Analisi matematica 2 - Appunti

Analisi matematica 2

1 Il prodotto cartesiano di due insiemi A e B è per definizione un insieme i cui elementi sono della forma (a, b) dove a appartiene ad A e b appartiene a B. In altri termini, il prodotto cartesiano di due insiemi è l'insieme di tutte le possibili coppie ordinate di elementi dei due insiemi.

Introduzione

Fino ad ora abbiamo visto funzioni a 1 variabile di questo tipo:

f: ℝ → ℝ

x → y = f(x)

dominio codominio

Adesso si lavorerà con insiemi che si ottengono tramite prodotto cartesiano di sé stessi, del tipo:

{ℝ }ℝ = × ℝ ×. . .× ℝℝ

Dove n è un numero intero. È dunque il prodotto cartesiano di n insiemi ed è formato da:

{∀( )/ = () = , , . . ., ∈ ℝ, 1 ≤ i ≤ n}1 2

Questo insieme è detta n-upla, ed in questo caso è costituita da n numeri, tutti reali.

2ℝ

Passiamo al caso particolare, come ad esempio lo spazio, esso sarà caratterizzato nel seguente modo:

1)

Questa caratterizzazione è fondamentale, infatti questa scrittura vorrà dire che x appartiene al primo insieme e y appartiene al secondo insieme (Se pure in questo caso si tratta dello stesso insieme), essendo (x, y) una coppia ordinata per effetto del prodotto cartesiano.

Lo stesso discorso vale per:

2)

3 2 3ℝ ℝ ℝ

Così, un punto in, non sarà più un singolo numero, ma una terna di numeri. , così come , e così ℝ come , è uno spazio vettoriale.

Come ben sappiamo, uno spazio vettoriale, per essere tale deve essere costituita dalle due operazioni di somma e operazione esterna (moltiplicazione per uno scalare nella 2ℝ , il fattispecie) e deve rispettare determinate proprietà.

Consideriamo per semplicità quale può essere rappresentato graficamente mediante due assi cartesiani ortogonali:

3)

2ℝ

Come si evince bene dalla figura, il generico punto P in individua un vettore v il quale è l’ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha come due cateti le coordinate del punto stesso.

Il modulo di v sarà dunque per il teorema di Pitagora:

2 2√= + | |

2ℝ

Nell’insieme possiamo definire le seguenti due operazioni, che chiamiamo rispettivamente addizione e 2 moltiplicazione per gli scalari o più semplicemente moltiplicazione scalare. L’addizione viene definita in ×

N.B.! Nella nuova notazione si usa solo per il ∙ prodotto cartesiano, per il prodotto scalare (non tra ∧ vettori), per il prodotto vettoriale.

2ℝ

questo modo: se v = (x y ) e v = (x , y ) sono due elementi di , poniamo v +v = (x + x , y + y ). È chiaro 1 1, 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2ℝ che in questo modo la somma dei due vettori è ancora un vettore di .

La moltiplicazione per uno scalare reale ha questa forma: λ (x, y) = (λx, λy). (λx, λy) è ancora un vettore, il quale sarà più piccolo se λ è negativo e più grande se λ è positivo.

L’elemento neutro sarà ovviamente (0,0), mentre l’elemento opposto sarà 3 ℝ (-x, -y)( Che nell’esempio con si trova nel terzo quadrante.

Considerazione. In valgono le stesse 2 2ℝ ℝ considerazioni fatte in , ma c'è un aspetto da sottolineare; infatti, se in è possibile applicare la regola 3ℝ del parallelogramma per la somma, in ciò non si può fare e si dovrà sfruttare la traslazione dei vettori per parli l'uno dopo l'altro formando una poligonale.

Il vettore somma sarà quello congiungente il primo punto con l’ultimo dell’ultimo vettore:

Un’altra operazione possibile in uno spazio vettoriale è il prodotto scalare tra due vettori, rappresentato non con puntini, ma con una coppia ordinata di numeri, come nel seguente esempio, considerando v e v1 2 2ℝ appartenenti a:

4)

Altra proprietà notevole di sono le disuguaglianze, la prima che ci interessa è quella di Cauchy-Shwartz, la quale afferma che il valore assoluto del prodotto scalare di due vettori è sempre minore del prodotto scalare dei singoli moduli:

5)

La topologia è una scienza matematica studia le figure ed i. sistemi non deformabili

Proprietà topologiche di R² (e tutti gli spazi vettoriali)

Nell'ambito della topologia vi sono diversi concetti da introdurre, alcuni già trattati in analisi uno. Il primo è l’intorno circolare di un punto.

