Appunti di Analisi 2

Composizione e prodotto

R R Rabbiamo dunque una corrispondenza biunivocan m ×M : hom(R , ) n, : LR M(m R)Infatti risulta che L = F e M = AM LF A n mCon la somma ed il prodotto per uno scalare definti puntualmente, l’insieme hom(R , )Rrisulta essere uno spazio vettoriale e la corrispondenza biunivoca sopra descritta risulta essere unn m∈ ∈ × ∈isomorfismo di spazi vettoriali: per ogni F, G hom(R , ), A, B n, k si haR M(m R), RM = M + M , M = kM , L = L + L , L = kLF +G F G kF F A+B A B kA A28Moscagiuri Pietro Analisi II1.4.3 Composizione e prodottoDate due applicazioni lineari componibilin p mG FR R R→− →−In che relazioni sono le matrici M , M , M◦GF F G ·Definiamo il prodotto tra matrici in modo che M = M M◦GF F G× ×Date due matrici A di tipo m p e B di tipo p n, si definisce il prodotto AB comeAB = M ◦LLA B1.4.4 Proprietà del prodotto di matrici e la matrice identicaˆ Il prodotto per matrici è associativo∀A ×

× ×di tipo m p, B di tipo p q, C di tipo q n

AB)C = A(BC)

Il prodotto per matrici è distributivo rispetto alla somma∀A, × ×B di tipo m p, C, D di tipo p n

A(C + D) = AC + AD e (A + B)C = AC + BC

Il prodotto per matrici è omogeneo∀A × ×di tipo m p, B di tipo p n e per ogni reale k

A(kB) = k(AB) = (kA)B

Il prodotto di matrici non è commutativo

Il prodotto di matrici non rispetta la legge di annullamento del prodotto

Il prodotto di matrici ammette elemento neutro, ossia la matrice identica I

Con l’uso della funzione δ di Kronecker, possiamo descrivere la matrice identica come segue:

(1, i = jI = (δ ), dove δ =n ij ij 60, i = j

1.4.5 Invertibilità

La matrice A risulta invertibile se e solo se l’applicazione lineare L risulta invertibile.

ASimilmente l’applicazione lineare F è un isomorfismo se e solo se la matrice M è invertibile.

F29Moscagiuri Pietro Analisi II

1.4.6 Calcolo del prodotto

pXc = a_ij = a_i1b_1j + a_i2b_2j + ... + a_ipb_pj

L(x) = Ax cioè L = A · x

4.7 Rango di una matrice

Sia A un insieme finito di vettori dello spazio V. Si definisce rango rkA di A la dimensione del sottospazio generato dai vettori di A.

rkA = dimSpanA

rkA = 0 se e solo se i vettori di A sono linearmente indipendenti

rkA ≤ min{#A, dimV}

Una matrice A di tipo m n può essere vista come una n-upla ordinata di

vettori Rn
[ a11 a12 ... a1n ]
[ a21 a22 ... a2n ]
...
[ am1 am2 ... amn ]

Definiamo il rango della matrice A come il rango delle colonne di A, cioè la dimensione del
sottospazio generato dalle colonne di A.

RrkA = dimSpan{colonne di A}

Il rango delle righe coincide con il rango delle colonne!

Il rango di una matrice A dunque è il numero di colonne linearmente indipendenti di A, che
coincide con il numero di righe linearmente indipendenti di A.

In generale Span{colonne di A} = Span{righe di A}, è la stessa solo la dimensione.

Per quanto riguarda le applicazioni lineari, il rango di una applicazione lineare è la dimensione
dell'immagine, dunque possiamo dire che il rango di...

Una matrice coincide con il rango dell'applicazione lineare associata 30Moscagiuri Pietro Analisi II1.4.8 Calcolo del rango di una matrice

Una matrice è detta a scala quando è del tipo:

In modo intuitivo, una matrice è a scala quando è nulla oppure quando il primo elemento diverso da zero di una riga ha alla sua sinistra e al di sotto degli zeri. Possiamo dunque definire che:

• Ogni matrice nulla è a scala;
• Ogni matrice di tipo 1 n (con un unica riga) è a scala;
• Una matrice con almeno due righe e non nulla è a scala quando la prima colonna non nulla ha soltanto la prima entrata diversa da zero (seguita da zeri) e la matrice ottenuta eliminando la prima riga è a scala.

In una matrice a scala, le righe non nulle sono linearmente indipendenti.

Per calcolare il rango si usa un metodo chiamato mosse di Gauss (o operazioni elementari).

Sottovettori di un insieme ordinato A = (v , v , ..., v ) sono:1 2 n

1. Moltiplicare un vettore v per uno scalare non nullo;
2. Sommare a un vettore v un vettore v ;
3. Scambiare di posto i due vettori.

