Appunti di Analisi matematica 1 sulle funzioni

FUNZIONI

A B ad A

di

insiemi e di

corrispondere

funzione

numeri AinB

e elemento

da ogni

reali, fa

che

una una legge

di .

elemento

solo

un B

insieme di

A

F definizione

dominio

B

A o

: - codominio

F(A) funzione

XEA

ad f(x)

, f EB

l'elemento

la

Corrisponde

y f(x) elemento y

ogni Tramite =

= [F(A) B]

· SURIETTIVA F(x)

A

FyeB Y

Almeno

se esiste un Xe : =

=

EA

EX1

FINIETTIVA Xe

Xz F(x

+ f(x2)

xz

Se 1) +

=

· ,

Esempi : x3

X 2

R R Rg(x)

:

F f(x) :I

1 2 g -

- = =

Y

f(x) f(Xz) 1 reniettiva suriettiva

e

= =

F è iniettiva

non

-

-F ,

e suriettiva

non

/R IR h(x)

3h senx

+

: = f(0) F

#

Xo X1

0 0 ↑

(IT)

·

↑ =

=

= =

, isty

mi ne suriettiva

e iniettiva

non

F 2) c)

[

+ :

n 1

- -

12

: .

FUNZIONE BIETTIVAIBIUNIVOCA funzione suriettiva

iniettiva

e

se la e

:

ha funzione

F A- B

Def biuniloca INVERSA

,

:

: È

F" F(x)

fyeB XEA

corrispondere

funzione l'unico

B che

A la fa Y

+ :

: =

F" (f(x) FxA

X

=

x2 e invertibile

ES F(x) per 0

x =

: = 2

f(x) (0 20 a)

f 00)

X +

+ +

:

= . . =

è

inversa F"

sua

La (x)

dice A delle

insieme

Def verifica

f MONOTONA in seguenti

Si condizi

se una

un

: ,

F (F(x2)

f(x1)

Crescente

Sirerramente X <Xz >

=

1

- f(x

F F(x2)

Crescente 1)

x1 <X2 =

>

=

- F(x2)

F(X1)

Strettamente

-F decrescente X1 (xz => <

-F decrescente F(x1) F(x2)

X1(Xz =

=-

INVERTIBIUTÀ invertibile

Fe e

DI

CRITERIO allora .

monotona

Strettamente

: ,

sem-o costante

ye

~

UNEARE

FUNZIONE 9

MX

Y +

= ↳ angolare

.

coeff

X"

POTENZA FxEIR

F(X

FUNZIONE =

3 n

n = 2

= n 1

= cioè

Strettamente crescente per 0

x = :

.

>xd

0 (x2

(X X

>

=

+ ,

"

*

e F"

e

quindi l'inversa

invertibile x

e x0

(x)

· =

= ,

1

n = =

y

2

n =

- EIR

F(x) aX A20

ESPONENZIALE

FUNZIONE : = ,

a ex 1

oca

y <

= F

↳ la esponenziale

a + 1

se . il

invertibile diventa

è logaritmo

e

decr

Sirert

Streit Cress .

. .

FUNZIONE LOGARITMO logaX

F(x)

: = a)

M

>a

109qx y Oca

y <

=

=

= >

FUNZIONE ASSOLUTO

VALORE :

p

=

X

(x) r =

+(

= -

· M

S X +20

;

XI

| (X)

y

= =

Xix70

- >

21 VX

2/1/Xil

+

IX + x2

· 1 ,

TRIGONOMETRICHE

FUNZIONI

y cost

senx y

= = COSXI

Senx =

-1

1 = 1

·

· la F(x) Senx

consideriamo funzione

>

- = X

ExelR-So3

definita

Dominio Xo -

: asse y

simmetrica

Funzione rispetto

F)-x)

F(x)

PARI -

· : =

↳ [f(x) -f(x)] quindi

dispari sx

sono

sin(x) x

e e pari

=

Senti Er

-1 -- S *

= y

Y t

= -

OSS : quindi sen rami

>

- i

tra

compresa

N u

112x2 3

| X -

- >

definita in

è Vicino

Non .

o

x =

+2

0

>

- 50

. , Considero

vicino

Per a la

Xo Xn-Xo f(Xn) dai

successione

un (Xo

punto 0) costituita

e

X valori

= .

assunti da f(x) . limite

e (che

Se f(x)

-Xo)

EXn uguale

f(xn) allora ammette

e Stesso

lo

a numero

converge un

· ,

l

a per x Xo .

