Appunti Analisi matematica 2

Funzioni periodiche e serie trigonometriche

Una funzione f è periodica di periodo T > 0 se:

∫(x+T) = f(x), ∀ x ∈ ℝ

È possibile trasformare un periodo in una funzione di periodo T > 0 con T' = ωrg(x):

g(ωx)g(x+T') = g(x)g(ω(x+T')) = g( _T/𝒉(x+T'))

== ƒ( _T/𝒉 x + _T/𝒉) = ƒ( _T/𝒉 x + T) = ƒ(𝒉 x + T) = ƒ(ωx+T) = f(ωx)

Immaginiamo di prendere 3 sin x 2π 3 sin 2x

T = 2π T' = π/ω = ^2π/_π = 2

Periodica di periodo T > 0 se ∫(x+T) = f(x), ∀x ∈ ℝ𝑓(x) 𝑓(x)

È possibile trasformare un periodo in una funzione di periodo T > 0 -> T'

𝑎_T^' = 𝜔g(x): 𝑓(𝜔x)g(x+T') = g(x) ∀x ∈ ℝ

g(x+T') = f(𝜔(x+T')) = f(𝑎_T^'x+T₁) = f(𝑎_T^'x+1) = f T₁ x+T') = f(𝜔x+T) = f(wx) = g(x)

Funzioni goniometriche

Funzione goniometrica di periodo T=2π

T = 2π T' = π

𝜔 = 2π/π = 2

Il periodo viene accorciato

∃k,h ∈ ℕ

Le funzioni con cui possiamo sono le più recuperate:

• Sen k x
• Cos k x

p_n(x) = _a₀⁄₂ + ∑_k=1^m(a_k cos k x + b_k sen k x)

a₀ ∈ ℝ, a_k, b_k ∈ ℝ

a₀ = _a0⁄₂ + ∑_k=1(a₂ cos x + b₂ sen x + a₂ cos 2 x

Polinomio trigonometrico

(di periodo 2π)

Sopra ricordo un po' SERIE TRIGONOMETRICA

a₀⁄₂ + ∑_k=1^∞(a_k cos k x + b_k sen k x)

Funzione (valutare) unità: quello generale

X = 0

∑_k=1^∞₁⁄_k² = ∑_k=1^∞₁⁄_k sen k x = ∑_k=0^∞ 0 CONVERGE

X = 1

∑_k=1^∞₁⁄_k sen k x = 0

X = π/2

Faccio il criterio dell'assoluta convergenza

_na_n ∼ ¹/_{2 k} | sen k x | ∼ ¹/_{2 k} converge grazie alla serie geometrica

Converge perché ¹/_{2 k}|sen k¹⁄ₓ|k pari

Sen k₃⁄ₓ

Sen π x

Converge assolutamente

⁽⁻¹⁾_k serie alternata

Il valore di partenza

Note bene

_a₀/₂ | ∑ _k=1^∞ a_k cos k x + b_ksen k x

_a₀/₂ | ∑ _k=1^∞ a_k cos k x + ∑_k=3^∞ b_ksen k x

| a_k cos k x | = | a_k cos k x | ≤ | a_k |

| b_ksen k x | ≤ | b_k |

Se ∑_k=1^∞ | a_k | ≤ | b_k | convergono   la serie converge assolutamente

Se la serie dei coefficienti converge con il V.A. allora la serie trigonometrica converge di dire che converge assolutamente

Es:

¹/₂ + ∑ (1/(k²)) cos kx + ¹/₃ k sec k x

n=0 k=2 ∑ (1/(k²)) k=22 coefficienti k=0 converge in ℝ coff ~ 1/k² converge

(1/3)^k converge

N.B. devono convergere COEFFICIENTI se convergono queste 2, converge anche la serie data

Esempio:

∑ cos kx/k k=1 rho ∑ 1/k DIVERGE

Coefficiente converge

X=0 ∑ 1/k k=1 non converge

È convergente punto no strumento per dirlo dell'ℝ non posso applicare il TEOREMA k=1 cos kx/k (-1)^k k=1 k=2 1/k=3 cos 3ππ=1

Cos 2π cos kπ = (-1)^k doca 1 alla k per k diverso 1 segno alternato

DEVO sempre considerare le serie dei coefficienti in l/f per vedere se la serie x quanti CONVERGEO di cu (usa il criterio dell'unità converge)

Criteri di Dirichlet

Fornisce una condizione sufficiente per la convergenza delle serie trigonometriche