A seguito delle mosse di Gauss, il nuovo insieme ordinato di vettori A avrà:

0 0→SpanA = SpanA rkA = rkA

Con operazioni elementari sulle righe, ogni matrice si trasforma in una matrice S a scala

A A ...A S1 k

Il metodo di riduzione a scala di una matrice attraverso la concatenzaione di operazioni elementari sulle righe viene anche detto "metodo di riduzione di Gauss".

Es.     

-2 -2 -2

1 0 1 0 1 0

-5 ' ' '

3 2 0 1 2 0 1 2

A = S     

-3 2 2 0 1 2 0 0 0

Data una matrice A, supponiamo di averla ridotta ad una matrice a scala S applicando operazioni elementari sulle righe, da quanto detto precedentemente otteniamo:

ˆ Span{righe di A} = Span{righe di S}

ˆ rkA = #righe non nulle di S;

31Moscagiuri Pietro Analisi IIˆ Una base dello spazio generato dalle righe di A è formata dalle righe non nulle di S. Occorre però fare attenzione quando si lavora sulle righe, infatti si avrà:

Span{righe di A} = Span{righe di S} ma in generale 6Span{colonne di A} = Span{colonne di S}. La matrice di A e la matrice di S non rappresentano la stessa applicazione lineare!

1.4.9 *Rango ed invertibilità

Una matrice è invertibile se e solo se quadrata e di rango massimo

Dimostrazione⇐⇒A invertibile L isomorfismo

A n n⇐⇒ →L : , rkL = nR RA A⇐⇒ A quadrata di ordine n, rkA = n

1.4.10 Calcolo della matrice inversa

Con operazioni elementari sulle righe, ogni matrice A invertibile può essere trasformanella matrice identica I ' ' ' 'A A ... A I1 k

Le operazioni elementari che trasformano una matrice invertibile nella matrice identica,trasformano la matrice identica nell’inversa di A.

Su questa proposizione si basa l’algoritmo di

Gauss - Jordan per il calcolo della matrice inversa:

Indicata con [A|I] la matrice ottenuta affiancando la matrice invertibile A e la matrice identica I (del medesimo ordine di A), si applicano alle righe della matrice [A|I] le operazioni elementari che trasformano A nella matrice identica; al contempo la matrice identica invece si sarà trasformata nella matrice A^-1:

[A|I] [A ] ... [A ] [I|A ]

1 1 k k

Sia M la matrice ottenuta dalla matrice identica I attraverso un'operazione elementare. Il prodotto M A è la matrice ottenuta da A attraverso l'operazione elementare sopra considerata.

Dimostrazione

Secondo il lemma appena scritto, trasformare A invertibile nella matrice identica I'

A A A ... A I

1 2 k

significa moltiplicare A a sinistra per matrici M ottenute applicando operazioni elementari ad I

iA = M A, A = M A = M M A, ... I = M A = M ...M M A,

1 1 2 1 1 1 2 k k k 2

1. Poiché A è invertibile ed I = (M ...M M ) A, la matrice B = M ...M M è l’inversa di A.
2. Applicando le stesse operazioni elementari ad A e I contemporaneamente avremo B[A|I] = [BA|BI] = [I|B]

Moscagiuri Pietro Analisi II

1.4.11 Sistemi lineari

Il sistema lineare in n incognite e m equazioni:

{ a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n = b₁
a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n = b₂
...
a_m1x₁ + a_m2x₂ + ... + a_mnx_n = b_m }

Può essere scritto nella forma matriciale:

[ a₁₁ a₁₂ ... a_1n | b₁ [
a₂₁ a₂₂ ... a_2n | b₂ [
...
a_m1 a_m2 ... a_mn | b_m [

Indicando con A la matrice dei coefficienti, x il vettore delle incognite e b la colonna dei termini noti si può riscrivere la forma matriciale come:

Ax = b

Mentre la matrice [A|b] ottenuta accosatando alla matrice dei coefficienti A la colonna dei termini noti si indica con [A|b].

termininoti B è la matrice completa del sistema.

$$\begin{bmatrix} a & a & \ldots & a \\ b_{11} & b_{12} & \ldots & b_{1n} \\ a & a & \ldots & a \\ b_{21} & b_{22} & \ldots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a & a & \ldots & a \\ b_{m1} & b_{m2} & \ldots & b_{mn} \end{bmatrix}$$

4.12 Teorema di Rouché-Capelli

Il sistema lineare Ax = b con m equazioni e n incognite ammette soluzioni se e solo se la matrice dei coefficienti A e la matrice completa [A|b] hanno lo stesso rango.

$$rkA = rk[A|b]$$

Inoltre, detto r = rkA = rk[A|b], le soluzioni dipendono da n - r parametri.

Se $$rk[A|b] = rkA$$ allora $$rk[A|b] = rkA + 1$$.

Nel caso $$rk[A|b] = rkA = r$$ e $$r = n$$, il sistema ha un'unica soluzione.

Nel caso $$rk[A|b] = rkA = r$$ e $$r < n$$, si usa esprimere il fatto che le infinite soluzioni non-dipendono da n - r parametri dicendo che le soluzioni sono infinite.