F(xn)

lim Sen(xn)

lim 1

· = =

n

n -

+ + 0

- d Xn

-

~ lim

lim f(x) genx 1

= =

1 0

X 0 -

- X

UNA

LIMITE

IL DI FUNZIONE a l

Sia A EA

intervallo Si dice che tende

limite che

f(x) uguale

un ha

Sia Xo

Xo se Xn con

per a

e exo

y

. ,

,

XnEA -l

En

Xn riguita F(xn)

0

+

e . .

fixc=l 14-2016

78c0 /Fix)-261E

lim ExeA

feco +

: O

es :

, ,

1 Xo

- limiti

Teorema di An)

f(x)

(legame tra e

Le equivalenti

relazioni

seguenti sono :

AnEAlExo3

f(x) C -l

EXn-Xo

lim EneI f(xn)

· =

=

* Xo

>

- -X Xo

*

/x-xolc8

JS XEA elcE

(f(x)

Eco +

0 =>

:

· -

,

-

def

valgono i limiti

anche Con

le

- . AneA1Exo}

F(x)

lim EXn-Xo Ene f(xn) &

+ +

( =>

o = -

· = ,

1 X0

- 5630 1x-to1S

FxeA

M

F(x)

=> <

M >0 +

0

: :

.

e el

<<

f(x)

lim XneA EneIN f(xn)

0

+

Xn-e =

· = .

.

X d

+

- FExo -lIE FxeA

In /f(x)

> >k

> : :

,

FXn-+do

lim FEI

f(x) XneA ) f(xn)

+o < < +d

· -

=

= , ,

X +d

- M OJK ExeA

M

f(x) >k

>

<c >

: :

,

È (X-Xo) quando

il

Considerare avvicina

Utile ci

il (X-Xo+) LIMITE to

si

SINISTRO

Oss LIMITE a

DESTRO e

: maggiori

solo o

valori .

Minori

Con e

lim f(x) 780 /F(x)-fIE S

VExo ExeX <X-to >

· :

=

Xot

X -> S

XoX > Xo +

=e

lim f(x) 7830 /f(x)-l/E ExeX-SX-

VEso 0

to >

· :

X Xo-

- - 8 XoX) Xo

+

lim dimostriamo che

Senx

ES . X + 0

- l

Se dovremmo

lim avere

senx

esistesse :

= 1 + a

-

>C

F(xn) VXne

Sen(n) 0

+

-

= Xn divergono

Xn Xn

a sen

ma

+ro,

e ,

senth diversi

tendono valori

a

e

Considero Xn 21TM SenXn o

Senaitn o - .

= =

=

Xn Xn (2)

ath

e +

considero Sen

Sen

e

= =

Z

lim

che Cost

Es Verificare

. 1

=

X 0

- oc/x-Xo18

/f(x)-elCE ExeX

7830

FEcO : ↳ Xo (X18

0 >

-

=

IcoSX-1/sE di

formula prostaferesi

-

Il Sen

-2 Sena

CoSp-cosq

COSX-Coso = . -sen

Sen

-2Senx . =

= 2 2

I senx1

disuguaglianza X

Vale la

oss =

: Sen

ICOSX-11 2 E

ICOSX-11

=> = x2 E

,

2 1x1s

X2 2E s

ve

S ICosX-1lE#

IX1S

Ponendo risulta che

= ,

OPERAZIONI CON ILIMITI FUNZIONI

DI

Il della

limite due funzioni

differenza di

aloziente alla

prodotto ,

è Somma

Somma uguale

, ,

,

differenza dei

quoziente limiti

prodotto inder

forma

purché sia

2 una

non

, .

,

LIMIT NOTELOL

S

at

lim + a

20 ;

=

X 0

+

-> 1

0(a

0 >

j e" e-m

particolare lim

In x

lim

+o

= 0

=

to

X X 0

+0

- - -

logx log(x)

lim lim

too -a

· = =

* Ot

X +0

- -> x0

>

↳

E)"

(1 e

lim + =

· x d

- -[10]

e)"

(1 eb

lim +

· =

x d

- 1

(f) e

(1

In F(x,

generale + -

: >

-

con f(x) -0

lim senx 1

=

X 0 X

- 1

>

-

.

sen

1-cos

lim COSX

1

(1-COSX)( COSx)

1-cOSX +

= -

> = =

=

-

X 0

- X2 x2

x2(1 osx

(1 COSX)

+

COSX)

+ ↳ 1