Appunti di "Analisi Matematica 2"

VETTORI E COORDINATE DELLA GEOMETRIA 3D

1 Vettori, rette e piani

— Un vettore è rappresentato nello spazio da un punto di applicazione P₀ e una terna di numeri reali:

    x ∈ ℝ³ ⇔ x = (x₁, x₂, x₃) = x₁ i + x₂ j + x₃ k se l'insieme di riferimento è con l'origine (0,0,0) ∈ ℝ³ e i vettori i, j, k sono una base normale di ℝ³

— Un punto nello spazio P_s può rappresentare come un vettore applicato nell'origine e che punta in P. P_s = (x, y, z)

— Il prodotto scalare di due vettori è un'operazione (·) : ℝ³ × ℝ³ → ℝ definito come:

    u · v = (u₁ i + u₂ j + u₃ k) · (v₁ i + v₂ j + v₃ k) = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃ ∈ ℝ

— Esso vale u · v = |u| |v| cos θ

2 Il prodotto vettoriale di due vettori è un'operazione (x): ℝ² x ℝ² → ℝ³ tc.

    u × v = (u₁ i + u₂ j + u₃ k) × (v₁ i + v₂ j + v₃ k) = (u₂v₃ - u₃v₂) i + (u₃v₁ - u₁v₃) j + (u₁v₂ - u₂v₁) k

poiché:

    u × v = det |i  j  k|

|u₁ u₂ u₃|

|v₁ v₂ v₃| = i (u₂v₃ - u₃v₂) - j (u₁v₃ - u₃v₁) + k (u₁v₂ - u₂v₁)

a) Il modulo del prodotto vettoriale di u e v è |u| |v| sin θ.

    — dim.

    — |u × v|²

    = (u₂v₃ - u₃v₂)² + (u₃v₁ - u₁v₃)² + (u₁v₂ - u₂v₁)²

    = (u₂² + v₂² - 2u₂v₂u₃v₃) + (u₃² + v₁² - 2u₃v₁u₁v₃) + (u₁² + v₂² - 2u₁v₂u₂v₁)

    = |u|²|v|²(1 - cos θ²)

    = |u|²|v|² sin² θ ⇒ |u × v| = ||u||||v|| sin θ (c.v.d.)

b) Il prodotto vettoriale è anticommutativo

    u × v = -v × u

c) Un vettore prodotto vettorialmente per α tesso è il vettore nullo; infatti:

    u × u = 0   ⟹  u × ℝ u = 0   ⟹  0 = α u × α u

d) Due vettori paralleli prodotti vettorialmente danno il vettore nullo.

    — Infatti:

    u // v ⟶ 0 = ⟶ 0 = |u × v| = |u| |v| sin θ = 0 ⟶ u × v = 0

— Il prodotto misto w · (u × v) è un'operazione ℝ³ x ℝ³ → ℝ tc.

    w · (u × v) = w₁(u₂v₃ - u₃v₂) + w₂(u₃v₁ - u₁v₃) + w₃(u₁v₂ - u₂v₁) = det

    |w₁ w₂ w₃|

    |u₁ u₂ u₃|

    |v₁ v₂ v₃| ∈ ℝ

Vettori e coordinate della geometria 3D

1. Vettori, rette e piani

• Un vettore è rappresentato nello spazio da un punto di applicazione P₀ e una terna di numeri reali:

x ∈ ℝ³ ⇔ x( x₁, x₂, x₃ ) = x₁i + x₂j + x₃k se il sistema di riferimento è con l'origine (0,0,0). e i vettori i, j, k sono una terna normale di ℝ³

Un punto nello spazio P, si può rappresentare come un vettore applicato nell'origine e che punta in P. P( x, y, z )

Il prodotto scalare di due vettori è un'operazione ( ° ): ℝ³ x ℝ³ → ℝ definito come:

• u ° v = ((u₁i + u₂j + u₃k) ° (v₁i + v₂j + v₃k) = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃ ∈ ℝ
• Esso vale u°v = u v cos Θ

Il prodotto vettoriale di due vettori è un'operazione ( Λ ): ℝ² x ℝ² → ℝ³ t.c.

• u Λ v =((u₁i + u₂j + u₃k) x (v₁i + v₂j + v₃k) = (u₂v₃ - u₃v₂)i + (u₃v₁ - u₁v₃)j + (u₁v₂ - u₂v₁)k poiché:
• u Λ v = det | i j k | v = (u₁u₂u₃) e j v= (v₁v₂v₃)
• = ((u₂v₃ - u₃v₂)i + (u₃v₁ - u₁v₃)j +