Lezione 1: mercoledì 02.03.2022
Ripasso mod. A (conclusione)
Teoremi di Lagrange e conseguenze
- Relazione tra monotonia e derivata prima:
f: I ⊆ ℝ → ℝ derivabile e f'(x) = 0 ∀ x ∈ I ⇔ f è costante
Se f: I ⊆ ℝ → ℝ è continua in I, derivabile (senza in {I \ {x₀}}) e se lim x→x₀- e lim x→x₀+ sono uguali (della derivata) ed R a destra, f è derivabile anche in x₀.
Teorema di De L'Hopital (caso 0/0)
- f,g: ]a,b[ ⊆ ℝ continue. Sia x₀ ∈ ]a,b[ e supponiamo che:
- f(x₀) e g(x₀) = 0
- f,g sono derivabili in ]a,b[ \ {x₀}
- g'(x) ≠ 0 ∀ x ∈ ]a,b[ \ {x₀}
- lim x→x₀ f'(x)/g'(x) = ℓ ∈ ℝ* = ℝ \ { 0 } { +∞ } { -∞ }
- Allora
- g(x) ≠ 0 ∀ x ∈ ]a,b[ \ {x₀}
- lim x→x₀ f(x)/g(x) = ℓ [F.1. 0/0]
Dimostrazione 1
g(x) ≠ 0 ∀ x ∈ ]a,b[ \ {x₀} per assurdo ∃ x ≠ x₀ ∈ ]a,b[ = L. q(x) = 0 (per comodità x₁ > x₀ ) in [x₀,x₁], g - continua ed è derivabile in ]x₀,x[, inoltre g(x₀) = g(x₁) = 0
- ∃ ξ ∈ x₀, x₁[: g'(ξ) = 0
Dimostrazione 2
f(x)]a,b[ \] {x₀}[ → ℝ si può scrivere: f(x) = (w-f(x₀) (f, g sono continue in [x₀,x], derivabili ------------------------- g(x) ------------------------- g(x)-g(x₀) in ]x₀,x[
Ripasso mod. A (conclusione)
Teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy e conseguenze teorema di Lagrange
- Relazione tra monotonia e derivata prima:
f: I → ℝ derivabile → f'(x) = 0 ∀ x ∈ I → f è costante
Se f: I → ℝ è continua in I, derivabile in I \ {x0} e se limx → x0- e limx → x0+ sono uguali (della derivata) ed è ℝ allora f è derivabile anche in x0.
Teorema di De L'Hopital (caso 0/0)
- f,g: [a, b[ → ℝ continue. Sia x0 ∈ ]a, b[ e supponiamo che:
- f(x0) = g(x0) = 0
- f,g sono derivabili in ]a,b[ \ {x0}
- g'(x) ≠ 0 ∀ x ∈ ]a,b[ \ {x0}
- &exists; limx → x0- f'(x)/g'(x) = l ∈ ℝ * ℝ\{−∞}∪{∞}
- Allora
- g(x) ≠ 0 ∀ x ∈ ]a, b[ \ {x0}
- &exists; limx → x0- f(x)/g(x) = l [F.I. O/I]
Dimostrazione 1
g(x) ≠ 0 ∀ x ∈ ]a, b[ \ {x0} per assurdo: ∃ x1 ∈ ]a, b[ : c , q(x) = 0 (per comodità x1 > x0) in [x0, x1[, g − continua ed è derivabile in ]x0, x1[ , inoltre g(x0) = g(x1) = 0 Rolle da rivedere → ∃ r ∈ ]x0, x1[ : g'(ξ) = 0 ← ⊥
Dimostrazione 2
f(x)g(x) [a,b[ \ {x0} → ℝ si può scrivere: f(x) = w − f(x0) g(x) = g(x0) in ]x0, x[ ⇒ ∃ ξ ∈ ]x₀,x[ t.c. f(x)−f(x₀) = f' (ξ) g(x)−g(x₀) g'(ξ) limx→x₀ f(x)/g(x) = limx→x₀ f(x)−f(x₀) g(x)−g(x₀) = limξ→x₀ f' (ξ) g'(ξ) da cui limx→x₀ g(ξ) = x x(ξ) = x₀ ⇒ limx→x₀ f' (ξ) g'(ξ) = l
Osservazioni
- Stesso enunciato per βᵐ = limx→x₀
- Variante, f,g: ]a,b[ \ {x₀} ⊆ R continue e derivabili se limx→x₀ f(x) = f₄ ⇒ 0, uguale a prima
- Variante, f,g: ]a,+∞[ → R (continue) derivabili [se derivabile è continua!] g'(x) ≠ 0 (stesso Rp). limx→+∞ g(x) = 0 e limx→+∞ f(x)/g(x)= l ∈ R* ⇒ ∃ limt→0⁺ f(x)/g(x) = limt→0⁺ f(x)/g(x) = l
Dim: x = 1/t, x₀ = 0, t ∈ ]0,1[ ∩ R, limx→+∞ f(x)/g(x) f'(1/t) . (-1/t²) = limx→+∞ f(x)/g(x)
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