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potenza è positiva, il risultato

x

 

8 =

  0 della potenza stessa è sempre

 

3 maggiore di zero.

2. Logaritmi, funzione logaritmica, equazioni logaritmiche

Definizione di logaritmo di un numero

Il logaritmo di un numero b (positivo), in una data base a (positiva e diversa da 1), è l’esponente x

che bisogna dare alla base per ottenere il numero dato:

= =

x

log b x ⇔ a b

a

Esempi log 8

Il logaritmo di 8 in base 2 (si scrive: ) è uguale a 3, perché 3 è l’esponente da dare a 2 per

2

ottenere 8 : =

log 8 3 =

3

infatti: 2 8

2

Analogamente: =

log 81 4 =

4

infatti: 3 81

3 −

9 2 2

   

2 3 9

= −

log 2 = =

   

infatti:

2 4    

3 2 4

3

Quando la base del logaritmo non è specificata questa si assume uguale a 10 (logaritmi decimali)

oppure uguale a “e”( e = 2,7182… , è il numero di Nepero; i logaritmi in tale base si dicono naturali

o neperiani).

Logaritmi e loro proprietà

Definizioni Esempi Proprietà Esempi

= = ⋅ = + ⋅ = +

log (

8 3

) log 8 log 3

log 1 0 log 1 0 log ( m n ) log m log n

=

0

( ) ( (1)

a 1 2 2 2

a 7 a a a

=

0 )

7 1

= = = − = −

log (

8 : 3

) log 8 log 3

log a 1 log 5 1 log ( m : n ) log m log n

=

1

( ( (2)

a a 2 2 2

a 5 a a a

) =

1 )

5 5 = =

m 4

log b m log b log 7 4 log 7

(3) a a 2 2

= =

m 4

log a m log 2 4

a 2 =

log 5

=

log b 3 5

a b 3

a

Funzione logaritmica = ≠

>

y log x a 1

a 0

E’ una funzione del tipo: con e

a 3

La variabile indipendente, la x, è l’argomento del logaritmo. Le caratteristiche di una tale funzione

sono le seguenti: { }

= ∈ >

D x | x R , x 0

il dominio è l’insieme dei numeri reali maggiori di zero, vale a dire: .

 Pertanto, il grafico della funzione è contenuto solo nel I e IV quadrante;

il codominio è l’insieme di tutti numeri reali;

 il grafico della funzione interseca l’asse delle ascisse nel punto (1;0);

 l’asse delle ordinate è un asintoto verticale per la funzione.

 = a>1

y log x

se a>1 (ad es. se )

2

la funzione è crescente in senso stretto

= 0<a<1

y log x

se 0<a<1 (ad es. se )

1

2

la funzione è decrescente in senso stretto

Equazioni logaritmiche.

Sono equazioni in cui l’incognita compare come argomento di uno o più logaritmi. E’ necessario

ricordare che un’equazione logaritmica ha senso solo per i valori dell’incognita che rendono positivi

gli argomenti di tutti i logaritmi che vi figurano.

Ad esempio, se si considera l’equazione:

+ + =

log( x 3

) log x 1 4


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AUTORE

Moses

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia, statistica ed informatica per l'azienda
SSD:
A.A.: 2010-2011

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Moses di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi matematica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Milano Bicocca - Unimib o del prof Longo Michele.

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