Analisi matematica - Rienmann - Appunti

Come calcolare gli integrali

Teorema fondamentale del calcolo integrale

Ora vedremo come calcolare l'integrale Teorema (fondamentale del calcolo integrale) b → R

Sia f integrabile su [a, b] e F : [a, b] la funzione integrale

f (x) dx a x f (t) dt,

F (x) :=senza ricorrere alla definizione. A tal fine, enunceremo e cdimostreremo il teorema fondamentale del calcolo integrale che, b ∈con c [a, b]. Allora:

f (x) dxsotto certe ipotesi, riconduce il problema del calcolo di aalla ricerca delle primitive di f . Infatti, una coseguenza del teorema 1. F è continua su [a, b];è che, se f è continua, 2. Se f è continua su [a, b], F è derivabile su [a, b] e si hab − ,f (x) dx = G (b) G (a) , ∀x ∈ .(x) = f (x) [a, b]Fadove G è una primitiva di f

Funzione integrale Osservazione1. Se f è continua su [a, b] (e quindi integrabile!), allora laDefinizione x f (t) dt è una primitiva di f .funzione integrale F (x) :=∈ ∈ cSia f integrabile su [a, b] e

c [a, b]. Se x [a, b], chiamiamo Perciò, funzione integrale di f relativa al punto c la funzione x→ R f (t) dt + k,f (x) dx =F : [a, b] cosı̀ definita: c x ∈con c [a, b] e k costante reale arbitraria.∈ .f (t) dt, x [a, b]F (x) := c b f (x) dx, viene anche detto2. L’integrale di f su [a, b], ovvero aintegrale definito per distinguerlo dall’integrale indefinito

Osservazione 3. Ribadiamo che l’integrale definito è un numero reale, mentreLa variabile indipendente della funzione integrale è l’estremo l’integrale indefinito è un insieme di funzioni!!!superiore di integrazione e non la variabile di integrazione Osservazione

Dimostrazione (del teorema fondamentale) La sola integrabilità della funzione integranda f non garantisce la1. Per ipotesi f è limitata in [a, b], cioè derivabilità della funzione integrale F e dunque il fatto chequest’ultima possa essere una primitiva di f . Per esempio, la|f < ≤ ≤(x)| M,

a x b funzione ∈3 se x [0, 1)f (x) =e quindi −1 ∈se x [1, 2] x x0 −|F − è integrabile in [0, 2] perché è limitata e con un numero finito di)| = f (t) dt f (t) dt(x) F (x 0 cc discontinuità, ma la funzione integrale relativa a c = 0, cioè x0 | .≤ |x − = f (t) dt M x 0 ∈x 3x se x [0, 1)x ,f (t) dt =F (x) = −x ∈+ 4 se x [1, 2]0ε >Perciò, fissato 0, si ha ha un punto angoloso in x = 1 e dunque non è una primitiva di f< ε|F − )|(x) F (x 0 (si noti che F è continua). Il fatto che F non sia una primitiva di fnon ci sorprende perché già sappiamo che le funzioni con| < ε/M|x − e dunque la continuità di F .non appena x 0 discontinuità di prima specie (cioè con il salto) non ammettonoprimitiveCalcolo degli integrali definiti2. Dal teorema della media segue x +h x Corollario (del teorema fondamentale)0 0− −F (x + h) F (x ) = f (t) dt f (t) dt0 0 →

Sia f continua su [a, b] e G : [a, b] una primitiva di f, allora: ∫ab f(t) dt = G(b) - G(a) Inoltre, se h > 0 e x + h < b, allora: ∫xx+h f(t) dt = h * f(x) Se invece h > 0 e x + h > b, allora: ∫xb f(t) dt = G(b) - G(x) Infine, la continuità di f insieme al fatto che G(x) - G(x) → 0 per h → 0 implicano: limh→0 (1/h) * ∫xx+h f(t) dt = f(x) cioè: f(x) = limh→0 (1/h) * ∫xx+h f(t) dt dove G è una primitiva di f su [a, b]. Formule di integrazione definita: Dimostrazione (del corollario): Se G è una primitiva di f allora esiste k̄ tale che: G(x) = ∫ax f(t) dt + k̄, a ≤ x ≤ b. 1. Nel caso della formula di integrazione per scomposizione abbiamo: ∫ab β(g(αf(x) + β(x))) dx = ∫ab f(x) dx + ∫ab g(x) dx

(x) dxG (a) = f (t) dt + k̄ = k̄. a a aa

2. Nel caso della formula di integrazione per parti abbiamo:

Perciò, x , ≤ ≤f (t) dt + G (a) a x b.

G (x) = b bba a −f (x) g (x) dx = [f (x) g (x)] f (x) g (x) dx,a a

Infine, ponendo x = b otteniamo se f e g sono continue insieme alle loro derivate primeb − .f (t) dt = G (b) G (a)

3. Nel caso della formula di integrazione per sostituzione, vale ila seguente teorema Teorema (del cambiamento di variabile)β] →Osservazione Sia f continua in [a, b] e g : [α, [a, b] suriettiva e dotata diβ].

Dunque, se f è continua su [a, b] (e quindi integrabile!), il calcolo derivata continua in [α, Se g (α) = a e g (β) = b allora bdell’integrale f (x) dx è ricondotto alla ricerca di una primitiva a b βdi f in [a, b] f (x) dx = f (g (t)) g (t) dt (1)a α