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1)esistere finito; del dominio di g ovvero se f(x)cg(se g 88)TEOREMA SULL'ALGEBRA

2)esistere infinito; è definita in Y) se f(x)cY DEI LIMITI:

3)non esistere. Ci si riconduce sempre ad una forma

La definizione detta: f: XR XcR x° 79)FUNZIONE CONVESSA: di indecisione del tipo inf/inf o 0/0 che

cX°, lim per xx° f(x)=L se per ogni Si ricava la convessità grazie allo posso risolvere utilizzando i seguenti

intorno di L esiste un intorno di x° studio della f''(x). criteri:

per ogni x appart. X inters.l'int. di x°, La definizione è: IR, IcR, per ogni 1) asintotico;

la f(x) appart. all'int. di L x1,x2, per ogni t appart. 2) teo. Intrappolamento;

[0,1]f(tx1+(1-t)x2<=t(f(x1)+(1- 3) Mc Laurin;

72)DEFINIZIONE DI t)*f(x2). 4) Regola dei coefficienti;

CONTINUITA': Il dominio di una funzione convessa 5) Scomposizione di f(x)

f:AcRR è continua in x° p.to di deve essere un intervallo. 6) Limiti notevoli

accumulazione per A se per ogni

eps.>0 esiste alpha>0: per ogni x 80)FUNZIONE STRETTAMENTE 89)L'ASINTOTICO:

appart. A |x-x°|<eps. si ha |f(x)- CONVESSA: Esso si utilizza se: lim per xx°

(fx°)|<eps. Vale quanto detto per la funzione f(x)/g(x)=1

Ovvero lim. per xx° convessa, ma il verso non è >=, ma

f(x)=f(x°)f(x)-f(x°)=0 il quale solo < 90)"TRASCURABILE":

ques'ultimo non è altro che il Esso si utilizza se: lim per xx°

numeratore del R. incrementale. 81)FUNZIONE CONCAVA: f(x)/g(x)=0

In pratica una funzione è continua se il Vale quanto detto per la f. convessa

limite della funzione tendendo ad un ma il verso è >= 91)FUNZIONE INFINITESIMA:

p.to è uguale al valore che assume la 82)FUNZIONE STRETTAMENTE Essa si ha quando lim per xx°

funzione in quel determinato p.to. CONCAVA: f(x)=0

In un p.to isolato la funzione è per Vale quanto detto per la f. strett. Dunque il limite di una funzione

definizione continua, in quanto il Conv. Ma il verso è solo > infinitesima vale o+/-

limite di una costante è la costante Una funzione infinitesima è una

stessa. 83)R_=r ESTESO: funzione che tende a zero quando ci si

Ovvero R+[+/-inf] avvicina ad un p.to ma non che vale 0

73)FcC^°(X) +/- inf., nello studio dei limiti li si nel p.to

Ciò vuol dire che la f è continua su tratta come p.ti di accumulazione ma Se voglio calcolare il limite di una

tutto il dominio non ha senso parlare di raggio per +/- funzione infinitesima posso ad

inf. esempio sviluppare Mc Laurin e

74)ESTREMANTI DI UNA vedere poi chi tende più velocemente

FUNZIONE: 84)LIMITI: a 0 ovvero i termini con esponente

Con il termine estremanti ci si Si può parlare di limiti da destra(+), da minore, dunque tutti gli altri sono

riferisce ai p.ti di min . e di ma. Non ai sinistra(-), per eccesso(+) o per trascurabili rispetto a quelli che

max. o min. difetto(-) tendono più velocemente.

I p.ti di min. e di max. si leggono sulle

ascisse. 85)LIMITI:

L'unicità del limite è condizione 92)FUNZIONE INFINITA:

75)FUNZIONE PARI O necessaria per l'esistenza dello stesso. Essa si ha quando il lim per xx°

SIMMETRICA RISPETTO L'esistenza del limite è condizione f(x)=+/- inf.

