Appunti di Analisi Matematica 2

Analisi matematica 2

Funzioni di 2 variabili

Def. Una funzione f(x,y) è una legge che associa ad ogni punto dell’insieme di definizione x, y ∈ R² e f può non connettere con R³, quindi nell’intorno P(x₀, y₀) uno ed un solo numero reale (che corrisponderebbe nell’asse z alla quota del punto).

L’insieme di definizione di una funzione di 2 variabili non corrisponde ad una retta come in R².

Ha e è una superficie, una porzione del piano R², o lo stesso R².

Topologia

• Punto interno (di un insieme): un punto è definito interno almeno un intorno circolare contenente tutti i suoi punti interni.
• Punto esterno (di un insieme): un punto è definito esterno almeno un intorno non circolare contenente tutti i suoi punti esterni.
• Punto di frontiera (di un insieme): un punto è definito di frontiera un qualunque intorno del punto vi sono sia punti interni che esterni.
• Punto di accumulazione (di un insieme): un punto è definito di accumulazione del punto vi cadono infiniti punti.
• Insieme aperto (campo): insieme che non ha (o non comprende) una frontiera.
• Frontiera: insieme dei punti di frontiera dell'insieme, frontiera dell’insieme (E).
• Derivato di un insieme: è l’insieme dei punti di accumulazione dell’insieme (E).
• Insieme chiuso: insieme che comprende i suoi punti interni, di accumulazione e della frontiera.
• Campo: è un campo connesso.
• Semplicemente connesso: fatto in un capo puntato su Birkhoff è sempre connesso. Un’intera regolare semplice e chiuso avvicinato è nel tutti i punti del campo, senza è un insieme “senza buchi”.
• Dominio: un insieme puntato in ogni punto e punto di accumulazione per ogni intervallo

Intorno Circolare

Def. Un intorno circolare I_δ è un insieme aperto (quindi senza frontiera) circolare di centro (x₀,y₀) e raggio δ.

Un punto appartenente I_δ ↔ √((x-x₀)² + (y-y₀)²) < δ

• La distanza del punto generico al centro (x₀,y₀) deve essere minore del raggio

Insiemi di Definizione di Funzioni di 2 Variabili

• Gli insiemi di definizione di funzioni di 2 variabili sono porzioni di piano/superfici ℝ².
• Come calcolarli:

1. Data la funzione di 2 variabili f(x,y) considerare le funzioni di ℝ² che la compongono, indicare le condizioni di esistenza di queste funzioni e metterle a sistema.

   Esempio

   f(x,y) = log ^y-x²/_2x-y+1

   • {y-x² > 0
   • 2x-y+1 > 0 (c.e. Logaritmo)
   • y-x² > 0 (c.e. Radice)
   • 2x-y+1 ≠ 0 (c.e. Denominatore)

   Funzioni che compongono f(x,y):

   • - logaritmo
   • - radice
   • - frazione

2. Trovate le disequazioni/equazioni che individuano le condizioni di esistenza, risolvere le equazioni corrispondenti e disegnare.

   • y > x²
   • y/x²
   • y > 2x+1
   • y = 2x+1

3. Per capire se considerare punti esterni o interni prendete un punto generico (ma utile anche intorno – esterno) e inserirlo nella disequazione aggiungendo (x₀,y₀) [p. interno] = (0,0) sì prendo i punti interni!

   (i punti) che si ottiene dall'intersezione delle due.

DERIVATE E DIFFERENZIABILITÀ

DERIVATA PARZIALE = [..] derivate], calcolate lungo "due cammini" particolari [..]

Def.

DERIVATA PARZIALE RISPETTO A X

Fisso la y e mi muovo parallelamente all'asse y

\[ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x, ̲y̲) - f(x, ̲y̲)}{\Delta x} \]

f(x,y) è parzialmente deriv., rispetto a x se è finito il lim.

DERIVATA PARZIALE RISPETTO A Y

Fisso la x e mi muovo parallelamente all'asse y

\[ \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(̲x̲, y+\Delta y) - f(̲x̲, y)}{\Delta y} \]

f(x,y) è parzialmente derivabile rispetto a y se è finito il lim.

