Appunti di analisi 1 su Insiemistica, sup, inf, massimo e minimo

Indice documento

• Notazioni di teoria degli insiemi
• Insiemi dei numeri
• Proprietà dei numeri reali
• Proprietà di ordinamento
• Valore assoluto
• Proprietà valore assoluto
• Insiemi limitati superiormente e inferiormente
• Maggiorante e minorante
• Estremo superiore ed inferiore
• Massimo e minimo
• Completezza secondo Dedekind
• Teorema dell'esistenza dell'inf e del sup
• Proprietà caratteristica dell'estremo superiore
• Proprietà caratteristica dell'estremo inferiore
• Proprietà di Archimede
• Lemma di Archimede
• Definizione di denso
• Teorema della radice ennesima
• Definizione di radice ennesima razionale
• Potenze con esponente reale
• Proprietà di monotonia

Analisi 1

Notazione teoria degli insiemi

Un insieme è una collezione di oggetti (usualmente chiamati elementi dell'insieme). Un elemento a si denota appartenente all'insieme A: a ∈ A. Se a non appartiene ad A, si scrive a ∉ A.

Assioma: Esiste l'insieme vuoto (∅), cioè un insieme dove non esiste alcun elemento.

Confronto: Due insiemi A e B si dicono uguali se ogni elemento di A è elemento di B e viceversa: (∀a ∈ A ⇒ a ∈ B) ∧ (∀b ∈ B ⇒ b ∈ A).

Operazioni tra due insiemi: Siano A e B due insiemi:

1. A ∪ B = { x ∈ A oppure x ∈ B }
2. A ∩ B = { x ∈ A ∧ x ∈ B }

Definizione: Diciamo che A è contenuto in B (A ⊆ B) se ∀a ∈ A ⇒ a ∈ B. Se A ⊆ B, allora B \ A = { b ∈ B, b ∉ A }.

Prodotto cartesiano

Siano A, B due insiemi:

1. A × B = { (a, b) | a ∈ A, b ∈ B }

Insieme dei numeri

1. Insieme dei numeri naturali: N = {0, 1, 2, 3, ...}. In N è lecita l'operazione di somma e prodotto (non di divisione e sottrazione).
2. Insieme dei numeri relativi: Z = {..., -1, 0, +1, +2, ...}. In Z è lecita l'operazione di somma, prodotto e differenza (non divisione).
3. Insieme dei numeri razionali: Q = {^p/_q , p, q ∈ Z}. In Q sono lecite tutte le operazioni.

Nota: Due elementi di Q, ^P₁/_Q1 e ^P₂/_Q2, sono uguali se e solo se ^P₁/_Q2 = ^P₂/_Q2 ⇔ P₁q₂ = P₂q₁ ∈ Z.

Banalmente ^p/_q = ^p·k/_q·k   ∀ k ∈ Z. Quindi un numero razionale non è determinato univocamente attraverso una coppia (p,q) di numeri interi.

Attraverso la divisione tra p,q ∈ Z: ^p/_q = c₀c₁c₂ ... c_m con c ∈ Z, c₀,... c_m ∈ {0,1,...,9}.

Teorema di Pitagora

d² = 1 + 1 = √2. √2 non è un numero razionale.

Proviamo che √2 ∉ ℚ.

Per assurdo: √2 = ^p/_q, p, q ∈ ℤ, p e q primi tra di loro (non hanno un comune divisore).

Si eleva al quadrato: √2 = ^p/_q => 2 = ^p2/_q² ossia 2q² = p² (1).

⇒ 2 divide p² : p.p ⇒ 2 divide p ⇒ p si può scrivere come 2mp = 2m => p² = 4m².

Da (1) ne segue che: 2 q² = 4m² ⇒ q² = 2m² ⇒ 2 divide q² ⇒ 2 divide q per lo stesso motivo della dimostrazione di prima.

Quindi 2 divide sia p che q, ma avevamo detto che p e q erano primi tra di loro, quindi è una contraddizione e quindi √2 ≠ ^p/_q.

√2 ≠ c₀c₁...c_m. √2 = c₀c₁... → infinito.

Insieme dei numeri reali

Definizione: si definisce &strong;ℝ = {c₀, c₁, c₂, ...}.