Appunti di Analisi I

Lezione 1: mercoledì 02.03.2022

Ripasso mod A (conclusione)

Teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy e conseguenze teorema di Lagrange:

1. Relazione tra monotonia e derivata prima.
2. Se f: ℝ→ℝ derivabile f'(x)=0 ∀x∈I ⇒ f è costante
3. se f: I=ℝ→ℝ è continua in I, derivabile (derivata) ed R in alcuni f è derivabile anche in x₀

Teorema di De L'Hopital (Caso 0/0)

• f, g: ]a, b[→ℝ continue. Sia x₀ ∈ ]a, b[ e supponiamo che:
• f(x₀) e g(x₀) = 0
• f, g sono derivabili in ]a, b[\{x₀}
• g'(x) ≠ 0 ∀x ∈ ]a, b[ \{x₀}
• Allora
1. g(x) ≠ 0 ∀x ∈ ]a, b[ \{x₀}

dim 1:

• Sia per assurdo:

∃x1 *x0 ∈ ]a, b[ t.c. g(x1) = 0 (per compatità x1 > x0)

in [x0, x1[ , g = continua ed è derivabile in [x0, x1[ , inoltre g(x0) = g(x1) = 0

Rolle da rivedere

dim 2:

• Sia f(x) ∈ ]a, b[ \{x₀}
• Sia f(x)

=> ∃ ξ ∈ ]x₀, x[ t.c.

(f(x)-f(x₀)) = f'(ξ)_{(x - x}0)

g(x) - g(x₀) = g'(ξ)_{(x - x}0)

lim_x→x0 f(x)/g(x) = lim_x→x0 f(x) - f(x₀)/g(x) - g(x₀) = lim_x→x0 f'(ξ_x)/g'(ξ_x)

=> lim_x→x0 f(x)/g(x) = j

da cui lim_ξn→x0 g'(ξ_n) = l

=>∉ lim_x→x0 (f'(ξ_n)/g'(ξ_ξn) = lim f(x)/g(x) = l

In maniera analoga : ∃ lim_x→x0 f'(x)/g(x) = f'(x)/g' = l = lim_x→x0 f(x)/g(x) = l

1. oss: stesso enunciato per ∉ lim

2. oss: variante: f, g : ]a, b[ x [x>3 x R continue e derivabili

se lim ∉ (f(x) - f(m) = 0 // uguale a prima

3. oss: variante f,g: ]a, 0[ R (continue) derivabili [ se derivabile è continua!]

g'(x) != 0...stesso Rp.. f, g: Rp op lim x→+-00 g(x) = 3 e lim_x→x0 f(x)/g(x) = l ∈ R*

dim : x→x+1/t , αx 0 ,t∈ 0,1\a, l, α n, lim_x→x0 f(x)/g(x) = lim_{t →0} f(1/t)/g(1/t)

f'(1/t)·(-1/t²) = lim_x→x0 f(x)/g(x)

g'(1/t) (1/t²)

1. oss : variante ]-00, b [

Lezione 1 giovedì 03.03.2022

Teorema di De l'Hopital (caso oo/oo)

f, g, ] a,b[ ⊆ R, continue in ]a,b[\]x₀[ e derivabili in ]a, b[ ]\]x₀[

Ho: lim_x→x0 f(x) = ±oo e lim_x→x0 g(x)= ±oo

stesso Rp del caso 1, x→x rs_f'(x)/g'(x)' ∈ Rp* = Rp U{±oo}{±oo}}

Allora ∃ lim x→x₀ f(x)/g(x) = l

dim : oss :

1.+ tecnica f(x)/g(x = [[f(x) - {f(x)} ] / [ g(x) - g(x)] ]

dim. Cenno

R_x0(x)=(f(x)-f(x₀))/(x-x₀) è crescente ⇒ ∃ lim_x→x0^- (x)-f(x₀) (x-x₀) è finito = f'_-(x₀)

⇒ ∃ lim_x→x0⁺ (x)-f(x₀) (x-x₀) è finito = f'₊(x₀)

R_x0(x) è monotona crescente = f'(x₀) ≤ f' (x₀)

Corollario:

f: I⊆ℝ→ℝ convessa, x₀ interno ad I ⇒ allora f è continua in x₀ svolgere per casa

oss f può essere discontinua e/o non derivabile agli estremi di I

• |x| = f(x), f'(∞) = -1 ≤ f'₊(0) ≤ 1

oss f'(x) è crescente

• f_-'(x) ≤ f'(x) ≤ f'_+'(x) e lim_x→x0 f' (x₀)

1. una funzione monotona ha al più un insieme numerabile di punti di discontinuità. (f'(x₀), f'(x₀))
2. f convessa in I e derivabile in I ∀ x₀∈I

Corollario:

f: I⊆ℝ→ℝ derivabile, e convessa (strett.) sse f' è monotona cresc. (strett.)

