Appunti di analisi 1 su Insiemistica, sup, inf, massimo e minimo

Indice documento:

• Notazioni di teoria degli insiemi
• Insiemi dei numeri
• Proprietà dei numeri reali
• Proprietà di ordinamento
• Valore assoluto
• Proprietà valore assoluto
• Insiemi limitati superiormente e inferiormente
• Maggiore e minore
• Estremo superiore ed inferiore
• Massimo e minimo
• Completezza secondo Dedekind
• Teorema dell'esistenza dell'inf e del sup
• Proprietà caratteristica dell'estremo superiore
• Proprietà caratteristica dell'estremo inferiore
• Proprietà di Archimede
• Lemma di Archimede
• Definizione di denso
• Teorema della radice ennesima
• Definizione di radice ennesima razionale
• Potenze con esponente reale
• Proprietà di monotonia

ANALISI I

Notazione teoria degli insiemi

• Un insieme è una collezione di oggetti. (di solito chiamati elementi dell'insieme)
• Un elemento a si annota appartenente all'insieme A:

a ∈ A

a non appartiene ad A si annota:

a ∉ A

Assioma: esiste un insieme vuoto (∅) insieme dove non esiste alcun elemento.

Confronto: due insiemi A e B si dicono uguali se ogni elemento di un insieme è nell'altro:

∀a∈A ⇒ a∈B e ∀b∈B ⇒ b∈A

Operazioni tra due insiemi

1. Unione: A ∪ B = { x | x ∈ A oppure x ∈ B }
2. Intersezione: A ∩ B = { x | x ∈ A e x ∈ B }

Definizione

Diciamo che A è contenuto in B (A ⊆ B) Se ∀a∈A ⇒ a∈B

Se A ⊆ B, B\A = { b∈B | b ∉ A }

Prodotto cartesiano

Siano A, B due insiemi:

A × B = { (a,b) | a ∈ A , b ∈ B }

Proprietà dei numeri reali:

1. Proprietà associativa

   (a+b)+c = (a+b)+c

2. Proprietà commutativa

   a+b = b+a

3. Proprietà distributiva rispetto la somma

   (a+b)·c = a·c + b·c

   (a·b)·c = a·(b·c)

4. Esistenza dell'elemento neutro

   ∀!x∈ℝ → x+y = y ∀y∈ℝ

   esiste (∃!) ed è unico (!) l'elemento neutro, dove x=0

5. Elemento opposto

   ∀a∈ℝ ∃!b: a+b=0 dove (b=−a)

6. Reciproco di un numero reale

   ∀a∈ℝ ∃!b∈ℝ a·b=1 (b: ¹/_a oppure b=a⁻¹)

   Nota 1 è l'elemento unità rispetto al prodotto:

   ∀a∈ℝ a·1 = 1·a = a

7. Legge annullamento del prodotto

   x·y=0 ⟺ x=0 oppure y=0

   • Dimostrazione: - supponiamo che:

     x=0

     Allora 0·y = (0+0) y = 0·y + 0·y ⟹ 0 = 0·y

     - ipotesi ⟹ x=0 Supponiamo x≠0 e proviamo y=0 Essendo x≠0 per l'esistenza del reciproco \[¹/_x · x·¹/_x=1

Usando la definizione di valore assoluto:

-x ≤ |x| -x ≤ |-y| ⇒ -x - y ≤ |x| + |y| ⇔ -(x + y) ≤ |x| + |y|

Quindi: |x + y| ≤ |x| + |y|

DIMOSTRAZIONE

x = (x - y) + y |x| = |(x - y) + y| ≤ |x - y| + |y| |x| - |y| ≤ |x - y| PROPRIETÀ TRIANGOLARE

y = (y - x) + x |y| = |(y - x) + x| ≤ |y - x| + x

Sono entrambe dimostrate perché dobbiamo dimostrare sia |y - x| ≤ |x| - |y| sia l'opposto |x| - |y| ≤ |x - y|

Assioma (completezza secondo Dedekind)

Dati due insiemi A, B R

Se A ≤ B⟹ C R: A ≤ {c} ≤ B

Quindi esiste un elemento di separazione c, che è un numero reale compreso tra A e B.

(A) ( ) (B)

Teorema dell'esistenza di sup-inf

Le seguenti affermazioni sono equivalenti.