ALL'ASSE DELLE ORDINATE: sufficiente per l'unicità dello stesso. Si può risolvere una forma di

Si verifica con la formula seguente: indecisione del tipo inf./inf attraverso

f(x)=f(-x) 86)TEOREMA DELLA la regola dei coefficienti ed oosservare

PERMANENZA DEL SEGNO: chi tende più velocemente a inf.

76)FUNZIONE DISPARI O Se il lim. f(x) esiste finito o infinito ovvero chi ha l'esponente più grande,

ASIMMETRICA RISPETTO anche la f(x) ha lo stesso segno del quindi tutto il resto è trascurabile.

ALL'ASSE DELLE ORDINATE: limite. 

Si verifica con la seguente formula: Se il limite è positivo localmente 93)LE VARIE FORME DI

-f(x)=f(-x) anche la funzione sarà positiva(il DISCONTINUITA':

viceversa non vale). Si hanno tre forme di discontinuità:

77)IL PRODOTTO DI Questo teorema dunque non accetta 1) eliminabile: se lim per xx°+/-

COMPOSIZIONE: corrispondenza biunivoca. f(x)=L diverso da f(x°)

Esso è uno dei modi per creare nuove 2) di prima specie , detta "a salto":

funzioni. 87)TEOREMA DI se esiste lim per xx°+/- f(x)=L1

Il prodotto di composizione non gode INTRAPPOLAMENTO O DEL e L2 ma diversi fra loro.

della proprietà commutativa. CONFRONTO: 3) Di seconda specie: se lim da

Esso è utile per studiare limiti di destra o da sinistra accade che:

78)FUNZIONE COMPOSTA: funzioni più semplici. lim per xx°+/- f(x)= o non

Ad esempio (gòf)(x): allora il dominio Si usa generalmente l'asintotico o gli esiste o esiste infinito. Una

sarà in g e le immagini in f sviluppi di Mc Laurin per determinare funzione che presenta in x=0 una

Prima di apprestarsi al calcolo della tra quali funzioni è intrappolata una discontinuità di seconda specie è

funzione composta bisogna chiedersi funzione difficile di cui non so ad esempio f(x)=1/x

se l'ins. Immagine di f è sottoinsieme calcolarne il limite. 94)FcC^1(X)

Ciò vuol dire che la funzione è 100)PUNTO DI FLESSO A Per determinare infinitesimo e grado

derivabile una volta, allora la funzione TANGENZA ORIZZONTALE: di infinitesimo si risolve: lim per

è continuaanche la derivata prima è Esso si ha se la f è definita su di un xx° f(x)/|g(x)|^alpha.

continua intervallo, inoltre è continua e Un altro metodo è quello di utilizzare

derivabile e f'(x)=0: la derivata non gli sviluppi di Mc Laurin.

95)FcC^2(X) deve cambiare segno in qualunque

Ciò vuol dire che la funzione è p.to dell'intervallo. 107)CLASSIFICA DEGLI INFINITI:

derivabile 2 volte, allora è continua ed Un esempio può essere data dalla Essa vale sia per le funzioni reali di

anche la derivata seconda è continua. funzione f(x)=x^3 variabile reale sia per le successioni

che non sono altro che un caso

96)FcC^+inf(X) 101)CALCOLO DELLA DERIVATA particolare di funzione .

Ciò vuol dire che la funzione è IN UN PUNTO: In ordine tendono più velocemente ad

derivabile infinite volte(anche n Si utilizza il R. incrementale ovvero infinito:

volte)allora la f è continua ed anche la f(x)-f(x°)/x-x° ovvero il tasso medio 1) n^n

derivata ennesima sarà continua di variazione il quale corrisponde con 2) n!

f'(x) ovvero il tasso istantaneo di 3) e^n

97)ESTREMANTI IN R E IN R^2 variazione in almeno un punto. 4) n

Calcolo gli estremanti ovvero i p.ti di Calcolato il R. incrementale calcolo il 5) log n

max. e min. re. O ass. in R tramite lo lim per xx°+/- dello stesso R.

