Appunti di "Analisi Matematica 2"

Vettori e coordinate della geometria 3D

• Vettori e piani

Un vettore è rappresentato nello spazio da un punto di applicazione P₀ e una terna di numeri reali:

x ∈ ℝ³ ↔ (x₁, x₂, x₃) = x₁ i + x₂ j + x₃ k al riferimento con l'origine (0, 0, 0) e i, j, k sono una base normale di ℝ³.

Un punto nello spazio P_m può rappresentare come un vettore applicato nell'origine e che punta in P: P_m = (x, y, z)

Il prodotto scalare di due vettori è un'operazione (∙) : ℝ³ x ℝ³ → ℝ definito come u ∙ v = (u₁ i + u₂ j + u₃ k) ∙ (v₁ i + v₂ j + v₃ k) = u₁ v₁ + u₂ v₂ + u₃ v₃ ∈ ℝ

Esso vale u ∙ v = |u| |v| cos Θ

Il prodotto vettoriale di due vettori è un'operazione (Λ) : ℝ³ x ℝ³ → ℝ³ t.c.

u Λ v = (u₁ i + u₂ j + u₃ k) Λ (v₁ i + v₂ j + v₃ k) = (u₂ v₃ - u₃ v₂) i + (u₃ v₁ - u₁ v₃) j + (u₁ v₂ - u₂ v₁) k

Poiché

u Λ v = det |i j k| |u₁ u₂ u₃| |v₁ v₂ v₃| = (u₂ v₃ - u₃ v₂) i + (u₃ v₁ - u₁ v₃) j + (u₁ v₂ - u₂ v₁) k

Il modulo del prodotto vettoriale di u ∙ v è pari e |u| |v| sin Θ

- dim

Neos |u Λ v|² = [u₂ v₃ - u₃ v₂]² + [u₃ v₁ - u₁ v₃]² + [u₁ v₂ - u₂ v₁]²

→ |u |² |v|² (1 - cos² Θ) * (c.v.d.)

d) Il prodotto vettoriale è anticommutativo, x Λ y = - y Λ x

e) Un vettore prodotto vettorialmente per α tesso è il vettore nullo; infetti

α Λ α = 0 → 2 Λ x = 0 → 2 Λ x = 0 → x Λ x = 0

f) Due vettori paralleli prodotto vettorialmente danno il vettore nullo.

Infetti → |/| ⇒ Θ = 0 ⇒ |u Λ v| = |u| |v| sin Θ = 0 ⇒ |u Λ v| = 0

- Il prodotto misto W : (u x v) ⋅ u" è un'operazione [ℝ³ x ℝ³ x ℝ³] → ℝ t.c.

W : (u x v) ⋅ u"

₁ |v₁ v₂ v₃|

₂ |u₁ u₂ u₃|

₃ |v₁ v₂ v₃| ∈ ℝ

Se v = u v = v₃ il prodotto misto è nullo, cioè u · (v × u₃) = 0 ∧ v · (v₃ × u) = 0.

Infatti u è perpendicolare al piano retto al piano retto u × v essendo quest’ultimo perpendicolare sia a u che a v. Analogamente vale per v = v₃.

Il modulo del prodotto vettoriale è l’area del parallelogramma formato dai due vettori, mentre il prodotto misto è il modulo uguale al volume del parallelepipedo formato dai tre vettori.

Per trovare le r di due punti P passante per P_o = (x_o, y_o, z_o) e perpendicolare al vettore n = a i + b j + c k, deve imporre che PP_o = r - r_o = (x - x_o, y - y_o, z - z_o) è perpendicolare a n, cioè (x - y_o) a = 0, ovvero anche: ax + by + cz + d = 0.

Per trovare la rette r dei punti P passante per P_o = (x, y, z) e parallelo al vettore s = a i + b j + c k, basta imporre che PP_o = r - r_o = (x_o - x_o, y - y_o, z - z_o) sia uguale a t per qualche t∈ℝ. Le equazioni parametrico saranno quindi:

• x = x_o + at
• y = y_o + bt
• z = z_o + ct (ad esempio l' = c ≠ 0, allora z = z_o + ct),

infatti così PP_o = ν ⋅ x ∨ x ⊥ x ⊥ x - ν ⋅ x⊥ x = 0.

