Analisi matematica 2 - Appunti

EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE NON LINEARI DEL PRIMO ORDINE.

Anzitutto va specificato che non è sempre possibile risolvere analiticamente le equazioni non lineari in

generale, anche quelle del primo ordine. Generalmente, infatti, esse vengono risolte per lo più mediante

metodi numerici. Nonostante ciò, esistono due tipi di equazioni non lineari del primo ordine risolvibili

analiticamente. Un aspetto interessante da sottolineare è che nelle equazioni non lineari non è necessario

che il dominio delle funzioni in gioco sia identico. Vediamo a questo punto quali sono equazioni risolvibili

analiticamente:

a. Equazione a variabili separabili; queste equazioni si trovano scritte in forma normale come:

′ ()

= () ⋅ ()

il secondo membro si presenta dunque come un prodotto di funzioni o, analogamente, come una

funzione a due variabili definita nel seguente modo:

(, ) = () ⋅ () (), () ∀ ∈ ℝ

con continue

() (())

è importante sottolineare che vuol dire ; infatti, non dobbiamo dimenticare che la y è

comunque una variabile dipendente dalla x.

Per risolvere queste equazioni, procediamo nel seguente modo:

50) (()) ≠ 0,

Dalla risoluzione che abbiamo dato risulta chiaro che per ipotesi dobbiamo porre dato

che è posto al denominatore del primo membro.

Vediamo un esempio:

51)

b. Equazione di Bernoulli; generalmente tale equazione si presenta in forma normale in una di queste

tre scritture:

52)

21 Alla luce di ciò che abbiamo scritto, risulta chiaro come l'equazione Bernoulliana sia caratterizzata

dal termine . Vediamo a questo punto come risolvere un'equazione di questo tipo. Innanzitutto,

distinguiamo due casi:

• > 0; in questo caso il nostro obiettivo sarà trasformare l'equazione da non lineare a lineare

mediante un cambiamento di variabile:

53)

• < 0; ()

la risoluzione in questo caso è molto simile, con l'unica differenza che la variabile

si pone uguale ad una quantità diversa:

1+ ′ 1+−1 ′ ′

(1 (1

= , = + ) ⋅ = + ) ⋅

Vediamo un esempio:

54)

22 INTEGRALI CURVILINEI E FORME DIFFERENZIALI NEL PIANO

Curve. [ ]

, ∈ ℝ.

Consideriamo una particella puntiforme che si muove su un piano, nell’intervallo di tempo 0 1

[ ]

∈ , ())

((),

Fissato un sistema di riferimento, per ogni indichiamo con Le coordinate della

0 1 2

[ ]

: , → ℝ

particella all'istante t. Esisterà una funzione che ad ogni t nell’intervallo dato assocerà il

0 1

()).

((),

punto Questa funzione è detta curva oraria del moto considerato:

55) ())

((),

Come è evidente dalla figura 55), il punto di coordinate può essere indicato sia rispetto al piano

().

xy sia rispetto alla curva oraria stessa. Nel primo caso verrà chiamato P, nel secondo Si tratta infatti del

medesimo analizzato da punti di vista differenti:

() ≡ ≡ ())

((),

[ ]

, () e ()

Supponiamo ora che la nostra funzione sia continua in e che le funzioni siano derivabili.

0 1

():

Possiamo definire la derivata prima della funzione

′ ′ ′

() (), ())

= =

(

′ ′ 2 2

|

() ()|

= + (′())

√(′())

Il vettore come sappiamo è detto vettore velocità. Il suo modulo sarà

′ ()

ed è la velocità scalare all'istante t. Se è ancora continua e derivabile, posso derivare nuovamente e

ottenere il vettore accelerazione: ′′ ′′ ′′

() (), ())

=

( ′ ′

()

′():

Vediamo nella seguente figura sono orientati i due vettori e

56) ′ ()

()

Il vettore velocità sarà dunque tangente alla curva oraria nel punto ,mentre il vettore

′′ ()

accelerazione sarà ortogonale al vettore velocità.

()

Ovviamente, istante per istante, il punto sarà rappresentato dalle seguenti equazioni parametriche:

= ()

(): {

23 = ()

Tali equazioni parametriche rappresentano il bordo di una figura cartesiana. Eliminando il parametro è

possibile risalire al sostegno della curva, ossia l’equazione cartesiana della traiettoria (che identifica una ben

precisa figura nel piano). A questo punto è fondamentale chiarire la differenza tra curva e sostegno della

2

: → ℝ

curva. La curva è un’applicazione del tipo (nel nostro esempio tale applicazione è la funzione

2

[ ]

: , → ℝ (),

), mentre il sostegno della curva è il codominio di tale applicazione, ossia l’insieme il

0 1 2 2

ℝ ℝ

quale è un sottoinsieme di . Il sostegno della curva si ottiene spostandosi nel codominio , eliminando il

parametro della forma parametrica e verificando l'equazione cartesiana ottenuta. Tutta la traiettoria

.

