Analisi matematica - Appunti

Dice estremo f(x1) = (f(x2)) ovvero presi punti distinti gli elementi di A. Il valore S superiore dell'insieme X se è il minimo dei maggioranti. Appartenente a R si dice estremo maggiorante → S = Sup X. Se poi tramite il test di iniettività verifico che una funzione è suriettiva se per ogni alpha appartenente ad A, S ≥ alpha, allora tracciando delle rette parallele all'asse delle ascisse (ovvero il test di Weierstrass) ottengo che queste intersecano il grafico (che si indica con G(f)) della funzione almeno in due punti. Date le stesse condizioni che valgono per l'estremo superiore, l'estremo inferiore non è altro che il minimo dei minoranti.

suriettiva esaurisce 10)ESTREMO INFERIORE: per l'estremo superiore ScR si dice l'insieme immagine infatti vale la Sia A un insieme di n° reali non vuoto estremo inferiore dell'ins. X se è il seguente: a incluso deb(lo indico con e lim. inferiormente tale cioè che massimo dei minoranti S=inf Xsec)in R e non a=R. esista un elemento minore di tutti gli poi l'estremo superiore è compreso Una funzione suriettiva è: f(x)=x^2. elementi di A. il valore S appart. a R si nell'ins. X è minimo assoluto. dice estremo inferiore di A(S=infA)19)INSIEME ILLIMITATO appart. ad A ed inoltre esiste un suo 37)SERIE ARMONICA:SUPERIORMENTE: intorno contenuto in A. Somme da 0 a + inf di 1/(n)^alpha Esso si indica nel segunete modo: S Se alpha<=1serie divergente Sup X=+ inf. 28)PUNTO ESTERNO: positivamente a + inf. Un p.to a dell'ins. AcR si dice esterno Se alpha >1serie convergente20)INSIEME ILLIMITATO ad A se non appartiene ad

A ed esisteINFERIORMENTE: un suo intorno U(a) tale che U(a) < a + ε per ogni ε > 0.

38)COMBINAZIONI SEMPLICI: Esso si indica nel seguente modo: S ∩ A ≠ ∅. Dn,k / K ≠ n(n-1)…(n-k+1)/K! → ∞ = ∞. *(n-k)! binomio di Newton.

21)DEFINIZIONE DI ESTREMO SUPERIORE: Il contrario di punto isolato è punto di accumulazione. (a+b)^n = somme con n da 0 a n di (n su k) a^k * b^n-k

29)PUNTO ISOLATO: per ogni ε > 0 esiste x* appart. Un p.to a appart. ad un insieme AcR è su k) a^k * b^n-ka X: s-ε < x*, ovvero se tolgo detto isolato di A se esiste un intorno al quale non appartiene alcun elemento di A distinto da a (come per esempio in N, Z, Q e non in R).

40)COEFFICIENTE BINOMIALE DI NEWTON: (n su 0) b^n + (n su 1) a*b^n-1 + (n su 2) a^2*b^n-2…(n su n) a^n

22)EQUIPOTENZA O UGUALE CARDINALITÀ: Se ad ogni elemento di N corrisponde

1. PUNTO DI FRONTIERA: sempre un elemento di Z i due insiemi Un p.to a si dice di frontiera per l'ins.
2. TRIANGOLO DI TARTAGLIA: hanno uguale cardinalità. AcR se rispetto a tale ins. Non è né (a+b)^n=N,Z,Q, sono tutti è tre numerabili interno né esterno ovvero appartenga o n=0------------1dunque hanno uguale cardinalità. meno ad A; ogni suo intorno contiene n=1------- 1 1R non è numerabile. almeno un punto di A e un punto di n=2---- 1 2 1R\A …………………23)POTENZA DEL CONTINUO:se preso un qualsiasi insieme esso ha
3. INSIEME APERTO:
4. COEFFICIENTE BINOMIALE: la stessa numerabilità di R. Un ins. Si dice aperto se ogni suo p.to (n su k)=n!/k!*(n-k)!=(n /0)= n!/n! è p.to interno. Per convenzione si pone 0!=
5. PERMUTAZIONI SEMPLICI: Pn,k=n!
6. INSIEME CHIUSO:
7. LEGGE DI EVOLUZIONE O MODELLO RICORSIVO O
8. PERMUTAZIONI CON

complementare è aperto.