DERIVABILITÀ E CONTINUITÀ DELLA FUNZIONE

• La derivabilità parziale non implica la continuità
  • Derivabilità ≠ continuità

Motivo: - Si ha continuità in un punto (x₀, y₀) se: ∀ε > 0, ∃ δ: [f(x, y)-(x₀, y₀)ˆ2−y]ˆ1⁄2 ＜ε, ∀ (x, y) ∈ S(cer

Per esistere questo limite deve essere lo stesso qualsiasi sia la direzione con cui –

\

• direzioni particolari (1/asse x, 1/asse y) → non si verifica
• quindi l'andamento della funzione lungo le altre direzioni.

CONTINUITÀ NELLE DERIVATE PARZIALI

Teorema Scnvarzte : se ρ_x, p_y + ρ_y\_x

(Quindi x verificare la continuità delle deriv. parziali: verifier la

[..]

punto P tendente a Q (punto di together

Massimi e minimi relativi

Def. P(X,Y) è max relativo se ∀ O ∈ I

risulta f(O) - f(P) ≤ 0 P(X,Y) è min relativo se ∀ O ∈ I

risulta f(O) - f(P) ≥ 0

Teorema: ↔ P(X,Y) è max o min relativo in I

se f(X,Y) è derivabile in f = f_x(P) = f_y(O) = 0

Metodo di calcolo

1. Calcolare derivate parziali prime e annullare. Mettere a sistema. Trovare p.ti P₁, P₂, ...., P_n che potrebbero essere max o min.
2. Calcolare l'Hessiano: |f_xx f_xy| |f_xy f_yy| = f_xx f_yy - f_xy² = H
3. Calcolare H nei p.ti Candidati.
• H(P) > 0 —> f_xx(P) > 0 → Min —> f_yy(P) < 0 → Max
• H(P₁) < 0 —> p.to di sella, nè max, nè min.
• H(P) = 0 —> non si sa.

Massimi e minimi assoluti

• Se f(x,y) ∈ E = limitato, vale Weierstrass f(x,y) ammette sicuramente max e min assoluti.
• Se E ≠ limitato non abbiamo la certezza che vi siano max e min assoluti, ma non vuol dire che non ci siano sicuramente.

Metodo di calcolo

1. Trovare candidati per i p.ti di max o/e min relativi calcolare der. parziali, annullare e calcolare il sistema.
2. Considerare i p.ti di non derivabilità.
3. Considerare i p.ti di frontiera( Funzione di 1 variabile); calcolare la derivata e studiare il segno per trovare p.ti di max o min.
4. Confrontare i p.ti trovati e individuare il maggiore ed il minore.

Successioni di Funzioni

Def. Successione di f_n(x) è una legge che ad ogni numero naturale n associa una funzione. Gli elementi di una successione di funzioni sono quindi funzioni. Esempio: f_n(x) = ¹⁄_1+e^nx

Una successione può   divergere   convergere       puntualmente       uniformemente

Convergenza puntuale

{f_n(x)} converge puntualmente ad una funzione f(x) [detta funzione limite]

⇔ ∀ ε>0, ∃ n(ε,x)₀ : |f_n(x₀) - f(x₀)| < ε, ∀ n > n(ε,x₀)

• La convergenza puntuale dipende quindi dal punto x₀, infatti il limite f(x₀) a partire dal quale i termini della successione stanno dentro a B della funzione limite dipende da ε e x₀ localizzato in x₀

Esempio: {f_n(x)} = 1 - ^x⁄_n scelto il punto x₀ = 3 si ottiene la successione numerica [1 - ³⁄_n]

lim_n→∞ 1 - ³⁄_n = 1 La succ. converge per x₀ = 3 ad una funzione tale che f(x) = 1

Convergenza uniforme

{f_n(x)} converge uniformemente a f [funzione limite]

⇔ ∀ ε>0, ∃ n(ε) : |f_n- f| < ε, ∀ n > n(ε)

La successione converge a f indipendentemente dal punto scelto

Teorema della continuità del limite

(Funzione limite) Se {f_n(x)} converge uniformemente a f allora f è continua (Ma non vale il viceversa: se f è continua non è detto che {f_n(x)} sia uni. conver.)

[con dimostrazione]