Corollario:

f: I⊆ℝ→ℝ derivabile 2 volte in I :

1. f è convessa sse f"(x) ≥ 0
2. se f'(x) > 0 ∀ x ∈ I ⇒ f è strett. convessa

oss

f convessa ⇔ f'(tx₁+(1-t)x₂) ≥ tf(x₁) + (1-t)f(x₂) ∀ t ∈ ℝ | 0,1]

Lezione 5: giovedì 10.03.2022

Introduzione agli sviluppi di Taylor/McLaurin

Definizione (Polinomio di Taylor di ordine n, centrato in x₀):

f: I⊆R→R, x₀ interno ad I

Si dice che P_n(x) è un polinomio di Taylor di ordine n, centrato in x₀, se:

f^(k)(x₀) = P_n^(k)(x₀), ∀k = 0, 1, ..., n

lim_x→x0 (f(x) - P_n(x)) / (x-x₀)ⁿ = 0

Osservazione: sin x = x - x³/6 + x⁵/120 ≠ f(x)

Osservazione: P_n(x) è "creato" da f, si dice che l’approssimazione è buona vicino a x₀

Teorema (Unicità del polinomio di Taylor)

f: I⊆R→R, x₀ interno a I

Supponiamo che P_n(x) = Q_n(x) siano polinomi di Taylor di ordine n centrati in x₀ ⇒ P_n(x) = Q_n(x)

lim_x→x0 (a₀ + a₁(x-x₀) + a₂(x-x₀)² + ... + a_n(x-x₀)ⁿ - b₀ - b₁(x-x₀) - b₂(x-x₀)² - ... - b_n(x-x₀)ⁿ) / (x-x₀)ⁿ = 0

⇒ a₀ = b₀ (attrimenti sarebbe ∞)

g(x) = ∑_k=0ⁿ (-1)^k x^k + o (xⁿ)

f⁽ⁿ⁺¹⁾(c) = θ f⁽ⁿ⁾(0) - (-1)^k k!

f(x) = ∑_k=0ⁿ f^(k)(0) / k! x^k + o (xⁿ)

log(1+x) = ∫_[0,1] (-1)^k (k-1)! / k! x^k + o(xⁿ) = ∑_k=1ⁿ 1/k (-1)^k x^k + o(xⁿ)

esempi/esercizi:

1. lim x^-0 sin x² - sin^α x^α con α ∈ ℝ, x > 0

sin x = ∑_k=0^∞ (-1)^k x^2k+1 / (2k+1)! + σ(xⁿ⁺²)

sin x = x + o(x) ⇒ sin x² = x² + o(x⁴) ⇏ σ(x⁴) = 1/2 x o(x) + o(x²) = x² + σ(x²)

lim x^-0 sin x² - sin x² = lim x^-0 x^² + θ(x) - x^α * o(x^α) = lim x^-0 σ(x³) / x^α non posso andare avanti

sin(x) ~ x - x³/6 + σ(x⁵)

sin(x) ~ x⁴/6 + σ(x³)

sin(x²) ~ (x - x³/6 + σ(x⁵))² - x²/3 + σ(x⁴/3 + σ(x⁵))

lim x sin x² - (sin x)² = lim x^-0 x² + o/x³ - x^-7/6

lezione n: mercoledì 23.03.2022

Applicazione della formula di Taylor con resto di Peano (a max/min)

Teorema.

Sia F:]R → R], xo interno a I, F derivabile (n-1)-volte in I, Ǝ f^(m)(x_o).

Se f(x) = f(x_o)+f⁽ⁿ⁾(x_o)(x-x_o)ⁿ + o((x-x_o)ⁿ), allora :

1) i₀ n pari ∈ f^(m)(x_o), ∃ xo e x_o è minimo relativo per f