SISTEMA DINAMICO DISCRETO:RIPETIZIONE: 1+2+2^2+……..2^62= somme con kP*n,k: n!/k1!*k2!*… 33)INSIEMI SIA APERTI SIA da 1 a 63 di 2^k=1-2^64/1-2=(2^64-Si utilizza tale formula, tra le altre CHIUSI : 1)= progressione geometricaquandocosa, per calcolare il numero degli Essi sono rispettivamente R e l'ins. il rapporto tra i ternimi consecutivi èanagrammi di una parola in cui si Vuoto. sempre costante il rapporto prenderipetono una o più lettere. il nome di ragione della progressione.34)PUNTO DI ACCUMULAZIONE:26)COMPLETEZZA DI R: Un p.to a appart. a R è di 44)DEFINIZIONE DI FUNZIONE:Ogni insieme non vuoto e limitato accumulazione per l'ins. AcR se ogni f(x)=ysuperiorm. Ammette in R estremo suo intorno contiene almeno un p.to di Ovvero legame tramite la f che ad unsuperiore e se non vuoto e lim. inf. A distinto da a. punto preso sulle ascisse o dominioammette in R estremo inf; allora se Non si considera

relative nel funzione o l'insieme è limitato; infine codominio. se l'estremo sup. e inf appartengono 36)

DEFINIZIONE DI SERIE: all'ins. Essi massimo e minimo data una successione di n° reali si dice 47)

GRAFICO DELLA FUNZIONE: assoluto. serie di termine generale An la Si indica con il simbolo G(f). Il teorema della completezza non vale successione Sn definita nel seguente in Q. modo s°=0°, Sn=sn-1+an; questo è 48)

FUNZIONE COSTANTE: detta successione delle ridotte o f(x)=c27)

PUNTO INTERNO: successione delle somme parziali E' suriettiva Per definizione un insieme è aperto se perché sommo fino ad un certo p.to; ... ogni suo punto è punto interno. Sn si dirà termine generale della Si ha punto interno se: un punto a ridotta ennesima. 49)

FUNZIONE LINEARE: dell'ins. AcR si dice interno ad A se f(x)=alpha x alpha=f(x)/x : così essa 60)

IMPLICAZIONI: asintotico tutta la serie e non solo un esprime un rapporto di

proporzionalità Se una funzione è strett. Crescenteè "pezzo"; diretta. invertibileè iniettiva. 2)criterio del confronto: non èIl viceversa non vale. semplice da utilizzare in quanto50)FUNZIONE IDENTITÀ E SUA INVERSA: 61)CONTROIMMAGINE: minorazioni o delleINVERSA: 61)CONTROIMMAGINE: minorazioni che è sempre difficilef(x)=alpha x e f(x)= -alpha x Si parte dal codominio e si legge sul generare ed inoltre attraverso ledominio ovvero sulle scisse. maggiorazioni o le minorazioni si51)FUNZIONI LINEARI AFFINI: possono perdere delle informazionif(x)=alpha x + q dove q indica la 62)MASSIMI, MINIMI, P.TI DI che possono risultare fondamentali perquota ovvero dove il G(f) interseca MAX. E P.TI DI MIN. ASSOLUTI E lo studio del carattere di una serie;l'asse delle ordinate. RELATIVI: 3)criterio della radice: ovveroSi ragiona su tutto il dom.(f) e srn(Bn)^n:-52)FUNZIONE ESPONENZIALE: calcolando la f '(x) si determinano. se ottengo un n°

1. serief(x)=x^2 Massimi, minimi, assoluti o relativi convergente-che siano si leggono sulle ordinate, se ottengo un n° >1serie53)FUNZIONE POTENZA: mentre i p.ti di max, min, ass. o rel. Si divergente a + inff(x)=x^3 ovvero a^b, quindi o fisso a leggono sulle ascisse. - se ottengo un n° =0 serieo fisso b. indeterminataFunzioni esponenziali e funzioni 63)SERIE GEOMETRICA: 4)criterio del rapporto: ovveropotenza sono assolutamente diverse. Si definisce come: somme con n da 0 Bn+1/Bna + inf. di q^n I risultati sono identici a quelli che si54)FUNZIONE LOGARITMICA E Se |q|<1serie convergente e la traggono dal criterio della radice.SUA INVERSA: somma si calcola come[(1/1-q)-(q)^..- Vi sono delle analogie per quantof(x)=log x, mentre l'inversa è f(x)=e^x (q)^--]*le eventuali costanti portate riguarda i risultati a cui si giungefuori dal segno di somme costanti. inerenti alla serie geometrica ed a55)FUNZIONE INVERSA: Se q>=1serie divergente quelli