Analisi matematica I - Appunti

24 sett 2012

Assiomi dei numeri reali

Consideriamo un insieme X e introduciamo 2 operazioni:

“+” detta addizione

“.” detto prodotto

dati x, y ∈ X l'addizione associa un unico elemento x + y ∈ X

dati x, y ∈ X il prodotto associa un unico elemento x . y ∈ X

∀ x,y,z ∈ X

Relazione che valgono le proprietà seguenti:

1. x + y = y + x

proprietà commutativa

2. (x + y) + z = x + (y + z)

proprietà associativa

3. ∃! elemento neutro delle somme "0" (zero) ovvero x + 0 = x ∀ x ∈ X
4. ∀ x ∈ X ∃! elemento " - x " detto opposto tale che x + (-x) = 0

5. x . y = y . x

proprietà commutativa

6. (x . y) = z = x . (y . z)

proprietà associativa

7. ∃! elemento neutro del prodotto 1 tale che 1 . x = x ∀ x ∈ X

8) ∀x ∈ X ∃! elemento "x^-1" detto reciproco di x tale che

   x • x^-1 = 1

9) (x + y) • z = x • z + y • z

  proprietà distributiva

Introduciamo ora le relazioni d'ordine totale

    ≤ (≥)

Relazione d'ordine è una relazione binaria:

1. Riflessiva    x ≤ x ∀ x ∈ X
2. Antisimmetrica se x ≤ y e y ≤ x    x = y
3. Transitiva    x ≤ y e y ≤ z    x ≤ z

  Totale significa che ∀x, y ∈ X almeno

    x ≤ y oppure y ≤ x

(Se x ≤ y e x ≠ y    scriveremo x < y)

Richiediamo che è sia compatibile con le operazioni, nel senso che

10) x + z ≤ y + z se x ≤ y ∀ x, y, z ∈ X

11) Se z ≥ 0 e x ≤ y    x • z ≤ y • z

1)...11) Definiscono un "Campo ordinato"

L'insieme dei razionali Q con l'addizione e la moltiplicazione usuali è un campo ordinato

Numeri reali

Numeri razionali

Numeri interi

Numeri naturali

Proprietà di densità di ℝ (no dimostrazione)

Det: x e y ∈ ℝ x < y ∃z ∈ ℝ: x < z < y

(infatti esistono infiniti z sia razionali che irrazionali che verificano x < z < y)

f: X → Y

A ⊆ X

È detta restrizione di f ad A la funzione f_r: A → Y

che ad ogni x ∈ A associa l'elemento f_r(x) = f(x)

1. Se verifica che
2. g: A → Y
3. f: X → Y
4. A ⊂ X
5. ∀ x ∈ A f(x)=g(x)

Allora dico che f è un prolungamento di g

Una funzione che ha come dominio i naturali è chiamata successione

Chiamiamo successione numerica una successione che ha come codominio un sottoinsieme di R

2 > 1

_{loga x} = b

_{loga x} > l => x > a^l

_{loga x} < l => 0 < x < a^l

0 < a < 1

_{loga x} > l => 0 < x < a^l

_{loga x} < l => x > a^l

a ∈ ℝ

_{x² > l}

_{x² < l}

a > 0

_{x² > l} => x > l^1/2

_{x² < l} => 0 , x < l ^1/2

l < 0

_{x² > l} => ∀ x ∈ ℝ⁺

_{x² < l} => mai

Insieme di definizione ] 0 , +∞[

Codominio ]0, +∞[

E

1/2x+1 + 1/2x-1 > 0

(2x-1)/4x²-1 + 2x+1)/4x²-1

1. x > 0 U x ≠ ±1/2
2. x < 0 U x ≠ ±1

x > 1/2 U -1/2 < x < 0 U x ≠ 0

[1/2, 0] U ]1/2, +∞[

x⁷-5 > 0 x ≧ 5^1/7

x⁴-5 ≧ 0 x ≧ 5^1/4 U x ≦ -5^1/4

x³+3 > 0 x ≧ (3)-1/3

x⁶ +3 > 0 Vx ∈ R

x⁸ - 2x² ≧ 0 x² = y

y⁴ - 2y ≧ 0

y(y³-2) ≧ 0 {y>0}U{y 0

| 2|x|-|x+1| < 0 etc.

