negativa, se R(f ) J(R ) diremo che f é

R

integrabile secondo Riemann e poniamo:

Z ∈

f dxdy = µ (R(f )) [0, +∞]

3

A

ossia il volume del sottografico di f (R(f )). Se tale volume é inferiore a +∞, diremo che é

sommabile secondo Riemann.

f di segno qualunque 2

→ ∈

Definizione Sia f : A con A J(R ) ed f di segno qualunque, definiamo due funzioni:

R +

• parte positiva di f : f (x, y) = max{f (x, y), 0}

−

• parte negativa di f : f (x, y) = min{f (x, y), 0}

La cui somma ha come risultato la funzione f : −

+

f (x, y) + f (x, y) = f (x, y)

−

+

Quindi il sottografico di f e f sono misurabili secondo Peano-Jordan:

−

+ 3

∈

R(f ), R(f ) J(R )

e, se non entrambi +∞, diremo che f é integrabile secondo Reimann e poniamo:

Z Z Z

− −

+ +

− −

f (x, y)dxdy = µ (R(f ) R(f )) = f (x, y)dxdy f (x, y)dxdy

3

A A A

−

+

R R

se sia f (x, y)dxdy che f (x, y)dxdy sono finiti, allora diremo che f é sommabile secondo

A A

Reimann e quindi: Z |f (x, y)|dxdy < +∞

A

58 CAPITOLO 3. INTEGRAZIONE

2

→ ∈

Teorema Sia f : A con A J(R ) ed f integrabile secondo Riemann, allora:

R

• l’esistenza e il valore dell’integrale di f su A non dipendono dai valori che f assume su un

insieme di misura nulla;

• |f |

se f é sommabile secondo Riemann, allora é sommabile secondo Riemann e viceversa;

• vale la disuguaglianza triangolare, ossia: Z

Z ≤ |f (x, y)|dxdy

f (x, y)dxdy A

A

• vale la media integrale: Z

1

≤ ≤

inf f f (x, y)dxdy sup f

µ (A)

A 2 A

A

2

→ ∈

Teorema se f, g : A con A J(R ) sommabili secondo Riemann, allora valgono le proprietá

R

di linearitá e monotonia:

(R R R

(f + g)dxdy = f dxdy + gdxdy

A A A

linearitá R R

∗ ∗

(c f )dxdy = c f dxdy

A A

n R R

≤ ∈ ≤

monotonia f g (∀x, y A) =⇒ f dxdy gdxdy

A A

2

→ ∈ ∪A

inoltre se f : A con A J(R ), µ (A) < 0, f sommabile secondo Riemann su A ed A = A

R 2 1 2

∪

con A e A misurabili secondo Peano-Jordan e µ (A A ) = 0, allora:

1 2 2 1 2

Z Z Z

f dxdy = f dxdy + f dxdy

A A A

1 2

3.2.3 Insieme normale n

→ ∈

Definizione Siano f, g : A con A J(R ) e sia:

R ≤ ∀x ∈

g(x) f (x) A

n+1

Allora il sottoinsieme di :

R x,y n+1

{(x, ∈ |x ∈ ≤ ≤

B = y) A, g(x) y f (x)}

R

é detto normale rispetto all’asse y.

Nota bene se f, g sono sommabili secondo Riemann, allora:

Z

n+1

∈ −

B J(R ), µ (B) = (f (x) g(x))dx

n+1 A

3.3. INTEGRALE DOPPIO 59

3.3 Integrale doppio

3.3.1 Teoremi di riduzione

Il calcolo dell’integrale di una funzione definita su un insieme normale puó essere semplificato

attraverso i teoremi di riduzione, riconosciamo casi particolari:

Funzione definita su un rettangolo 2 ×

Consideriamo una funzione definita su un rettangolo, ossia un intervallo in del tipo I = [a, b]

R

→

[c, d] ed f : I continua.

