Appunti Isostatica

13/11/2019

Definizione statica di vincoli piani

Definizione cinematica → Relativa ai movimenti interditti.

Definizione statica → Legata alle reazioni vincolari, cioè alle quantità statiche (forze e momenti).

• Considero i vincoli:
• Oloidi e fissi che si oppongono ai vincoli reconditi o mobili.
• Relazione che determina un vincolo non dipende dal tempo.

1) Che si oppongono ai vincoli scabri

La reazione è sempre nella direzione del movimento impedito, sono nulli in assenza di attrito.

Es. se un carrello scorre senza attrito, l'unica reazione impedita è quella nella direzione del movimento impedito.

Se è presente attrito ci sarà una reazione _N e _T dove _μ è il coefficiente di attrito.

Bilateri

Il movimento è un vincolo monolatero, cioè agisce solo se soggetto a compressione.Nel piano non sempre i vincoli sono bilateri, tuttavia il peso fa sì che gli appoggi non vadano mai in trazione (tranne casi particolari).

All'interno di tali condizioni esiste la reazione di dualità o corrispondenza lineare tra componenti cinematiche e statiche.

Caso Piano: L_e R_y + T_μ = 0 → Il lavoro compiuto in corrispondenza dei vincoli è sempre nullo.Vale lo stesso per il caso tridimensionale.

Il lavoro esterno delle reazioni vincolari dato dalle reazioni vincolari che lavora non per gli spostamenti [_{R, 0}, più i potenti che lavorano per le rotazioni si devono annullare.

Quindi:

• Se vado ad annullare gli spostamenti, posso avere delle reazioni che intralciano l’annullamento del mio sistema.
• Se gli spostamenti sono liberi, poiché i vincoli sono lisci, la corrispondente reazione vincolare dev’essere annullarsi.
• Se posso avere uno spostamento in direzione orizzontale, non nascerà alcuna reazione vincolare.
• Se posso avere una rotazione, non nascerà alcun trotto.

Vincoli da un punto di vista statico

Vincoli Semplici / Esterni

• 1. Carrello, biella

Punto di vista cinematico

• u₁: ≠0
• u₂: =0
• φ: =0

Punto di vista statico

• R₁: =0
• R₂: ≠0
• M: =0

Diagramma di corpo libero, sostituito i vincoli con le reazioni garantirte

• R_t: R_t • η

• Doppio pattino, doppio bilanciato, doppio pendolo, doppio pendolo

En questo caso sono libere tutte le traslazioni ed è vincolata solo la rotazione.

Punto di vista cinematico

• u₁: ≠0
• (come vettore)
• φ: ≠0

Punto di vista statico

• R: =0
• R₁: =0
• R₂: =0

Diagramma di corpo libero

• π

Vincoli Doppi / Esterni

• 1. Cerniera

Punto di vista cinematico

• u₁: =0
• u₂: =0
• φ: ≠0

Punto di vista statico

• R₁: ≠0
• R₂: ≠0
• M: =0

Vincoli Tripli

• Incastro

Ogni punto può essere considerato un incastro, noi prendiamo il punto di singolarità.

Punto di vista cinematico

• {u = 0 v = 0w = 0}

Punto di vista statico

• {R = 0 P = 0M = 0}

Dove c'è continuità gli sforzi, infatti, devono essere gli stessi e anche le rotazioni.

Diagramma di corpo libero

Se consideriamo un vettore R_t, questo può essere scomposto in modo univoco nel piano Md

• Incognite:
• modulo e verso
• modulo e angolo

I valori di R_le e R_p o R_pe e R_n vengono ricavati attraverso relazioni univoche.

Analisi Cinetatica

Tutte e 6 le aste sono vincolate al sistema di riferimento, notiamo che la struttura ABC è un arco a 3 cerniere equivalente.

Andiamo a vedere che i CIR non siano allineati.

Per effetto del pattino in A il CIR coincide con il punto infinito in direzione verticale (lo scorrevole) e in direzione orizzontale).