Per punto, lo ricordiamo, non si intende più un punto in sè ma s'intende una 2ℝ coppia di numeri (in ), per questo è scorretto parlare di intorno destro o sinistro.

La funzione a due variabili può tendere a valori infinitamente vicini ad un punto generico P = (x, y), e dunque nel suo intorno circolare. L’intorno circolare è definito come:

6) P (x,y)

In virtù di tale definizione, l’intorno circolare di un punto sarà costituito da tutti i punti interni al cerchio di raggio δ e non da quelli che si trovano sul bordo della circonferenza o esterni ad essa.

Definizioni sui punti di varia natura

3 Definizioni sui punti di varia natura .(proprietà topologiche)

Grazie alla definizione di intorno circolare di un punto possiamo definire alcune proprietà topologiche.

2 2 ⊆ ℝ ℝ

Andiamo a considerare un insieme , ovviamente più piccolo di . Un punto I si definisce interno all’insieme se per ogni punto (x , y ) contenuto in A diverso da (x’, y’), esiste almeno un intorno circolare di 0 0 (x,y) che lo contiene totalmente, oppure in notazione matematica:

7)

Se tale intorno non esiste, (x , y ) è esterno ad ed è detto punto isolato. 0 0

Definiamo ora il punto di frontiera. Un punto F (x y) appartenente ad è detto di frontiera se si trova sul,, , bordo di oppure, formalizzando, se nel suo intorno circolare sono contenuti sia punti di sia punti del 2 c, + A = ℝ complementare di detto ( ) (vedi di nuovo (7).

Un punto Z (x , y ) si definisce punto di accumulazione di A se esiste almeno un punto (x’’, y’’) diverso da Z A A che si trova nell’intorno di Z stesso. L’intorno di Z deve quindi contenere altri punti interni ad oltre che Z stesso. Il punto di accumulazione può essere sia interno che di frontiera.

Definizioni di insiemi

Esistono diversi tipi di insieme, quelli maggiormente rilevanti per noi sono:

• Aperto: quando considero solo i punti interni (no frontiera, no esterni)
• ∪ () Chiuso: quando è dato dall’insieme aperto tutti i punti di frontiera. Il dominio di una funzione è un insieme chiuso.
• 2⊆ ℝ Limitato: Un insieme L si dice limitato se esiste un intorno dell'origine di raggio M >0 che lo contiene:

8)

• Connesso: Un insieme A si dice connesso se esistono due insiemi A e A ambedue diversi 1 2 dall'insieme vuoto tali che la loro intersezione sia l'insieme vuoto, e la loro unione sia A:,

9)

Va da sé che i due insiemi, per essere valida la condizione di intersezione, devono essere aperti, poiché in questo modo non consideriamo le frontiere, che abbiamo già escluso.

In questo modo l’insieme A non ammetterà buchi e tutte le condizioni saranno rispettate.

Un insieme chiuso si dice connesso quando è costituito dall'unione di un aperto connesso e dei punti di frontiera di tale aperto.

Funzioni

In analisi uno abbiamo affrontato soltanto funzioni, come abbiamo già sottolineato, di questo tipo:

f: ℝ → ℝ

Di tali funzioni abbiamo imparato a fare lo studio. Tutto ciò è eseguibile anche con funzioni a più variabili, del tipo:

4 : ℝ → ℝ

→z(x , x …, x ) = f (x , x …, x )1 2, n 1 2, n

2ℝ

Al solito, le nostre osservazioni verranno eseguite su :

2: ℝ → ℝ

→z(x , x ) = f (x , x )1 2 1 2

2ℝ

Dunque ad ogni coppia ordinata di numeri in corrisponde un punto sull’asse z, ortogonale al piano x-y. Un esempio di funzione in è la norma di un vettore:

2 2+ √ è un numero, dunque ad una coppia ordinata di numeri sto 2 2 → + √(x,y) associando uno scalare che si trova ℝ in →z

Consideriamo (x , x ) = f (x , x ), f (x , x ) è ovviamente una funzione; poniamo che si tratti di una equazione 1 2 1 2 1 2 cartesiana di questo tipo:

2 2 + z =+ ∈ ℝ

se (E dunque z sarà maggiore di zero e ciò comporterà un terzo risultato sull’asse delle z ortogonale al piano), chiamiamo lo scalare z con la lettera c, per cui l’equazione di cui sopra diventa:

2 2 + c =

Tale equazione rappresenterà le cosiddette curve di livello, ossia tante circonferenze che si sviluppano lungo l’asse delle x. c nella fattispecie rappresenterà il raggio al quadrato delle nostre circonferenze.