studio della derivata prima risolta incrementale e posso ottenere: 108)SUCCESSIONE

come una semplice disequazione; 1) L 1 e L 2 finiti ma diversi fra GEOMETRICA:

Se mi si richiede il calcolo dgli loro punto angoloso ed un La convenzione è sempre che 0^°=1.

estremanti in un p.to allora utilizzo il esempio è dato dalla funzione Si indica con [q^n], ncN, qcR il lim

rapporto incrementale e poi né calcolo f(x)=|x| in x=0 per n+inf. [q^n]=

il lim da sinistra e da destra. 2) L 1 e L 2 finiti ed uguali tra 1) |q|<1ottengo 0

Se mi trovo nello spazio R^2 allora loro la f è derivabile e la 2) q=1ottengo una successione

devo utilizzare il teorema di Fermat derivata è il p.to stesso; costante

per la ricerca degli estremanti in R^2 3) + inf. e + inf. ho un p.to di 3) q>1ottengo + infinito

ovvero calcolo le derivate parziali cuspide; un esempio è dato dalla 4) q= -1 ottengo che la

rispetto a x e a y , poi le pongo a funzione f(x)=|1/x|in x=0 successione è limitata tra -1 e 1

sistema e le uguaglio a zero, poi 4) 0+ e 0- la derivata esiste ed è 5) q<-1 ottengo che il limite non

risolvo il sistema in due variabili e nulla: da notare che tutte le esiste ed avrò delle oscillazioni

determino così due punti critici ; a funzioni costanti sono derivabili amplificate

questo punto calcolo fxx, fyy, fxy, fyx con derivata nulla;

e costruisco la matrice H; calcolo il 5) +inf. e -inf.ho un p.to di flesso 109)CONTINUITA':

determinante come differenza tra il a tangenza verticale e un esempio Per quanto riguarda la continuità, dalla

prodotto della diagonale principale e può essere dato dalla funzione definizione di limite si ha solo il fatto

il prodotto della diagonale secondaria src(sotto radice cubica)x^2 in x=0 che in questo caso si considera il

e determino cosi dei punti, se questi centro dell'intorno ovvero il centro del

sono >0 allora ho dei minimi relativi; 102)TEOREMA SULLA p.to di accumulazione cosa che invec

se trovo dei n° > 0 allora ho un p.to di DERIVABILITA': non avviene nella definizione di

sella, mentre se trovo un p.to uguale a f:RR si dice derivabile in un p.to x° limite.

zero allora non posso dire nulla. appartenente al dominio di f se esiste

Se mi viene richiesta invece la ricerca finito il limite del rapporto 110)SUCCESSIONE COME

di punti stazionari, essi sono quei p.ti incrementale f(x)-f(x°)/x-x° FUNZIONE CONTINUA:

in cui f'(x)=0 dunque se mi trovo in Una funzione si dice derivabile in un Una successione è una funzione

R^2 devo interpretare i risultati in intervallo I se lo è in ogni suo punto, continua perché il dominio è formato

modo differente dunque se trovo un n° dell'intervallo, s'intende. da tutti p.ti isolati essendo definita in

uguale a zero ciò vuol dire che ho 103)FUNZIONI INFINITESIME: N, in cui il limite nal p.to è uguale

infiniti p.ti stazionari. Una funzione infinitesima è al valore che la funzione f(n) assume

trascurabile rispetto alle costanti non nel medesimo p.to.

98)PUNTO DI FLESSO A nulle.

