Appunti di Analisi Matematica 2

Curve continue

Tutte le componenti continue: regolare —> Se esistono e sono continue le derivate delle componenti: ≠ mai —> ammullano unisce —> r(a) = r(b) M'(t) ≠ 0 —> Non regolano quando tutte le componenti: ≠ ammullano in un determinato punto (punto semplice).

Curva semplice

Per t₁, t₂ ∈ [a,b) si vuole r(t₁) ≠ r(t₂) (che non ha autointersezioni). Preso una componente: y(t₁) = y(t₂) se t₂ ≠ t₁ → y non è invertibile non devo verificare per le altre componenti. Se t₁ = t₂ assumono valori cycle: Tipo t₁ ≠ l = t₂ = 0 —> π è invertibile e quindi semplice.

Lunghezza

l(γ) = ∫_a^b |M'(ζ)| dt —> Se non è regolare basta individuare le lambetto a tratti e poi sommare.

Ascissa curvilinea

x(t) = ∫_a^t |M'(ζ)| dt

Versore tangente

T(ζS) = M'(ζS)

Curvatura

K(ζS) = |T'(ζS)|

Raggio di curvatura

p(ζS) = 1/K(ζS)

Calcolo massa

(ρ → densità) M = ∫_a^b ρ(M(τ)) |M'(ζA)| dt o ∫_(scb) ρ(ζS) dζS

Baricentro

x_C = 1/M ∫_a^b x(ζ) ρ(M(ζ)) |M'(ζ)| dt —> y_C e z_C (formule mnemoniche)

Curve in coordinate polari

ρ = g(θ) —> M(θ) = {g(θ) cosθ, g(θ) senθ} θ ∈ I

∫(γ) = ∫_a^b √[ρ(θ)]² + [ρ'(θ)]² dθ

Integrali doppi: coordinate polari

x = ρ cosθ, y = ρ sinθ, (ρ,θ) → (u,v)

J = ∫∫_R ρdρdθ, dA = J · dθ dρ

g(ρ) = ρ cos(u), ρ(ρ,θ) = ρ>0

Generalità

lim ∫∫∫ dxdyσ(x,y)dxdy

Misura

∫∫ 1 dxdy … inoriale

Prodotto vettoriale

|M × T| = |... E₁ E₂ E₃| |... N₁ N₂ N₃| |... T₁ T₂ T₃|

Curve

continue —> Tutte le componenti continue regolare —> Se esistono e sono continue le derivate delle componenti: x mu —> annullano mex

Curva semplice

Per t₁ ε [a,b] e t₂ ε [a,b] si vuole r(t₁) ≠ r(t₂) (bla non ha auto-intersezioni). Pensando una componente: y(t₁) = y(t₂) se t₂ = t₁ ecc —> y non è iniettiva ma devo verificare per le altre componenti: Se t₂ e t₂ assumono valori ciclo: Tipo t₁ ε a, t₂ ε b —> x è iniettiva e quindi semplice.

Lunghezza

l(ϒ) = ∫^b_a |Mʹ(c)| |dt|—> Se non è regolare basta suddividere le lunghezze e tratti, e poi sommarle.

Ascissa curvilinea

x(t) = ∫^t_a |Mʹ(c)| |dt|

Versore tangente

T(cs) = Mʹ(cs)

Curvatura

K(cs) = |T ̍(cs)|

Raggio di curvatura

p(cs) = 1/K(cs)

Calcolo massa

(po —> densità) M = ∫^b_a po(H(t)) |Mʹ(c)(t)| |dt| scb po(cs) dx

Baricentro

xc = 1/M ∫^b_a x(t) po(H(t)) |Mʹ(c)| |dt|—> yc e zc (Formulae Moocentriche)

Curve in coordinate polari

ρ = g(θ) —> M(θ) = {g(θ) cosθ {g(θ) senθ} θ ∈ I

Il(ϒ) = ∫^b_a √[ρ(θ)¹]² + [ρ (theta)]² ρ(θ) |dθ|

Integrale doppia: coordinate polari

x = ρ cosθ, y = ρ sinθ, (ρ,θ) —> (x,y)

J(ρ,θ) = ρ cosθ, dxdy = J do dρ

je = >> ln o | my | = ∫ β dr thao dls = J dθ do p

Misura

∬_Ω 1 dxdy ⊄fe _inrizz originale

Prodotto vettoriale

M_xyz = | ex1 ey2 ez3 | | lx1 ly2 lz3 | |v1 v2 v3 |