2 2 + Altro caso particolare è quando z nell’equazione z = vale 0, in questo caso, si torna sul piano e si ottengono delle bisettrici:

= ±

2 2 − = 1)

Se invece z è negativo ciò che si ottiene sono delle iperboli con a = b = 1. ( è l’equazione 2 2 dell’iperbole).

Limiti

2 ⊆ ℝ

Per definire il limite di una funzione a due variabili definiamo l’insieme aperto, la funzione f (x, y) . definita in e un punto (x , y ) contenuto in Definiamo: 0 0

10)

5 Il limite non esiste solo quando è una forma indeterminata. Vuol dire che il dominio di f.(x,y) è

Funzioni a due variabili continua

2 ⊆ ℝ .

Definiamo aperto, la funzione f (x, y) definita in e un punto (x , y ) contenuto in f (x, y) è continua 0 0 se:

11)

In sostanza, come evidenziato nella seconda notazione, le funzioni devono essere molto vicine tra di loro, ecco perché la differenza f (x,y)-f(x ,y ) deve essere minima (minore di ε).

Anche in analisi due valgono i 0 0 teoremi che abbiamo già incontrato in analisi uno riguardo le funzioni continue, ossia la continuità della somma, la continuità del prodotto e la continuità del quoziente di due funzioni continue a due variabili reali.

Particolarmente interessante è il caso dei punti di frontiera, dato che in tali punti il limite può non esistere o tendere all’infinito, e dunque la funzione non è continua.

Teorema di Weierstrass

(esistenza massimi e minimi assoluti)

2 ⊆ ℝ

Definiamo chiuso e limitato ed una funzione continua f (x,y) definita in C. Essa ammetterà massimi e minimi assoluti se:

12)

Teorema di Cantor

2 ⊆ ℝ

Definiamo chiuso e limitato ed una funzione continua f (x, y) definita in C. Si dice che la funzione f(x,y) è uniformemente continua in C se :

13)

Ossia, essendo ε ed δ valori molto piccoli, quando la distanza tra le due funzioni è molto ridotta.

Teorema dell’esistenza dei valori intermedi

2 ⊆ ℝ

Definiamo chiuso, limitato e connesso (ossia senza buchi) ed una funzione continua f (x,y) definita in C. Tale funzione assumerà tutti i valori intermedi tra il punto di massimo e il punto di minimo.

Si noti che, a differenza dell'analisi uno, non è necessario che la funzione sia derivabile.

Derivate parziali

2 ⊆ ℝ

Per definire le derivate parziali consideriamo un insieme aperto (escludo quindi i punti di frontiera, essendo punti particolari), la funzione f (x,y) definita in ed il punto (x,y) appartenente.

Tale funzione è derivabile in (x,y) se esistono e sono finiti i due limiti dei due rapporti incrementali, che incrementano solo una delle variabili, dunque:

14)

6 Tali limiti prenderanno il nome di derivate parziali, più nello specifico:

• Prenderà il nome di derivata parziale rispetto ad x.
• Prenderà il nome di derivata parziale rispetto ad y.

e .

Se esistono tali derivate parziali , la funzione f (x,y) sarà derivabile in tutti i punti interni di.

Il concetto alla base è sempre uguale all’analisi uno, tali derivate parziali rappresenteranno cioè sempre la quota della retta tangente al grafico, solo che le rette tangenti saranno in questo caso due, e dunque individueranno un piano.

Deriviamo per esempio una funzione polinomio:

Ex.

15)

In questo esempio il dominio della funzione di partenza e il dominio delle due derivate parziali coincidono 2ℝ (D: ); Non è sempre così, prendiamo ad esempio:

16)

2 ⊆ ℝ

Andiamo a definire l'insieme chiuso, ossia il dominio e la funzione f (x, y) definita in e verifichiamo se tale funzione è derivabile nei punti di frontiera.