TANGENZA OBLIQUA: 111)FUNZIONE INVERSA:

Esso si ha quando f'(x) diverso da 0 e 104)IL LIMITE DI UNA Se ho una funzione diretta e continua

f''(x)=0 COSTANTE: non è detto che la sua funzione inversa

Se ho f'(x)=0 e f''(x)=0 allora posso Il limite di una costante è uguale alla f^-1 sia anch'essa continua e ciò

dire che ho p.ti stazionari. costante stessa dipende dal dominio della stessa

funzione diretta che invertita si legge

99)LE REGOLE DI DERIVAZIONE: 105)SCRITTURA FUORI DAL sulle ordinate; se ho dunque un

Esse sono principalmente 2: SEGNO DI LIMITE: dominio del tipo (1, +inf) la funzione

1) reg. del prodotto: valido sia per f. Scrivere un limite fuori dal segno di inversa in 1 presenterà un p.to di

elementari che per f. complesse limite equivale a sviluppare mediante discontinuità di prima specie detto

2) reg. del quoziente: " " " Mc Laurin una determinata funzione anche "a salto".

" " " " considerata.

" 112)FUNZIONE INVERSA

106)INFINITESIMO E GRADO DEFINITA SU UN INTERVALLO:

DELL'INFINITESIMO:

Sono sicuro che otterrò una funzione 6) cos x-sin x incrementale da sinistra e da destra

inversa continua se la funzione diretta 7) c0 non esiste finito o infinito, in quanto è

è continua e definita su di un 8) srq x1/2srqx 1 da destra e -1 da sinistra la f non è

intervallo: me rifaccio al teorema sulla 9) tg x1+(tg x)^2 derivabile in quanto la condizione

continuità della funzione inversa: al necessaria di derivabilità in un punto è

massimo potrò avere una discontinuità 118)ELENCO DELLE DERIVATE che i lim. del R. increm. Da sin. E da

eliminabile. DELLE FUNZIONI COMPOSTE: destra esistano e coincidano.

L'elenco si compone di: La derivata della f(x)=|x| è una

113)IL TEOREMA DI 1) [f(x)]^alphaalpha[f(x)]^alpha funzione ovvero la funzione segno che

WEIELSTRASS: -1 * f '(x) vale 1 per x>0 e -1 per x<0

Questo teorema afferma che se ho una 2) log[f(x)]1/f(x) *f '(x)

funzione reale di variabile reale 3) cos [f(x)]-sin f(x)* f'(x) 123)TEOREMA DI LAGRANGE:

definita su un compatto di R o 4) e^[f(x)]e^f(x)*f'(x) f:[a,b]R

restrizione di R e la mia funzione è 5) sin[ f(x)]cos f(x)* f'(x) f continua

continua allora esiste il max. ed esiste 6) srq f(x)1/2srq f(x)* f '(x) f derivabile

il min. della funzione stessa. ovvero le ipotesi del teorema di Rolle

Quindi se esiste max. e min. di N.B.: nella derivata composta f(x) tranne l'ipotesi che f(a)=f(b)

f(x)la f(x) è sia sup. che inf. vuol dire non tutta la funzione bensì Tesi di Lagrange: esiste c appart. (a ,

limitata. solo "l'argomento" della stessa. b): f(b)- f(a)/b-a = f '(c)

114)TEOREMA SULL'ESISTENZA 119)ELENCO DEI LIMITI 124)TEOREMA DI ROLLE:

DEGLI ZERI PER FUNZIONI NOTEVOLI: f:[a,b]R

CONTINUE: Esso si compone di: f continua

Questo teorema afferma se ho una f 1) lim per x0 sin x/x=1 f derivabile su (a, b)

reale di variab. Reale definita su un 2) lim per x0 1-cos x/x^2=1/2 f(a)=f(b)

compatto ed a valori in R ed essa è 3) lim per x0 (a^x-1/x)=log base e Tesi: esiste c appart. (a , b): f '( c)= 0

continua e f(a)*f(b)<0 allora esiste un di a ovvero sia un p.to stazionario.

