Analisi matematica - Rienmann - Appunti

Come calcolare gli integrali

Teorema fondamentale del calcolo integrale

Ora vedremo come calcolare l’integrale tramite il teorema fondamentale del calcolo integrale. Sia f integrabile su [a, b] e F: [a, b] la funzione integrale

\[ F(x) = \int_a^x f(t) \, dt \]

senza ricorrere alla definizione. A tal fine, enunceremo e dimostreremo il teorema fondamentale del calcolo integrale che, sotto certe ipotesi, riconduce il problema del calcolo di un integrale alla ricerca delle primitive di f. Infatti, una conseguenza del teorema è che:

• 1. Se f è continua su [a, b], allora F è continua su [a, b];
• 2. Se f è continua su [a, b], F è derivabile su [a, b] e si ha \( F'(x) = f(x) \) per ogni \( x \in [a, b] \).

Inoltre, l'integrale definito:

\[ \int_a^b f(x) \, dx = G(b) - G(a) \]

dove G è una primitiva di f.

Funzione integrale

Osservazione 1: Se f è continua su [a, b] (e quindi integrabile!), allora la funzione integrale

\[ F(x) := \int_c^x f(t) \, dt \]

è una primitiva di f.

Pertanto, se f è integrabile su [a, b] e \( c \in [a, b] \), chiamiamo funzione integrale di f relativa al punto c la funzione così definita:

\[ F(x) := \int_c^x f(t) \, dt + k \]

dove \( k \) è una costante reale arbitraria.

Integrale definito

Osservazione 2: L'integrale di f su [a, b], ovvero

\[ \int_a^b f(x) \, dx \]

viene anche detto integrale definito, per distinguerlo dall’integrale indefinito.

Osservazione 3: Ribadiamo che l'integrale definito è un numero reale, mentre l'integrale indefinito è un insieme di funzioni. La variabile indipendente della funzione integrale è l'estremo superiore di integrazione e non la variabile di integrazione.

Dimostrazione del teorema fondamentale

La sola integrabilità della funzione integranda f non garantisce la derivabilità della funzione integrale F e dunque il fatto che quest'ultima possa essere una primitiva di f. Per esempio, la funzione

• \( f(x) = 3 \) se \( x \in [0, 1) \)
• \( f(x) = -1 \) se \( x \in [1, 2] \)

è integrabile in [0, 2] perché è limitata e con un numero finito di discontinuità, ma la funzione integrale relativa a \( c = 0 \), cioè

\[ F(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 3x, & \text{se } x \in [0, 1) \\ - x + 4, & \text{se } x \in [1, 2] \end{array} \right. \]

fissato \( \epsilon > 0 \), si ha che \[ |F(x) - F(x_0)| \leq \left| \int_{x_0}^x f(t) \, dt \right| \leq M |x - x_0| \], \(\forall x_0, x \in [a, b]\).