Appunti Analisi matematica 2

f: R→R

periodica di periodo T > 0

se f(x+T) = f(x), ∀x∈R

f(x)

periodi, è possibile trasformare un periodo in una funzione

g(x): f(wx)

g(x+T') = g(x) ∀x∈R

g(x+T')= f(wx+T')= f(T/T' x + T)

T'₁ x + T = f(wx + T)

f(wx+T) = f(wx) = g(x)

immaginiamo di precedere

sen x

sen 2x

T' = 2π

T' = π

ω = 2π/T = 2

periodo viene accorciato

∃K, k ∈ℕ ⇒

∃q ∈ℤ, prende il ⌊Kτ = hT . ⌋ → T̶

dipendo

Le funzioni con cui possiamo serv. le più eurapi:

sen k x cos k x

{ sen k x, cos k x } periodo

Polinomio trigonometrico di ordine n:

∑_k=0 ⁿ a_k cos k x + b_k sen k x

periodica di periodo 2π

∑_k=0 ^m

a₀, E_R, b_k, c_k ∈R

f( K=_n a_x + c_x )

ris = a_x-1 c_x1 + b_x sen 2 x , a_x c_x1 ≤ m

Polinomio Trigonometrico (di periodo 2π)

+∑ _k=1

Serie Trigonometrica:

a₀

k = 2 a_k cos k x + b_k sen k x

1_{k=2 ∞}

∑ COME: ∈-∈-^flc.

Funzione (valeminte) di altro: uno + quella generale.

→0

∑ _k=1 ^{∞ 1}  sen k x

2^k

x = 0  

∑ sen k x = ∑_o ^{∞ 0}

x = 1

∑_k=1 ^{∞  1}

k x

CONVERG

layers il ven (D) Levegele

x = 1  

¹ ∑ k x =

^∞ 1 – der

∑ sen k x  

2

converge si up 2biesuge seqdi el con sen k x.

Vediamo qualche esempio di questi criteri

Esempio:

\[\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{k^2} \cos kx + (-1)^k \frac{\sin kx}{2k+1}\]

\[a_k = \frac{1}{k^2}, b_k = \frac{1}{2k+1}\]

\(\cos k\pi = (-1)^k\)

• Lo studiamo separatamente

1. Converge in \([0, 2\pi]\)

\(x = 0, x = 2\pi\) -> \(\sum_{k=2}^{+\infty} \frac{1}{k^2}\) converge

Quindi tutta la serie converge a \([0, 2\pi]\)

\(\Rightarrow\) La serie data converge in \([0, 2\pi]\) \(\Rightarrow\) in \(\mathbb{R}\)

\[a_{0} = \frac{1}{2} + \sum_{k=0}^{+\infty} a_k \cos kx + b_k \sin kx = \text{CONVERGENTE}\]

\(f(x)\) periodica di periodo \(2\pi\)

SERIE DI FOURIER di f(x)

facciamo un esempio:

f(x) = {    (1/x)x<[-π,π)    (x/[-π,π)] prolungata a R con periodicità

dai valori che si vede nel grafic (la sempre corrente finale) xprolung con periodicità

Andiamo a calcolare i coefficienti di Fourier:

a₀ = 1/π ∫_−π^π f(x) dx = 1/π ∫_−π^π 1/x dx = 1/π T := 1

a_k = 1/π ∫_−π^π f(x)coskx dx = 1/π ∫_−π⁰ coskx dx =

= 1/k [ senkx] = 1/π (0 - 0) - c

b_k = 1/π ∫_−π^π f(x)sinkx = 1/π ∫₀^π sinx dx = 1/k= 1/kπ (1−coskπ²) − 4/k² ((-1)^{x})

coskx = (-1)^k stessi domani per farlo quindi:

domani per farlo con i coefficienti

facciamo un paio di esercizi:

f(x) = x²

• -1, 1

è regolare a tratti

T = 2

w = 2 / 2 =

la funzione risulta essere pari, quindi b_k = 0 ∀k∈ℕ

a₀ = 2 / T ∫_-T/2^T/2 f(x)dx = ∫_-1¹ x² dx = [x³/3]¹_-1 = 2/3

• Il pezzo perché è pari

a_k = 2/T ∫₀¹ f(x) cos kπx dx = 2 ∫₀¹ x² cos kπx dx =

= 2 [x²/kπ sin kπx /kπ² ]¹₀ - 2 ∫₀¹ x/kπ sin kπx dx +

= 2 [2x cos kπx = [2x/kπ sin kπx + 2/kπ² ] =

= 2 [2x cos kπx/kπ² − 2/k² cos kπx |¹₀ +

= 2 [2x cos kπx/kπ² − 2 sin kπx/kπ]¹₀ =

= 4 / k²π² [ (-1)^k cos kπ − 0]

= 4 (-1)^k / k²π²

=>