Appunti di analisi matematica: dai limiti notevoli agli integrali

Limiti Notevoli e Dimostrazioni

Alcuni limiti e dimostrazioni:

^lim_x→0 ^{sen x}/_x

e lo dimostro con la disuguaglianza insesile:

^{sen x}/_x ≤ 1, x ∈ ℝ

Dimostrazione della disuguaglianza

rettapunto

Tra i cammini che puoi compiere il punto, il più corto è il segmentoperpendicolare

il camminoperpendicolaredel punto sullaretta s.e. più corto

^puntoθ

Torniamo a ^{sen x}/_x e consideriamo un cerchio goniometrico

1^o quadrante

la lunghezza del cammino curvola lunghezza del segmentoperpendicolare = sen x

Per il principio, sen x < x.

Nel 1^o quadrante, i membri sono positivi, non cambianiente se c’è il valore assoluto, quindi:

^{sen x}/_x ≤ 1, se 0 < x < ^π/₂

2^o quadrante

Anche qui non cambia con il valore assoluto.Il valore assoluto garantisce che è vera in tutti i casi.

Azione di consapevolezza notevole

|x | ≤ tg x   ∀x che   -_π/2 < x < π/2

Dimostrazione:

tg xArc Angolobase = 1

Ko inserisco nel cerchio e otteniamo nel triangolo:Carica della grande -minore dell'area deltriangolo

x - π²   (x ≤ πse   - π² < x < π²)

Torniamo allim _{x → 0} ^{sen x}-------- ^x e usiamo il teorema dei cappuccini e troviamo ledis–equazioni:

|sin x| ≤ |x|^{|sen x|} ≤1

nel I quadrantesen x>0   x>>0   quindi|tolgo il valore assoluto|     sen x-------

Non so l'altroche ottengo conl'altra disuguaglianza.

Questo elemento lo chiamiamo a_n in quanto appartiene a X₁.

a_n0 > L - ε n₀ indice che esiste

Consideriamo positivo:

• a_n ≤ b_n
• L - ε ≤ a_n0 ≤ a_{n0 + 1} ≤ a_{n0 + 2} ...

precedente

deteniamo

crescente

la successione

Tutti term la parte da indyca a_n modo > L/ε

Mettendo tutto insieme...

Prendiamo ε>0. Consideriamo d = ε.

∀ ...

tutta la successione

vanno a posto perché

non superano mai d.

Vero.

L - ε ˂ a_n ≤ L ˂ L + ε

Interpretazione Geometrica

n₀ è in questa fascia che non

può essere superata.

insieme dell' andere y

X

questo è il caso crescente

può essere anche {\s} decrescente

L = sup X limite

Limite fondamentale

lim (1 + 1/n)ⁿ = e = 2,71

Limiti notevoli

• lim (1 + x/n)ⁿ = e^x
• lim (1 + x)^1/x = e^x

Logaritmi esponenziali in base e

• log_b(x) = ln(x)/ln(b) e logaritmo è sempre in base _a
• exp = x^ex e exp(x)

Limiti notevoli

• lim [ln(1 + x)]/x = lim [1/(x)] ln(1 + x) = lim ln((1 + x)ⁿ) = lim [ln(1 + x)ⁿ] = lge = e

Relazioni tra disuguaglianze e limiti

10/03/20

Proposizione

Se f(x) ≤ g(x), ∀ x del esistono i limiti di f(x) e g(x) per x → x₀, allora

lim_{x → x0} f(x) ≤ lim_{x → x0} g(x)

Prendendo l'esempio delle volte scorse:

f(x) ≤4

lim(-3 ≤ f(x))ⁿ

Nota: Il teorema riguarda disuguaglianze "deboli" (≤, ≥), non "strette" ().

INFINITI + LENTI

> n

> \sqrt{n} + lento

> \sqrt{log(log(log n))} + lento

> 1

> lento

> logaritmi = alcuni sono non meno che gli infiniti

INFINITI INTERMEDI

Tra gli infiniti polinomiali e agli esponenziali abbiamo:

• 2ⁿ
• n ⁿ²
• 2ⁿ³

Tra i logaritmi e gli infiniti abbiamo le costanti come:

• \sqrt{3}

SINDACI DI BACHMAN-LANDAU

Per uno a capire chi viene prima e chi dopo nella gerarchia:

• O grande (è la lettera o)

1. Date 2 funzioni f(n) e g(n) scriviamo f(n)::O(g(n)) quando f(n) = g(n) K con K costante (o moltiplica K costante).f(n): = af(n):  (funzione limitata)
2. lim f(n) = numero finito  2^nv  ⇔  lim n²  (f) finito
3. Operando nella gerarchia vuol dire che f è a sinistra di g, cioè f è il più piccolo di g e quindi sono circa uguale.

Eg.: f = nⁿ (+ costante)

• (a) g: o(n)  (+ O grande)

n³ = 1 O 1n²: 4, qualcosa, n° grande n° piccolo

Gli processi non banali siano una successione di intervalli..

1. con le proprietà seguenti:

   • f(n) <₀
   • g(n) >⁰

2. L'intervallo I_n+1 è una metà di I_n.

3. La lunghezza degli intervalli è divisa ad ogni passo:

   • I₀ lunghezza b-a
   • I₁ lunghezza ^b-a/₂
   • I₂ lunghezza ^b-a/₄
   • I_n lunghezza ^b-a/_2ⁿ

4. La lunghezza tende a 0.

5. An si ottanti _Vn: b_n≥a_n

   • La successione a_n è debolmente crescente.

   • La successione b_n è debolmente decrescente.

Prendiamo ^a_n/_n o secondo metà dei segmenti:

a_n verso destro (crescente) b_n verso sinistra (decrescente).

Sappiamo che le successioni importanti hanno sempre limite, quindi

lim_n→∞ a_n=a, lim_n→∞ b_n=b.

Dato a ≤ a_n ≤ b_n ≤ b, possiamo passare al limite delle disuguaglianze.

In particolare, a e b sono finiti.

Esempio

f(x)=¹⁄_x

Dom(f) = R \ {0}

Come intervallo prendo c’è e faccio: 12 e posto di + -metto 0, non sono sul nel domini R \ {0}

Teorema dei valori intermedi

Sia I un intervallo I = ]a, b[ e f una funzione continua dell’ora anche f un intervallo (e funzioni continue prendono intervalli in intervalli).

Dim: Dato che f(I) è un intervallo usa il criterio delle funzioniPresi due punti qualsiasi di f(I), ogni punto intermedio, c’è anche esso in f(I).

1. Prendiamo i punti di f(I) => siano y₁ e y₂ ∈ f(I)
2. Prendiamo il punto intermedio => ∃ y ∈ punto intermedio

3. Esempio: y₁ = _y^f(I) y₂

f(I) f(I)

f(I) ?

4. Supponiamo che x₁ < x₂

□

m x m x

▓

1. Definiamo g(x)=f(x)-ಯ che trasforma grafica verso il basso.Il dominio di f è ancora tutto e che contiene [x₁,x₂] (perché I è un intervallo).

1. y(y₁, f(x₁ yil x₂) - y > y - y > 0 y(y₂, f(x₂) - y₂ > y - 0)

7.

Quando gli x₁, x₂ è continuo, g(x₁) < 0 ≤ g(x₂) oPer il teorema dell’esistenza degli zeri [∃x∈[x₁,x₂] tale che g(x)=0]

□

(g(x))

f(x)

(f(x))