Appunti di Analisi matematica 1 sulle funzioni elementari

Le funzioni elementari

Lo studio di funzioni reali di variabile reale, ossia funzioni chehanno come dominio un sottoinsieme di α e codominio β,

Sono facilmente rappresentabili nel piano cartesiano.

Se β: A ⊆ ↠ ↠ è una funzione allora il suo grafico è definitocome

Γ(β) = {(x,y) ∈ ℝ² | y = β(x)}

• Monotonia della funzione.Funzione crescente, decrescente, strettamente crescente,strettamente decrescente.

Simmetrie delle funzioni

Se β: A ⊆ &Rop; ↠ si ha che per ogni x ∈ A si ha che -x ∈ A.Allora:

• β si dice che è pari se per ogni x ∈ A abbiamo che β(-x) = β(x).
• β si dice che è dispari se per ogni x ∈ A abbiamo che β(-x) = -β(x).

Una funzione si dice limitata se l'insieme delle immagini èlimitato.

Si ha inoltre che una funzione β: ↠ ↠ è detta periodicadi periodo T > 0 se β(x+T) = β(x) per ogni x ∈ ↠.

Funzione potenza con esponente intero positivo

Si definisce "funzione potenza con esponente intero positivo" lafunzione β: ↠ ↠ e legge

• ...

Le funzioni elementari

Lo studio di funzioni reali di variabile reale, ossia funzioni che hanno come dominio un sottoinsieme di ℝ e codominio ℝ,sono facilmente rappresentabili sul piano cartesiano.

se f: A⊆ℝ⟶ℝ è una funzione allora il suo grafico è definito come

Γ(f)= {(x,y)∈ℝ² | y=f(x)}

• Monotonia della funzione.Funzione crescente, decrescente, strettamente crescente, strettamente decrescente.

Simmetrie delle funzioni

Sia f: A⊆ℝ⟶ℝ una funzione se per ogni x∈A si ha che -x ∈A.Allora

• f si dice che è pari se per ogni x ∈A abbiamo che f(-x)= f(x).
• f si dice che è dispari se per ogni x ∈A abbiamo che f(-x)= -f(x).

Una funzione si dice limitata se l'immagine delle immaginare èlimitata.

• Di ha inoltre che una funzione f: A⊆ℝ⟶ℝ è detta periodicadi periodo T >0 se f(x+T)= f(x) per ogni x ∈D.

Funzioni potenza con esponente intero positivo

Si definisce "funzione potenza con esponente intero positivo" lafunzione f:ℝ⟶ℝ e legge

Le proprietà dipendono dai valori che assume n.

1. se n = 0   f è costante ed f(x) = 1

2. se m è pari   f è non negativa, pari, decrescente per x < 0 e crescente per x > 0

3. se m è dispari   crescente, dispari, negativa per x < 0 e positiva per x > 0

Funzione radice

La funzione radice è la funzione la cui legge è

f(x) = x^1/m   m ∈ ℕ - {0,1}

k ∈ ℝ⁺ se m è pari. Se m è dispari il dominio è ℝ.

(è la funzione inversa delle potenze)

Le sue proprietà dipendono dal valore che assume m:

• se m è pari, la funzione è definita per x > 0, strettamente crescente e non negativa
• se m è dispari, la funzione è definita in ℝ, strettamente crescente

non negativo per x = 0 e positivo per x > 0.

_y = √_x

_{y =} ³√_x

Funzioni esponenziali

Le funzione esponenziale è la funzione reale la cui legge e

f(x) = a^x , con x > 0

Per a = 1 le funzione e banalmente le funzione costante y = 1

Le funzione esponenziale e strettamente positiva e passante per il punto (0,1) per ogni valore x > 0

Per a > 0 le funzione risulta essere strettamente crescente, mentre per 0 < a < 1 e strettamente decrescente

Le funzione esponenziale con a ≠ 1 e ano funzione inietta ma non suriettiva.

a > 1

0 < a < 1

L'esponenziale è la funzione inversa della funzione logaritmo

Funzioni: Esponenziale

Consideriamo l'equazione esponenziale elementare.

^{ax = b , a>0, b>0}

a^x x = log_ab

Quindi possiamo dire che log_ab è l'esponente da dare ad a per ottenere b

Si definisce "funzione esponenziale" la funzione reale avente dominio ^{R+/_{{ 0 }}}, codominio R e legge.

g(x) = log_ax

Con a strettamente positivo e diverso da 1.

Dalla definizione di logaritmo si può notare che la funzione logaritmo e la funzione esponenziale sono inverse fra loro.

e^x

Funzioni Goniometriche

Grado Sessagesimale

Grado Sessagesimale

Si dice che un angolo è ampio 1^o sessagesimo o sessagesimo se è la 360esima parte di un angolo giro.

Di misurano anche in radianti.

Le misure dei radianti è legata alla misura di archi di circonferenza di raggio R. L'angolo è misura 1 radiante se sottende un arco quale a R.

⇒ Lunghezza circonferenza 2πR

Angolo giro 2π radiantiAngolo piatto π radiantiAngolo retto π/2

Se l'angolo di 30^o è la sesta parte di un angolo piatto misura π/6 pi ché l'angolo di 60^o è doppio di 30^o misura π/3

In generale_o

π180^o

Il seno e coseno goniometrico.

Preso un angolo α come in figura, definiamo il coseno e seno di α come rispettivamente l'ascissa e l'ordinata del punto di intersezione del raggio vettore che definisce l'angolo con la circonferenza goniometrica.

Come si può notare in figura le funzioni seno e coseno hanno dominio R ed assumono tutti i valori compresi fra -1 e 1

Un'altra proprietà fondamentale di queste due funzioni è che sono periodiche di periodo 2π:

sin α = sin (α + 2πk)cos α = cos (α + 2πk) k ∈ Z

Il "seno" e il "coseno" sono funzioni di pari e opposto, rispettivamente

LA TANGENTE GONIOMETRICA

Preso un angolo α definiamo la "TANGENTE DI α" come l'ordinata del punto di intersezione del prolungamento del raggio vettore da definire l'angolo con la retta x=1

tg α

TEOREMA =

tg α = _{sin α}/^{cos α}

Dalla definizione di tangente si può notare che la tg per ^π/₂ e

in tutti i multipli di π la tg non è definita.

Un'altra proprietà fondamentale è che la funzione tangente è

periodica di periodo π

tg x = tg(x + πk) k ∈ ℤ

Funzioni goniometriche inverse:

Le funzioni seno, coseno e tangente non sono invertibili nel loro

dominio. Bisogna dunque procedere ad una opportuna restrizione del

dominio e del codominio.

• Per la funzione seno consideriamo l'insieme dei numeri reali

  compresi [-π/₂, π/₂, come codominio l'insieme dei numeri reali

  compresi fra -1 e 1.

• Per la funzione coseno consideriamo come domi

Esercizio.

① È data la funzione f: ℝ ⟶ ℝ con f(x) = x². Dal grafico di f dedurre se f è iniettiva, suriettiva, biettiva.

② Considera la funzione reale chiamata "valore assoluto" avente legge

|x| = {x   x ≥ 0-x   x < 0}

Esercizio ③

Consideriamo una funzione y = f(x). Allora il grafico di y = f(x) + k è quello di y = f(x) ma traslato di k di unità verso l'alto se k > 0 verso il basso se k < 0

• A) y = x³ + 1
• B) y = ln x - 3
• C) y = e^x - 1