R Figura 3.1: funzione definita su un rettangolo I

→

Consideriamo ora la funzione G : [c, d] definita come:

R b

Z

G(y) = f (x, y)dx

a ∈

Figura 3.2: funzione G in un punto y [c, d]

0

che é una funzione continua e sommabile secondo Riemann nel dominio, e definiamo integrale doppio

60 CAPITOLO 3. INTEGRAZIONE

di f il numero reale: !

b

d

d Z

Z

ZZ Z f (x, y)dx dy

G(y)dy =

f (x, y)dxdy = a

c

c

I →

Analogamente definiamo la funzione H : [a, b] tale che:

R

d

Z

H(x) = f (x, y)dy

c ∈

Figura 3.3: funzione H in un punto x [a, b]

0

che, come sopra, é continua e sommabile secondo Riemann, e l’integrale doppio di f si puó scrivere:

!

b b d

ZZ Z Z Z

f (x, y)dxdy = H(x)dx = f (x, y)dy dx

I a a c

∗ → →

Nota bene se f (x, y) = g(x) h(y) con g : [a, b] e h : [c, d] continue, allora:

R R

b d

ZZ Z Z

∗

f (x, y)dxdy = g(x)dx h(y)dy

I a c

Funzione definita su un insieme normale

Se consideriamo invece una funzione definita su un insieme normale del piano, ossia un un insieme

2

⊆

K (in questo caso normale rispetto a y) tale che:

R 2

{(x, ∈ |a ≤ ≤ ≤ ≤

K = y) x b, ψ (x) y ψ (x)}

R 1 2

3.4. INTEGRALE TRIPLO 61

2

Figura 3.4: Insiemi normali (∈ ) rispetto a y (a) e x (b)

R

→ →

con ψ , ψ : [a, b] continua, quindi la funzione f : K é continua e il suo integrale

R R

1 2

doppio su K si calcola come: !

b ψ (x)

ZZ Z Z 2

f (x, y)dxdy = f (x, y)dy dx

K a ψ (x)

1

2

⊆

Se invece K é un insieme normale rispetto all’asse x, cioé tale:

R 2

{(x, ∈ |ϕ ≤ ≤ ≤ ≤

K = y) (y) x ϕ (y), c y d}

R 1 2

→

con ϕ , ϕ : [a, b] continue, allora:

R

1 2 !

d ϕ (y)

ZZ Z Z 2

f (x, y)dxdy = f (x, y)dx dy

K c ϕ (y)

1

f come sopra da K a continua.

R

3.4 Integrale triplo

3.4.1 Teorema di Cavalieri

3

⊆

Definizione Un insieme V é detto solido di Cavalieri, se tale insieme é misurabile secondo

R

Peano-Jordan, posso definire, per ogni piano perpendicolare ad una retta λ, l’insieme sez (V ), che

λ

rappresenta l’intersezione tra tale piano e il solido V , tale insieme é bidimensionale e misurabile

secondo Peano-Jordan: 2

∈

sez (V ) J (R )

λ b

62 CAPITOLO 3. INTEGRAZIONE

Teorema Siano V e V due solidi di Cavalieri di asse λ, se:

1 2 ≤

µ (sez (V )) µ (sez (V ))

2 λ 1 2 λ 2

per ogni piano perpendicolare a λ, allora: ≤

µ (V ) µ (V )

3 1 3 2

in particolare se µ (sez (V )) = µ (sez (V )), allora:

2 λ 1 2 λ 2

µ (V ) = µ (V )

3 1 3 2

Teorema Se V é un solido di Cavalieri di asse z e la funzione che associa quote z a misure

→

bidimensionali di sez (V ) (z µ (sez (V ))) é sommabile su [α, β] e nulla all’esterno dell’intervallo,

z 2 z

allora il volume di V é dato da: β

Z

µ (V ) = µ (sez (V ))dz < +∞

3 2 z

α

→

se invece abbiamo f : V continua allora chiamiamo integrale triplo di f su V il volume di

R

V : !

β

ZZZ Z ZZ

µ (V ) = f (x, y, z)dxdydz = f (x, y, z)dxdy dz

3 V α sez (V )

z

3.4. INTEGRALE TRIPLO 63

Volume del cilindro

Consideriamo un cilindro (C ) di raggio R e altezza H:

l 3

{(x, ∈ |(x, ∈ ≤ ≤

C = y, z) y) A, 0 z H}

R

l

con A area di base del cilindro, tale che: 2

∗

µ (A) = µ (sez (Cl)) = π R

2 2 z

da cui possiamo ricavare il volume del cilindro:

H

Z 2 2 2

∗ − ∗ ∗

µ (C ) = π R dz = (H 0) π R = πHR

3 l 0

Volume del cono

Consideriamo un cono (C ) di raggio di base R e altezza H:

n 3

{(x, ∈ |(x, ∈ ≤ ≤

C = y, z) y) A(z), 0 z H}

R

n

Come possiamo notare in questo caso la sezione dipende dalla quota z e notiamo che i triangoli

∗

Hrz e HR0 sono simili, quindi vale la proporzione:

∗ ∗

− − ∗

H z r (H z ) R

−→

= r =

H R H