punto c c(a,b,): f(c)=0 4) lim per x0 e^x -1/x=1

Il teorema si dimostra con il metodo 5) lim per x0(1+x)^alpha 125)ASINTOTI:

della bisezione reiterata o ripetuta -1/x=alpha Possono essere:

ovvero attraverso la dimostrazione che 6) lim per x[(1 +a/x)^x/a]^a=e^a 1) orizzontale: di equazione y=….

vi è una successione 2) Vertcicale : di equazione x=…

crescente(An/An+1>1) e una 120)ELENCO DEGLI SVILUPPI 3) Obliquo: di equazione y=mx+q

successione decrescente PIU' IMPORTANTI TRAMITE MC ovvero una funzione lineare affine

ovvero(An/An+1<1) LAURIN: dove calcolo m come lim per

Esso si conpone di: x+/- inf f(x)/x ed esso deve

115)SERIE A TERMINI POSITIVI E 1) Sinx= x-x^3/3!+x^5/5!………. essere finito e non nullo; se così è

REGOLARITA': 2) Cos x= 1-x^2/2!……… allora calcolo q, ovvero il termine

Le serie a termini definitivamente 3) E^x= 1+x+x^2/2!…… noto o il punto in cui il G(f)

positivi sono le c.d. serie regolare ed 4) Log 1+x= x-1/2x^2+1/3x^3- interseca l'asse delle ordinate.

un esempio può essere la serie 1/4x^4….. Calcolo q come lim per x+/- inf

armonica generalizzata ovvero somme [f(x) - mx]

con n da 0 a +inf. di 1/n^alpha, la N.B.: se ad esempio devo sviluppare

quale o converge(se alpha >1) o sin x^2: moltiplico gli esponenti ma il 126)SERIE E COSTANTI:

diverge positivamente a + inf.(se alpha fattoriale al denominatore resta Se sono di fronte a somme con k da 0

<=1) sempre invariato; e ciò vale per a + inf di qualcosa alla n allora tutto

qualsiasi sviluppo. quel qualcosa non è altro che una

116)DERIVATE DELLE FUNZIONI costante da portare fuori del segno di

INVERSE: 121)TEOREMA DELLA serie o somme.

Il procedimento è il seguente: DERIVABILITA' DELLA

1) derivo la funzione diretta e la FUNZIONE INVERSA: 127)IL RAPPORTO

uguaglio al p.to di derivazione; f( a,b)R INCREMENTALE:

2) trovo la soluzione dell'equazione; f derivabile Esso è il tasso di variazione medio

3) applico la formula: 1/f'(x°) dove f è invertibile(iniettività implica della f(x).

f'(x°) lo ottengo sostituendo il invertibilità) Il rapporto incrementale è uguale a

risultato della equazione in x°: x° appart.( a ,b) f'(x) il quale rappresentas il tasso di

giungo così alla derivata della tesi: f^-1 è derivabile in y°=f(x°) variazione istantaneo della f(x).

funzione inversa. tesi: f^-1(y°)= 1/f'(x°) Quindi tasso di variaz. Medio e

122)DERIVABILITA' IMPLICA istantaneo sono uguali in almeno un

117)ELENCO DELLE DERIVATE CONTINUITA': p.to.

DELLE FUNZIONI ELEMENTARI: Ciò vale in un intervallo. 128)FUNZIONE

L'elenco si compone di: Il viceversa non vale. DIFFERENZIABILE:

1) a^xa^log base e di a Un esempio può essere dato dalla Una funzione si dice differenziabile in

2) e^xe^x funzione f(x)=|x| che è derivabile per x° se presa f: XR, XcR e x°cX°, se

3) x^alphaalpha x^alpha-1 x>0 e per x>0 è continua per x>0 e esiste una costante mcR: esiste mcR:

4) log base e di x1/x per x<0, ma non è derivabile in x=0 in lim per xx° f(x)-f(x°)-m*(x-x°)/x-x°

5) sin xcos x quanto il limite del rapporto =0


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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in matematica
SSD:
A.A.: 2008-2009

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Novadelia di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi matematica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Scienze matematiche Prof.

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