Analisi matematica I - Appunti

Axiomi dei numeri reali

Consideriamo un insieme X e introduciamo 2 operazioni: "+" detta addizione e "⋅" detto prodotto. Detti x, y ∈ X, l'addizione associa un unico elemento x + y ∈ X. Detti x, y ∈ X, il prodotto associa un unico elemento x ⋅ y ∈ X. ∀ x, y, z ∈ X richiediamo che valgano le proprietà seguenti:

1. x + y = y + x proprietà commutativa
2. (x + y) + z = x + (y + z) proprietà associativa
3. ∃! elemento neutro della somma "0" (zero) ovvero x + 0 = x ∀ x ∈ X
4. ∀ x ∈ X ∃! elemento "-x" detto opposto tale che x + (-x) = 0
5. x ⋅ y = y ⋅ x proprietà commutativa
6. (x ⋅ y) ⋅ z = x ⋅ (y ⋅ z) proprietà associativa
7. ∃! elemento neutro del prodotto 1 tale che 1 ⋅ x = x ∀ x ∈ X

24 sett 2012

Assiomi dei numeri reali

Consideriamo un insieme X e introduciamo 2 operazioni: "+" detta addizione e "." detta prodotto. Detti x, y ∈ X, l'addizione assegna un unico elemento x + y ∈ X. Detti x, y ∈ X, il prodotto assegna un unico elemento x · y ∈ X. ∀ x, y, z ∈ X richiediamo che valgano le proprietà seguenti:

1. x + y = y + x proprietà commutativa
2. (x + y) + z = x + (y + z) proprietà associativa
3. ∃! elemento neutro delle somma "0" (zero) ovvero x + 0 = x ∀ x ∈ X
4. ∀ x ∈ X ∃! elemento "-x" detto opposto tale che x + (-x) = 0

1. x · y = y · x proprietà commutativa
2. (x · y) · z = x · (y · z) proprietà associativa
3. ∃! elemento neutro del prodotto 1 tale che 1 · x = x ∀ x ∈ X

8) ∀ x ∈ X x ≠ 0 ∃ ! elemento "x^-1" detto reciproco di x tale che x ⋅ x^-1 = 1

9) (x + y) ⋅ z = x ⋅ z + y ⋅ z proprietà distributiva

Relazione d'ordine totale

Introduciamo ora la relazione d'ordine totale < (>).

Relazione d'ordine: una relazione binaria

1. Riflessiva x ≤ x ∀ x ∈ X
2. Antisimmetrica se x ≤ y e y ≤ x ⇒ x = y
3. Transitiva x ≤ y e y ≤ z ⇒ x ≤ z (Se x ≤ y e x ≠ y scriveremo x < y)

Richiediamo che < sia compatibile con le operazioni, nel senso che:

1. x ≤ y + z se x ≤ y ∀ x, y, z ∈ X
2. Se z ≥ 0 e x ≤ y ⇒ x ⋅ z ≤ y ⋅ z

1) … 11) Definiscono un "Campo ordinato"

L'insieme dei razionali Q con l'addizione e la moltiplicazione usuali è un Campo Ordinato.

A partire dagli assiomi è possibile dimostrare tutte le proprietà elementari note, ad esempio:

1. ∀ x ∈ X x · 0 = 0 infatti x · 0 = x · 0 + x · x · 0 + x = x · 0 + x · 1 = x = x · (0 + 1) = x = x · 0 x = 0
2. 1² = 1 (dimostrare)
3. x · 0 = 0 se x ≠ 0 (dimostrare)
4. x > y ⇒ -x Non esiste alcun x per cui x² + 1 = 0 (dimostrare)

Dimostrazione dell'irrazionalità di √2

Dimostriamo che √2 è irrazionale (non esprimibile come frazione). Se per assurdo esistono p e q ∈ N primi fra loro tali che √2 = p² / q², allora p² = 2q² ⇒ p² pari ⇒ p pari ⇒ ∃ m ∈ N ⋫ p = 2m. Da cui 4m² = p² = 2q² e quindi 2m² = q² ⇒ q² è pari ⇒ q è pari. p e q non sono primi fra loro. Assurdo.

Definizioni di maggiorante e minorante

A ⊆ X

Def. k ∈ X è maggiorante di A se k ≥ x   ∀ x ∈ A

Def. r ∈ X è minorante di A se r ≤ x   ∀ x ∈ A (minorante)

Se   k ∈ A   è maggiorante di A, allora chiamiamo k massimo di A   (minimo)

• "max A"   ("min A")
• max A è un maggiorante che appartiene ad A
• min A è un minorante che appartiene ad A

Un insieme che ammette maggioranti si dice superiormente limitato. Un insieme si dice limitato se è sia superiormente che inferiormente limitato.

Si chiama estremo superiore di A e si indica con "supA", se esiste, il minimo dei maggioranti. Si chiama estremo inferiore di A e si indica con inf A, se esiste, il massimo dei minoranti.

Assioma di completezza

Ogni sottoinsieme di X non vuoto e superiormente limitato ammette estremo superiore.

Campo ordinato completo _R (insieme dei numeri reali)

_R è l'unico campo ordinato completo.

Numeri reali

• Numeri razionali
• Numeri interi
• Numeri naturali

Proprietà di densità di _IR (no dimostrazione)