Ciò è particolarmente complesso in funzioni a due variabili in quanto il punto della curva non è raggiunto soltanto da rette tangenti, ma può essere raggiunto da diverse classi di figure piane tangenti alla curva stessa.

Usiamo il cosiddetto metodo del prolungamento per continuità.

Per applicare questo metodo, anzitutto dimostriamo che la funzione è derivabile (e dunque se esistono le derivate parziali) in ogni punto interno all’insieme e se tali derivate parziali sono anche continue.

Per fare ciò considero un punto (x , y ) interno a e verifico le seguenti condizioni: 0 0

17)

A questo punto vado a considerare un punto di frontiera. Se le derivate parziali esistono e sono finite in tale punto di frontiera, la funzione è derivabile in chiuso.

Derivate successive

Una volta introdotte e trovate le derivate parziali, è anche possibile trovare le cosiddette derivate successive.

2 ⊆ ℝ

Consideriamo un insieme aperto, la funzione f (x, y) derivabile in e le relative derivate parziali ed .

Dimostriamo che nel punto (x, y) esistono anche, oltre che le derivate parziali di primo ordine, anche ed le derivate di secondo ordine. Per fare ciò dovrò derivare le derivate parziali .

Facendo questo non otterrò solo due nuove derivate, ma ne otterrò quattro:

2 2 2 2 ; ;;7 2 2

Derivate miste Derivate doppie

All'aumentare dell’ordine della derivata, aumenterà parallelamente il numero di quantità ottenute, così le derivate doppie prenderanno il nome di derivate triple, quarte ecc…, mentre le miste rimangono con la stessa nomenclatura.

È utile sottolineare che solitamente le derivate miste sono solitamente diverse tra di loro.

Le derivate di qualsiasi ordine hanno tra loro un legame molto stretto; in particolar modo sono elementi di una matrice detta Matrice Hessiana. Nel caso di derivate di secondo ordine tale matrice sarà una matrice due per due:

18)

In particolare, come evidenziato, sulla diagonale principale ci saranno le derivate doppie, sulla diagonale secondaria ci saranno le derivate miste.

2 ⊆ ℝ

Considerando un insieme aperto, se si riesce a dimostrare che in punto (x , y ) interno a le derivate 0 0 miste sono continue, esse saranno uguali per il Teorema di Schwartz e dunque, solo in quel caso, la matrice Hessiana sarà simmetrica.

In generale, per le derivate successive di ordine n, si procede in questo modo:

19)

Gradiente di una funzione

2 ⊆ ℝ .

Consideriamo un insieme aperto e la funzione f (x, y) definita in Se esistono le derivate parziali (, ) ed (, ) (, ), in allora tali derivate parziali saranno le componenti scalari del vettore gradiente di f:

20)

Tale gradiente è un operatore che trasforma una funzione in un vettore che come tale dà una direzione ed un verso alle derivate parziali.

Differenziabilità di una funzione a due variabili

In analisi uno la differenziabilità coincide con la derivabilità, ciò non accade in analisi due. Geometricamente la differenziabilità in un punto è legata all'esistenza del piano tangente al grafico della funzione in quel punto.

2 ⊆ ℝ ,

Consideriamo un insieme aperto e la funzione f (x, y) definita in f (x, y) è differenziabile nel punto (x, y) se:

• Esistono le derivate parziali f ed f , ossia se f (x, y) è derivabile in (x, y). x y
• Vale il limite:

21)

In cui h e k sono gli incrementi di x e y. Il rapporto incrementale di cui stiamo eseguendo il limite altro non è che il polinomio di Taylor.

Il polinomio di Taylor è il secondo membro della formula di Taylor. Tale formula, partendo da una funzione complicata, trasforma quest’ultima in una somma infinita di polinomi calcolati in un punto preciso.

Tale somma è detta serie di Taylor:

22)

8 L'aspetto interessante di tale serie è che, come vediamo dalla sua espressione, non trasforma la funzione in polinomi qualsiasi, ma la trasforma in una somma infinita che contiene la funzione stessa e tutte le derivate 2 2 (√ℎ + ), parziali di tale funzione.

Ancor più interessante è il termine che raggruppa tutti gli infinitesimi di ordine superiore, ossia le derivate di ordine superiore a 2 (in questo caso); tali derivate, qu