Limiti Notevoli e dimostrazioni
Alcuni limiti e dimostrazioni
limx→0 sen(x)/x lo dimostro con 1 disuguaglianza notevole
|sen x| ≤ |x| ∀x∈R
Dimostrazione della disuguaglianza
rettapunto
Fra i cammini che può compiere il punto, il più corto è il segmento di perpendicolare.
punto∠90°retta
il cammino perpendicolare del punto sulla retta è il più corto
Torniamo a |sen x| ≤ |x| e Consideriamo un cerchio goniometrico
1° quadrante
x = lunghezza del cammino curvola lunghezza del segmento di perpendicolare è sen x
Per il principio, sen x ≤ x.Nel 1° quadrante, i membri sono positivi: non cambia niente se c'è il valore assoluto, quindi
|sen x| ≤ |x| se 0 < x < π/2
2° quadrante
x
Anche qui non cambia con il valore assoluto.Il valore assoluto garantisce che è vera in tutti i casi.
Limiti Notevoli e Dimostrazioni
Alcuni limiti e dimostrazioni
x → 0 lim sen x/x
Lo dimostro con un disegnino notevole
|sen x| ≤ |x| x ∈ R
Dimostrare la disuguaglianza
x
retta
punto
punto
Tra i cammini che può compiere il punto, il più corto è il segmento di perpendicolare.
punto
90°
retta
il cammino perpendicolare del punto sulla retta, è il più corto
Torniamo a |sen x| ≤ |x| e consideriamo un cerchio goniometrico
1° quadrante
x = lunghezza del cammino curvo
la lunghezza del segmento di perpendicolare è = senx
Per il principio sen x ≤ x.
Nel 1° quadrante, i numeri sono positivi. Non cambia niente se c’è il valore assoluto, quindi
|sen x| ≤ |x| se 0 < x < π/2
2° quadrante
Anche qui non cambia con il valore assoluto.
Il valore assoluto garantisce che è vero in tutti i casi.
Dimostrazione:
Ac semicerchio = b · h/2
La somma di cerchio e semicerchio nel triangolo:
l'area della semiterra è minore dell'area del triangolo
x − k tg x x − z → x ≤ tg x sono
positivi quindi |x| ≤ tg x
Se π2 ≤ x n x 1/
sen x | ≤ x | -1
E la teorema
dei carabinieri e analogamente x
2 − x − 1 = x 1 /|
x ≥ 0 x|
nel I quadrante x ≥ 0, quindi:
sen x valor assoluto
Ho capitreno, ma serve q'altra,
che ottenga con l'altra disuguaglianza.
|x| ≤ tg x
|x| ≤ sen x/cos x
|x| ≤ sen x/|cos x|
|cos x| ≤ sen x/|x|
|cos x| ≤ sen x/x
cos x ≤ sen x/x
cos x ≤ sen x/x nel primo quadrante
x > 0° quindi
se cos x per x → 0+ è
uguale a cos 0 = 1
e per x → 0+ = 1,
anche sen x ≃ x
limx→0+ sen x/x = 1 dimostrato ✓
Funziona solo se misuriamo gli angoli in RADIANTI.
Non sempre esistono i limiti
Esempi
limx→0+ sin(1/x) non esiste perché esistono quello che 5x e 2x ma separatamente sono chiusi.
(funz. oscillanti) = funzione
Successioni
Condizioni: Che garantiscano che la funzione non oscilli:
- Una successione an si dice:
- Debolmente crescente se an ≤ an+1 ∀n
- Strettamente crescente se an < an+1 ∀n
- Debolmente decrescente se an ≥ an+1 ∀n
- Strettamente decrescente se an > an+1 ∀n
Nota: Le successioni oscillanti non sono monotone.
SCHEMA
debol. cresc.oscillantidebol. decresc.
debol. crec. e debol decresc. si intersecano: costanti
una debol. crec può essere non decresc.ce n'é veramente solo se la successione é costante
an denota il limite etc
DEB DECR
DIMOSTRAZIONE
Supponiamo che an sia debolmente crescente.Consideriamo l'insieme di valori della successione {a0, a1, a2, ...} = X{x ∈ ℝ | ∃ n ∈ ℕ: an = x} insieme dei valori.
Per il principio di completezza di ℝ, esiste l'estremo superiore (sup) di X.an è elemento di X → sup X finito → sup X +∅
SUP X FINITO
Chiamiamo L = sup X.L è il più piccolo maggiorante di X (per defi
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