Appunti di analisi 1

Punti di accumulazione

Se U è un intorno di p, allora posso considerare U ∩ {x ∈ R | x ∈ U, x ≠ p}. p si dice punto di accumulazione per A, se ogni intorno bucato di P contiene punti di A, cioè se U \ {p} ∩ A ≠ ø.

Esempio

A = ]-p, p+ε [, p+ε [con p ≠ 0. Per ogni α trovò un valore p±δ 1/ | 1/n.

Punti di accumulazione

A ⊆ ℝ e P ∈ ℝ. Se U è intorno di P, allora posso considerare U \ {P} = {x ∈ ℝ | x ∈ U, x ≠ P}. P si dice punto di accumulazione per A se ogni intorno bucato di P contiene punti di A, cioè se (U \ {P}) ∩ A ≠ ∅.

Esempio

A = ]-p, +p[, p ∈𝔼 con p → α. Per ogni ε trovo un valore –p ∘ xa quindi α è punto di accumulazione di A.

Insieme dei punti di accumulazione

E' l'insieme dei punti di accumulazione, cioè l'insieme che comprende tutti i punti di accumulazione di E. Quindi se E = ]0,1], allora E_a= [0,1].

Punto isolato

P ∈ A e P non è di accumulazione → esiste un intorno di P tale che U \ A = {P}.

Esempio

A = {1/n | n ∈ ℕ \ {0}}. Per qualsiasi p preso, esiste sempre almeno un suo intorno bucato tale che non contiene elementi di A. Quindi all'interno di A sono tutti punti isolati. Esiste però un punto di accumulazione: 0, cioè A = {0}. Infatti: esiste sempre un n ← 1/n → δ.

Teorema di permanenza del segno

Punto di accumulazione per dom f e dom g con , allora f(x) < g(x) in un intorno bucato di P, cioè esiste U intorno di P tale che f(x) < g(x) ∀ x ∈ U ∖ {P}. ∀ e ∀ si ha a < b (in quanto intersecano gli infiniti disegni), cioè f(x) < g(x). ∴ f(x) < g(x) in un intorno bucato di P.

Corollario

Il passaggio al limite conserva le disuguaglianze: se f(x) < g(x) ∀ x ∈ intorno bucato di P e f(x) → l₁, g(x) → l₂, allora l₁ ≤ l₂, cioè ≤. Dimostrazione: se fosse l₂ < l₁ si avrebbe g(x) < f(x) in un intorno bucato di P, assurdo per ipotesi.

Teorema dei due carabinieri (o del confronto)

f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) in un intorno bucato di P. Se f(x) e h(x) allora anche g(x).

Dimostrazione

Siano U intorno di P, V₀ intorno di P, tale che ∀ x ∈ U ∖ {P} si ha f(x) ∈ V₀ e V₁, intorno di un punto tale che ∀ x ∈ U ∖ {P} si ha h(x) ∈ V₁. Se x ∈ U ∖ {P} si ha f(x) ∈ V e h(x) ∈ V, cioè f(x), h(x) ∈ V. Essendo g(x) compreso tra f(x) e h(x) per ipotesi, la tesi è dimostrata.

Limite della funzione monotona

Presi a, b con a < x < b e tali che f : [a,b] → ℝ, si ha che: supponendo f(x) crescente: lim⁡ _x→b^- f(x) = sup(f(x)). Supponendo f(x) decrescente: lim⁡ _x→b^- f(x) = inf(f(x)).

Dimostrazione (caso crescente)

∀̅∃ c ∈ [a,b[, f quindi ∀ x con x̅ < x < b si ha f(x) ≤ f(x̅) ≤ c. Data che f(x) > c allora f(x) ∈ [s ; ξ[ ⊂ V.

Somma di limiti