Per effetto della cerniera in E il CIR coincide con il punto B sulla stessa retta, quindi nello stesso tratto di riferimento.

I CIR non sono allineati, quindi la struttura ABC con i vincoli A-E è un arco a 3 cerniere equivalente vincolata al sistema di riferimento.

Andiamo ancora in sistema isostatico:

• Asta: 3 gradi di libertà
• Vincoli: 2 gradi di vincolo in E e 1 in G

Per effetto della cerniera il CIR è il punto D, per effetto del carrello il CIR è sulla retta che passa per E ed è infinito in direzione verticale, in quanto il movimento consentito è quello in direzione orizzontale.

Non vi è un CIR cutone, in quanto per tale asta dovrebbe appartenere sia alla retta che passa per E, sia al punto D, che è eteropolizzante.

Ne deduciamo che la struttura è non labile e ben vincolata.

Attraverso l'analisi cinetatica possiamo avere un’idea di come si può risolvere la struttura, infatti notiamo che la struttura può essere isostatica e quindi ci consente di poter calcolare le reazioni vincolari esterne.

Reazioni Vincolari Esterne

In alcuni casi si usa la struttura solidificata (non consigliata), ossia la struttura in cui si va a ritrovare i vincoli interni e riportare solo le reazioni vincolari esterne.

Ritrovando i vincoli interni in quanto in un primo passo non ci interessano, ma dirretabilmente non andiamo a calcolare le reazioni vincolari interne.

Riportiamo le azioni trovate sulla struttura:

Check:

• F_E + F_C = 0 = ok
• F = 0 = ok

F_C = 0

F_E = 0

Si introducono la reazione dolore.

Reazioni vincolari interne:

Per via del piano le azioni interne saranno il rotetto e le azioni orizzontale.

In questo caso F_B e H_B per l'asta 1 coincidono con F_B e H_B per l'asta 2 in quanto in quel punto non sono presenti azioni esterne applicate.

Facciamo gli equilibri sulla asta 1:

H_B =

F_E +

F_B e H_B + 0

0 = 0

Non c'è nessun'azione verticale.

Riportando le azioni sulla struttura:

20/11/2019

Il carico non è distribuito lungo la direzione dell'asse baricentrico, ma è distribuito lungo una direzione che è obliqua rispetto a detta direzione. Co ⟂ y-z.

Analisi Cinematica

GdL = 3 x 1 = 3gdv = 1 + 2ø = 3

GdL = gdv = struttura isostatica

Analisi di Labilità

Per effetto del carrello in A il CIR sarà un punto della retta passante per A e per B ortogonale alla direzione di scorrimento.Per effetto della cerniera in B il CIR si troverà su punto B.Notiamo che per c/a non esiste un CIR comune, quindi:

ø≠0 struttura non labile.

Reazioni vincolari Esterne

Facciamo il diagramma di corpo libero.

Per effetto del carrello abbiamo una reazione vincolare in la direzione del movimento imposta.Per effetto della cerniera in B abbiamo una reazione vincolare H_b e V_b.

La lunghezza L_a può essere ricavata L_a = √(c₂ + h₂) oppure c_a c_os θcottg θ

Poiché il carico è costante e pari a S_o, la risultante sarà pari a S_o c sarà applicato in mezzeria.Quindi da un punto di vista statico, se stiamo in punti esterni ai punti di applicazione del carico, possiamo sostituire al carico la forza data per c.

NB. Non abbiamo usato l'altezza dell'ala (c_a in quanto è distribuito lungo un sistema orizzontale.Se il carico fosse stato distribuito lungo la lunghezza dell'ala, avremmo dovuto provare a venire a capo a ciò che va fatto per calcolare le azioni interne (scomposizione carico nella componente longitudinale e trasversale).

Abbiamo 3 incognite (H_a, H_b e V_b), quindi sono sufficienti le equazioni globali della statica per risolvere il nostro sistema.

Scriviamo gli equilibri:

• + Ha - H_b = 0
• + V_b - S_o L = 0
• (t_c)       •_B - Ha L + So L c/2 = 0       •_A Ha = S_o c/2h