Appunti di analisi matematica 2 9CFU

Appunti di Analisi Matematica 2 - 9CFU

AA 2021-2022

Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale - Titolare : G.RUZZI

Funzioni in più variabili: introduzione, limiti e continuità

• TEORIA: 2 - 21
• ESERCIZI: 22 - 26

Funzioni in più variabili: derivabilità, differenziabilità, matrice Jacobiana, teorema di Lagrange, lemma di Schwartz, polinomio di Taylor

• TEORIA: 27 - 44
• ESERCIZI: 45 - 52

Funzioni in più variabili: concavità e convessità, matrici semidefinite/definite positive/negative, regressione lineare, massimi/minimi liberi e vincolati

• TEORIA: 53 - 72
• ESERCIZI: 73 - 93

Funzioni in più variabili: teorema di Dini, invertibilità, diffeomorfismi

• TEORIA: 94 - 105

Calcolo integrale: introduzione, integrali doppi, tripli e impropri

• TEORIA: 106 - 123
• ESERCIZI: 124 - 135

Curve e Superfici:

• TEORIA: 135 - 154

Campi vettoriali e forme differenziali:

• TEORIA: 155 - 170
• ESERCIZI: 171 - 176

Teorema della divergenza, Teorema di Stokes e formule di Gauss-Green

• ESERCIZI: 180 - 186

Analisi 2 - 30 CFU

Spazio vettoriale generico V

Dati due vettori _V, _W ∈ _V possiamo definire:

• Somma: ∀_V,_W ∈ _V → _V+_W ∈ _V
• Rispetta le proprieta' associativa e commutativa
• Prodotto per uno scalare: α ∈ ℝ, ∀_V ∈ _V → d_V ∈ _V
• Rispetta la proprieta' associativa

Se rispettate:

• Proprieta' distributiva: d(_V + _W) = d_V + d_W
• Elemento neutro tale che 0 + _V = _V
• Elemento opposto tale che _V - _V = 0

Prodotto scalare su spazio vettoriale generico S.

Dati _V, _W ∈ _V allora ⟨_V, _W⟩ ∈ ℝ con le proprieta' di:

• Positivita': ⟨_V, _V⟩ ≥ 0 con ⟨_V, _V⟩ = 0 ⇔ _V = 0
• Simmetria: ⟨_V, _W⟩ = ⟨_W, _V⟩
• Bilinearita': ⟨α_V + β_W,_W⟩ = α⟨_V,_W⟩ + β⟨_W,_W⟩

Oss: ⟨_W̃ ,α_V + β_W̃⟩_simm = ⟨α_V + β_W̃ ,_W̃⟩

⟨α_V , _W̃⟩ + β⟨_W , _W̃⟩

Norma associata al prodotto scalare

• ||_V|| = √⟨_V,_V⟩ gode delle seguenti proprieta':
• ① ||_V|| ≥ 0 con ||_V|| = 0 ⇔ _V = 0
• ② |α| ||_V|| = ||α_V|| con α ∈ ℝ

Dimostrazione:

||α_V|| = √⟨α_V,α_V⟩ = √α²⟨_V,_V⟩ = |α| √⟨_V,_V⟩ = |α| ||_V||

2) E = {(x,y) ∈ ℝ² tali che |y| < x}

• Considerato sempre una sfera a distanza d i notiamo subito che

La frontiera di E sono : ∂E = {(x,y) ∈ ℝ² tali che |y| = x}

3) E = {(x,y) ∈ ℝ² tali che 4x² + 2y² + 4y ≤ 8 }

E è un ellisse non centrata, lo si nota. Completando il quadrato:

4x² + 2 (y² + 2y + 1 - 1) ≤ 8 quindi 4x² + 2 (y + 1)² ≤ 10 e infine:

2x² + (y + 1)² ≤ 5

Co ordinare i punti e graficchiamo :

DEFINIZIONI

• Un sottoinsieme E ⊂ ℝⁿ è detto aperto se ogni punto x₀ ∈ E è inter... ad E.
• Un sottoinsieme E ⊂ ℝⁿ è detto chiuso se è un complementare di un insieme aperto.
• O alternativamente: Un insieme E ⊂ ℝⁿ è chiuso se il suo adesione contiene tutti i suoi punti di frontiera: ∂E ⊂ E

• Proposizione union: Se A_i è una famiglia di insiemi aperti allora l'unione ∪_i A_i è anch'esso aperto.
• Proposizione intersezione: "Intersezione di una famiglia di insiemi aperti numerabili ⋂_i A_i è ancora un insieme aperto

Esempi svolti sul calcolo di limiti in R²

1. Limiti

(x, y) → (0, 0) f(x, y) = ^{x^3}⁄_{x^2 + y^2}

• Verifichiamo prima un test:
• Mettiamoci sull'asse X: g(x, 0) = ⁰⁄_x^2 = 0
• Poi sull'asse Y, g(0, y) = ⁰⁄_y^2 = 0
• Mettiamoci su una retta di pendenza Y = kXg(x, kx) = ^{x^3}⁄_{x^2 + k²x²} = ^k3x4⁄_{x²(1 + k²)} = ^x2⁄_{(1 + k²)} → 0Quindi questo ci fa pensare che il limite tende a 0, verifichiamolo col:
• Teorema del Confronto
• Per applicarlo usiamo il modulo : | g(x, y) | = |^{x^3}⁄_{x² + y²}|
• Usando la disuguaglianza 2|X||Y| ≤ X² + Y² :
• |^{x y}⁄_{x² + y²}| ≤ ^{|x| |y|}⁄_2|x||y|
• Si conclude che
• ⁰⁄₁ ≤ |^x3⁄_x² ≤ ^|y|2⁄₂
• ⁰⁄₁ ≤ ... → ⁰⁄₁ ≤ ...
• ... → g(x, y) → 0

Esempio 4 di prima

f(x, y) = ^x10/_{x + x¹⁰}

Prendiamo le curve

• y = 0
• y = x + x¹⁰

f(x, 0) = ⁰/_x = 0

f(x, x + x¹⁰) = x / (x + x¹⁰) = x / x = 1

x¹⁰ / x ^{10(1 + o(x)) =}

x¹⁰

Poiché i due limiti sono differenti, allora limite non esiste

Limite di funzioni composte in R^m

Date due funzioni componibili, ovvero:

f: X ⊂ Rⁿ → R^m e g: Y ⊂ R^m → R^k con f(X) ⊂ Y

E siano:

• x₀ punto di accumulazione per X
• lim_x→x0 f(x) = l con l punto di accumulazione per Y
• lim_y→l g(y) = m ∈ R^k

Allora lim_x→x0 g(f(x)) = m

Questo teorema è particolarmente utile per approssimare le funzioni in Rⁿ

Ad esempio la funzione:

Se (x,y) per x→x₀ può essere vista come la composizione di:

Semi: Rⁿ → R^r con xy → R² → R

Perciò, poiché l’argomento tende a zero, il suo sviluppo sarà:

sen (^x/₃)+ (¹/₅) + o(||x||⁴) dove ||x|| = √(x² + y²)