-|x| > 0

1-|x| < 0

3^x > 1/4 ⇒ x > log₃ 1/4

∀x ∈ ℝ (1/2)^x < 3 ⇒ x < log_1/2 3

3^x < 1/4

⇒ x < log₃ 1/4 (1/2)^x > 3 ∀x ∈ ℝ

3^x-1/4 mai (1/2)^x >-3

log_1/2 x -log_1/2 < 0 log_1/2(log_1/2 x-1) < 0

log_1/2 x > 0 log_1/2 x < 0 |0 < x < 1 log_1/2

log_1/2 x < 1 log_1/2 x > 1| mai 0 < x < 1 (log_1/2 x 1/2)

Sol 1/2 < x < 1

La tangente di x è definita come

_tg x = _sin x / _cos x

Ha l'insieme di definizione x ∈ ℝ, x ≠ π/2 + kπ ∀ k ∈ ℤ e ha codominio ℝ.

• 1. _tg x = -_tg (-x) è dispari (infatti _tg (-x) = -_sin (x) / _cos (-x) = -_tg x).
• 2. _tg x è periodica di periodo π (infatti _tg (x + π) = _sin (x + π) / _cos (x + π) usando 3:43 = _sin x _cos π + _cos x _sin π / _cos x _cos π - _sin x _sin π = -_sin x / _cos x = _tg x.

Alcuni dei valori noti che è opportuno ricordare sono:

_tg 0 = 0, _tg π/6 = √3/3, _tg π/4 = 1, _tg π/3 = √3 ecc.

8 ottobre 2012

Successioni Numeriche

Le successioni numeriche sono funzioni il cui dominio è l'insieme N

f : N → R

il cui codominio è un sottinsieme di R

Normalmente si preferisce denotare una successione nel seguente modo

{a_n} dove a₁, a₂, a₃, a_n, ... ∈ R    ∀n ∈ N

a_n = a_n a_n = 1    _n

Come si esprime una successione ?

• enumerando gli elementi
• indicando una funzione f(a)
• indicando una regola {a₁, a₂, ...} → f(a_n)
• {a_n = 1} successione dei numeri pari

oppure per ricorrenza a_n = a_n+1 + 2 successsione dei numeri pari a₁ = 2 tale successione si può anche scrivere a_n = 2n

Fibonacci (la più celebre successione definita per ricorrenza)

a_n+1 = A_n-1 + A_n a₀ = 1   a₁ = 1   a₂ = 2   a₃ = 3   a₄ = 5

a₁ = 1 a₀ = 1

E' possibile esprimere a_n = f_n = 1^√5(^(1+√5)₂)

Esempio

a_n = 1 + 2 + ... + n = Σ_k=1ⁿ K è la somma dei primi n numeri naturali

Dimostriamo che a_n = ^(n+1)₂

Usiamo il principio di induzione per dimostrare che un’affermazione P₀ è vera per poi concludere P_n-1 e dimostrare che se P_n è vero allora anche P_n+1 è vero

Se

lim_n→∞ a_n = l

→ lim_n→∞ |a_n| = |l|

|a_n - l| ≤ |a_n - l|

|a + b| ≤ |a| + |b|

|a·b| ≥ |a| · |b|

∀ε > 0 ∃γ : ∀n > γ |a_n - l| < ε

∀n > γ |a_n| - |l| < ε

Def.

Una successione {a_n}_n∈N si dice superiorment limitata se esiste M ∈ ℝ : a_n < M ∀n

Si dice inferi limitata se esiste M ∈ ℝ : a_n > M ∀n

Il massimo di due numeri si chiama anche "sottopassaggio"

Def.

{a_n}_n∈N è limitata se esiste M > 0 : ∀n |a_n| < M

Ovvero {a_n}_n∈N è limitata se lo è il suo sottopassaggio