Appunti di analisi 1

Punti di Accumulazione

A ⊂ ℝ P ∈ ℝ

• Se ∀ intorno di P almeno posso considerare ( U = {P\*} = {x ∈ ℝ | x ∈ U, x ≠ P} )

P si dice punto di accumulazione per A, se ogni intorno bucato di P contiene punti di A.

Cioè se ∀ U intorno di P, si ha (U={P\*}) ∩ A ≠ ∅

Esempio

A = ] -ε, 0[ ∪ ]ε,+ε[

con P ≠ 0

Per ogni α trovo un valore P+x x ∈ αquindi ε è punto di accumulazione di A

E ⊂ ℝ

È l’insieme dei punti di accumulazione ⟹ c'è l’intorno che contiene tutti i punti di accumulazione di E.

Quindi se E = [0,1[ allora E = [0,1]

Punto Isolato

P ∈ A P non è di accumulazione ⟹ c'è ∃ un intorno di P tale che U ∩ A = {P}

Esempio

A = {1/n | n ∈ N\*}

Per qualsiasi P preso esiste sempre almeno un intorno bucato tale che non contenga elementi di A.

Quindi all'interno di A sono tutti punti isolati.

Esiste però un punto di accumulazione: 0, cioè A = {0}.

Infatti, esiste sempre un n ≥ 1/1/n < δ

Teorema di Permanenza del Segno

I punti di accumulazione per domf sono:

• x→P⁻
• x→P⁺

Con l'≤l₂ allora f(x)≤g(x) in un intorno bucato di P

cioè ∃U intorno di P tale che f(x)≤g(x) ∀x∈U∩domg

∀ε∈V₁ e ∀η∈V₂ si ha ∝≤b (maggior intercetta di f

cioè f(x)≤g(x)

Corollario: Il Passaggio al Limite Conserva le Disuguaglianze Larghe

Se f(x)≤g(x) ∀x∈intorno bucato di P e f(x)→l g(x)→l

allora l≤l₂ cioè lim x→P f(x) ≤ lim x→P g(x)

• Dimostrazione: se fosse l₂