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Potenze, funzione esponenziale, equazioni esponenziali
Potenze e loro proprietà:
- Definizioni
- Esempi
- Proprietà
Esempi di proprietà delle potenze:
- an * am = an+m
- an / am = an-m
- (an)m = an*m
- (a*b)n = an * bn
- (a/b)n = an / bn
- a0 = 1
- a-n = 1/an
Esempi di espressioni con potenze:
- 53 = 125
- 24 = 16
- 32 = 9
- 23 * 22 = 25 = 32
- a2 * a3 = a5
- a5 / a2 = a3
- a-2 = 1/a2
Equazioni esponenziali:
- an = b
- ax = ay
- ax = 1
Funzione esponenziale:
La funzione esponenziale è del tipo y = ax, dove la variabile indipendente x si trova all'esponente.
Le caratteristiche di una tale funzione sono le seguenti: - il dominio è tutto l'insieme dei numeri reali; - il codominio è l'insieme dei numeri reali maggiori di zero; - il grafico della funzione interseca l'asse delle ordinate nel punto (0,1); - l'asse delle ascisse è un asintoto orizzontale per la funzione. 1) Se a > 1, la funzione è crescente in senso stretto per x compresi tra 0 e 1. 2) Se 0 < a < 1, la funzione è decrescente in senso stretto per x compresi tra 0 e 1. Equazioni esponenziali: Sono equazioni in cui l'incognita compare come esponente. Equazioni esponenziali elementari: Sono equazioni del tipo: a^x = b, con a > 0 e a ≠ 1. Ad esempio: 2^x = 32. Risolvere una tale equazione significa determinare il valore da sostituire alla x per ottenere un'identità numerica. In questo esempio è evidente che deve essere x = 5 perché 2^5 = 32. Altri esempi: Equazione: x = 3. Soluzione: x = 3. Verifica: 2^3 = 8. Equazione: x = 1. Soluzione: x = 1. Verifica: 2^1 = 2.34 64 4 64x = -21 2 1 1=x10 − = =2 10100 10 100x = 1= =x 17 7 7 7x = 0= =x 05 1 5 1ricordare che elevando ogninumero diverso da zero a 0 siottiene 1.= −x7 49 equazioni impossibili! ricordare che, se la base di una2potenza è positiva, il risultatox 8 = 0 della potenza stessa è sempre 3 maggiore di zero.2. Logaritmi, funzione logaritmica, equazioni logaritmicheDefinizione di logaritmo di un numeroIl logaritmo di un numero b (positivo), in una data base a (positiva e diversa da 1), è l’esponente xche bisogna dare alla base per ottenere il numero dato:= =xlog b x ⇔ a baEsempi log 8Il logaritmo di 8 in base 2 (si scrive: ) è uguale a 3, perché 3 è l’esponente da dare a 2 per2ottenere 8 : =log 8 3 =3infatti: 2 82Analogamente: =log 81 4 =4infatti: 3 813 −9 2 2 2 3 9= −log 2 = = infatti:2 4 3 2 43Quando la base del logaritmo non
è specificata questa si assume uguale a 10 (logaritmi decimali)oppure uguale a “e”( e = 2,7182… , è il numero di Nepero; i logaritmi in tale base si dicono naturalio neperiani).
Logaritmi e loro proprietà
Definizioni Esempi Proprietà Esempi
= = ⋅ = + ⋅ = +
log (8 3) log 8 log 3
log 1 0 log 1 0
log ( m n ) log m log n
=0( ) ( (1)a 1 2 2 2a 7 a a a=0 )7 1
= = = − = −
log (8 : 3) log 8 log 3
log a 1 log 5 1
log ( m : n ) log m log n
=1( ( (2)a a 2 2 2a 5 a a a) =1 )5 5
= =
m 4log b m log b log 7 4 log 7
(3) a a 2 2
= =
m 4log a m log 2 4a 2
=log 5=log b 3 5a b 3a
Funzione logaritmica = ≠>y log x a 1a 0
E’ una funzione del tipo: con ea 3
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