(parametrica) è generalmente denominata

Come esempio si veda il libro a pagina 156 (esempio 1).

Classificazione curve.

2

: → ℝ ⊆ ℝ e

Una curva , con chiuso e limitato, si dice semplice se comunque presi due punti distinti 1 2

) ).

, ( ≠ (

di di cui uno almeno interno all’intervallo, risulta 1 2

[,

], () = ().

Una curva definita in un intervallo chiuso e limitato si dice chiusa se

2

: → ℝ ⊆ ℝ

Una curva , con chiuso e limitato, si dice regolare se:

• 1 (),

() ∈ () ().

ossia deve essere continua sia sia la sua derivata prima

• ′ ′ ′

() (), ()) (,

= ≠ 0 ∀ ∈ ).

( Questa condizione vale come notiamo solo nei punti

interni in quanto, come già sappiamo da analisi uno, negli estremi del dominio la funzione

può comportarsi in modo diverso. Analogamente, questa seconda condizione si può scrivere

′ ():

considerando il modulo di

′ ′ 2 ′ 2

2 2

| ()| ( ( (,

√(′())

= + (′()) ≠ 0 → ()) + ()) > 0 ∀ ∈ )

Questa condizione distrattamente maggiore scaturisce da ovvie considerazioni matematiche

cerca la positività della quantità sotto radice.

(,

e ∈ ) ()

A questo punto consideriamo due valori distinti e disegniamo la curva contenente i

0 1

) ), )) ) ), ))

( ≡ ( e ( ≡ (

(( ((

punti . A questi due punti sul piano corrisponderanno

0 0 0 1 1 1

e

rispettivamente i punti Disegniamo la secante passante per questi due punti:

0 1

57) → − → 0,

Passando ai limiti con e dunque i secondi termini di and membri risulteranno essere

1 0 1 0

derivate, essendo limiti di rapporti incrementali:

′ ′

)) ( ) )) ( )

− ( − − ( = 0

( (

0 0 0 0 ).

(

Se la curva è regolare, questa equazione rappresenta l'equazione della retta tangente al punto Tale

0

)(che

′(

retta tangente è parallela al vettore poi è anche il vettore velocità) tangente alla curva nel punto

0

′ ′

) ( ), ( )) )

( ′(

(

e di coordinate . Tale vettore avrà un versore tangente definito come:

0 0 0 0

24 58)

Tale versore darà dunque direzione e verso del vettore velocità. Oltre a definire un versore tangente alla

,

curva regolare è possibile definire anche un versore normale alla stessa curva (sempre, naturalmente,

regolare), definito nel seguente modo: ′ ′

( ) ( )

−

0 0

)

( = ;

ቆ ቇ

0 2 2 2 2

)) )) )) ))

+ (′( + (′(

√(′( √(′(

0 0 0 0

La seguente figura mostra l’orientamento dei due versori:

59)

Molto spesso, la posizione del nostro punto sulla curva non sarà espressa con le coordinate cartesiane x e y,

ma attraverso le coordinate polari (quindi in funzione dell’angolo):

60)

Lunghezza di una curva. 2 1 [,

: [, ] → ℝ n [, ]∀ ∈ ].

Consideriamo una curva di classe Definiamo la lunghezza della curva

come:

61) 1

È interessante sottolineare che è possibile dividere la curva (che è, lo ricordiamo, di classe regolare) in

[, [,

] e ]:

due curve definite in due intervalli diversi

62)

Ovviamente, come abbiamo suddiviso la curva in due intervalli, possiamo suddividerla in intervalli. Questa

[, ].

suddivisione è detta partizione dell’intervallo In generale, si dice che una curva è regolare a tratti

[, ]

se esiste una partizione finita di tale che per ogni i da 1 a N, la curva risulta una curva regolare. In

linguaggio matematico:

63)

25

Pertanto, se è una curva regolare a tratti la sua lunghezza vale:

64)

Oltre a questo, appare chiaro che è possibile congiungere ogni tratto della curva con il successivo attraverso

un segmento. Ciò che ottengo non sarà altro che una poligonale iscritta nella curva.

La lunghezza di tale poligonale è data da:

65)

Grazie all’introduzione della poligonale inscritta nella curva possiamo introdurre il teorema di rettificabilità

delle curve di classe : 2 1 [, [,

: [, ] → ℝ n ] ∀ ∈ ].

Sia una curva di classe Allora:

() ≤ ()

i. Τ ) )

∀ > ∃ inscritta nella curva ( > () − → ( + > ()

ii.

I due punti di tale teorema affermano che, è vero che è la lunghezza della poligonale è sempre min