1. Completezza secondo Dedekind
2. xR limitato superiormente ⇒ minimo A^* = x R x* è chiamato sup (estremo superiore di A)
3. xR limitato inferiormente ⇒ massimo A_* = y R (y è detto estremo inferiore di A)

Dimostrazioni

Dimostriamo che sono equivalenti.

1. ⟹ (2)
2. ⟹ (1)

Dimostriamo (1) ⟹ (2)

Ipotesi

Sia A R limitato superiormente ⇒ A^* ≠ ∅, A ≤ A^*

Dalla completezza secondo Dedekind (1):

∃c R: A ≤ c ≤ A^*

Quindi proviamo che c è minimo di A^*

1. c ≤ x ∀x A^* è vera poiché secondo Dedekind A ≤ c A^* ∀x ∈ A
2. c c ≤ A è vera per c ≥ A, quindi c è maggiore di ogni elemento di A

Quindi c fa un minimo di A^*

Verificata

Proprietà di Archimede

Detto che:

• per ogni x numero reale con x > 0
• ∀x ∈ R con x > 0

Prendiamo un numero qualunque:

• ∀y ∈ R allora

∃m ∈ N: m·x > y

Prima di dimostrare la proprietà di Archimede dobbiamo aprire una parentesi:

Relazione di Buon Ordinamento

Sia A un insieme non vuoto

e sia R un ordinamento parziale di A

R si dice di buon ordinamento se ogni volta che fisso un sottoinsieme di A non vuoto si ha un minimo rispetto ad A, in simboli:

• (B) ∀C ⊆ A ∃ minimo C (minimo rispetto a R)
• (R, ≤ ) R è ben ordinato? NO C = ]0, 1, 2[
• (Z, ≤ ) Z è ben ordinato? NO C = ]0, 1, 2[
• (N, ≤ ) N è ben ordinato? Sì, perché ogni sottoinsieme di N ammette minimi

Esercizio

Fissato un naturale \( m \in \mathbb{N} \) \( m \ge 2 \)

• Trovao lΛ

\( Λ = \left\{ q^m \, : \, q \in \mathbb{Q}, \, q > 1 \right\} \)

Proviamo che

\( \inf Λ = 1 \)

Dimostriamo con la 1^a e la 2^a proprietà dell'estremo inferiore

1. \(1 \leq \inf \left\{ q^m : q \in \mathbb{Q}, \, q > 1 \right\} \)
2. \( (2) \)

Prendiamo come \( b: = \inf \left\{ q^m: q \in \mathbb{Q}, \, q > 1 \right\} \)

\(\exists b\)

Dobbiamo provare che:

1. \( b \) non è un minimo di \( Λ \) perché se fosse minimo \( b \) si scriverebbe \( b = q^m \)

quindi consideriamo:

\( 1 < \frac{1 + q}{2} < q \)

\( q > 1 \to q + 1 > 1 + 1 \to q + 1 > 2 \to \left\{ 1 < \frac{1 + q}{2} \right\} \)

\( 1 < q \)

\( 1 + q < q + q \quad \) divido per \( q \left\{ \frac{1+q}{2} < q \right\} \)

Si eleva alla m:

\( 1 < \left( \frac{1+q}{2} \right)^m < q^m \)

Ma:

\( \frac{1 + q}{2} \in \mathbb{Q} \) quindi \( b \) non può essere minimo di \( Λ \)

DEFINIZIONE che c’è unico l’unico elemento di separazione tra A e B lo denotiamo x√^y

Domanda

∀x>0 e ∀y∈ℝ posiste sempre un numero reale z∈ℝ : z^y=x?

SCHEMA DI DEFINIZIONE

x√ delmito quando:

1. base x>0 ⟹ ^y√x delmito per ∀y∈ℝ
2. base x=0 ⟹ ^y√x delmito per ∀y>0

Osserviamo che: 0⁰ non è delmito (-) ⁰√x = ^y√x ÷ 1, y≤0 non è delmito

3. base x<0

Osserviamo che: ¹√x = ³√(-x)² quindi se x<0 è delmito solamente per m dispari, m∈N

z^m se m dispari ha senso (√ x) (x<0)

Osserviamo anche che: x√^m = (√ⁿ)^m = (√ⁿ)√^mx

x√ ha senso solo se ^y√∈Q tale che

^{1y, y ∉} ha no significato

Distinguamo due casi:

1. se m è pari
2. ⟹ x√^m ha senso anche se x<0 poiché m√>0
3. se m è dispari, (x<0)
4. ⟹ x√^m ha senso solo se x√ è dispari