1. Una superficie quadrica è una superficie nello spazio di ℝ³ dei punti che soddisfano una equazione di secondo grado in 3 variabili:

Ax² + By² + Cz² + Dxy + Exz + Fzx + Gx + Hy + Iz + K = 0

1. si possono avere due casi degeneri:
2. se l’equazione è scomponibile: (ax + by + cz + d)(ex + fy + gz + h) = 0 allora il grafico induce i due piani;
3. leur: ax² + z² = 0, con a ≠ 0; oppure l’estremità del solo punto (0; 0; 0).

Iperbole

Ha un’equazione del tipo ax² + by² + cz² = d con a = b coscenda e c = d. Si può parametrizzare

x = R cos φ√(x² + 1); y = R^1/2 - 1 cos (φ) e uguagliare R cos θ = R.

R cos φ e z = Rsen θ se sen θ ≠ 0 con x_o = (-y_o)

R^sen θ = R si per φ = 0; x cos f⁰ = x, y = cos⁰

n: i (E_o, E₁, E₂). Allora x = R_sen i cos φ

Y = R_sen y sup cosφ → Y = Rsen φ

Ellipsoid.

Sono superficie caratterizzate dell'equasion A²x² + B²y² + Cz² = b.

Oss.) Ogni curva parametrica x può sempre scrivere come intersezione di due superfici

Regole di derivazione

Siano u, v: [a,b] → R³ funzioni vettoriali e x: [a,b] → R

funzioni scalare di classe C¹([a,b])

1. d/dt (u(t) . v(t)) = (x₁(t) + y₁(t) + z₁(t) . x₂(t) + y₂(t) + z₂(t)) = u'(t) . v(t) + u(t) . v'(t)
2. d/dt (u(t) × v(t)) = u'(t) × v(t) + u(t) × v'(t)
3. d/dt (λ(t) . u(t)) = λ'(t) . u(t) + λ(t) . u'(t)
4. d/dt (u(t) . x'(t)) = d/dt [(x₁(t) - x₂(t))i + (y₁(t) - y₂(t))j + (z₁(t) - z₂(t))k]

Integrazione

Sia z(t) = x(t) + y(t) + z(t) con x, y, e z funzioni reali di una

variabile continue allora è ben definita

∫c z(t)ds = ∫c₁x(t₁)dt₁ + ∫c₂x(t₂)

purché siano continue x, y, z e siano integrabili.

Se r(t) è una curva di classe L¹, vale le regole di Barrow-Torricelli

siano ∫c¹f(t)dt = ]c([b-a) - x(a).

La norma dell’integrale di una curva tra due estremi è minore o uguale dell’integrale tra gli stessi estremi della norma delle curve. Infatti

|∫c¹f(t)dt| = {[(∫c₁x(t₁)dt¹)² + (∫c₂x(t₂)dt₁)²]} ≤ ∫c |x(t)|dt

Curve parametrizzata e poligonali

Sia L una curva limitata e continua proiezione di x(t) = x(t) + y(t) + z(t), resti

n° sue poligonali unendo n punti: x(t) = x(t)₁₀.... t = n⁻¹ = t₁₀.... a = t_₁₀.... e .... t_₄ = x(t)

definite in [a,b]

Se.... poligonali, L³ è un linea spezzata. La sua lunghezza e L(M) = ∑^M₋₁_τ=₁|r(t_τ+₁) - r(t_τ)|

si dice che la curva è rettificabile se esiste un estremo superiore per L d

UlA delle lunghezze delle poligonali inscritte in l

|r(t_τ+1)-r(t_τ)| → (ρ²) → ∝ ∀ε > 0 ∈ ∀

∀Np→ Δ limitato uniformamente

∀ Δ EMR (L, ε) infinite)

Δ = L(dt)³ = 3 sup (LΔ) < εR²

L infinite infinitesimi = {Lamedico}

Δ infinito infinitesimi |L| = rettificabili

Se è una curva è rettificabile, si chiama lunghezza della curva l(L) = 3 sup (Δ)

le curve di classe L² sono tutte rettificabili