Analisi matematica - Rienmann - Appunti

Come calcolare gli integrali Teorema fondamentale del calcolo integrale

Ora vedremo come calcolare l’integrale Teorema (fondamentale del calcolo integrale)

b → R

Sia f integrabile su [a, b] e F : [a, b] la funzione integrale

f (x) dx

a x f (t) dt,

F (x) :=

senza ricorrere alla definizione. A tal fine, enunceremo e c

dimostreremo il teorema fondamentale del calcolo integrale che,

b ∈

con c [a, b]. Allora:

f (x) dx

sotto certe ipotesi, riconduce il problema del calcolo di a

alla ricerca delle primitive di f . Infatti, una coseguenza del teorema 1. F è continua su [a, b];

è che, se f è continua,

2. Se f è continua su [a, b], F è derivabile su [a, b] e si ha

b − ,

f (x) dx = G (b) G (a) , ∀x ∈ .

(x) = f (x) [a, b]

F

a

dove G è una primitiva di f

Funzione integrale Osservazione

1. Se f è continua su [a, b] (e quindi integrabile!), allora la

Definizione x f (t) dt è una primitiva di f .

funzione integrale F (x) :=

∈ ∈ c

Sia f integrabile su [a, b] e c [a, b]. Se x [a, b], chiamiamo Perciò,

funzione integrale di f relativa al punto c la funzione x

→ R f (t) dt + k,

f (x) dx =

F : [a, b] cosı̀ definita: c

x ∈

con c [a, b] e k costante reale arbitraria.

∈ .

f (t) dt, x [a, b]

F (x) := c b f (x) dx, viene anche detto

2. L’integrale di f su [a, b], ovvero a

integrale definito per distinguerlo dall’integrale indefinito

Osservazione 3. Ribadiamo che l’integrale definito è un numero reale, mentre

La variabile indipendente della funzione integrale è l’estremo l’integrale indefinito è un insieme di funzioni!!!

superiore di integrazione e non la variabile di integrazione Osservazione

Dimostrazione (del teorema fondamentale) La sola integrabilità della funzione integranda f non garantisce la

1. Per ipotesi f è limitata in [a, b], cioè derivabilità della funzione integrale F e dunque il fatto che

quest’ultima possa essere una primitiva di f . Per esempio, la

|f < ≤ ≤

(x)| M, a x b

funzione ∈

3 se x [0, 1)

f (x) =

e quindi −1 ∈

se x [1, 2]

x x

0

−

|F − è integrabile in [0, 2] perché è limitata e con un numero finito di

)| = f (t) dt f (t) dt

(x) F (x

0 c

c

discontinuità, ma la funzione integrale relativa a c = 0, cioè

x

0

| .

≤ |x −

= f (t) dt M x 0 ∈

x 3x se x [0, 1)

x ,

f (t) dt =

F (x) = −x ∈

+ 4 se x [1, 2]

0

ε >

Perciò, fissato 0, si ha