Appunti su estremi superiori e inferiori

Insiemi limitati, maggioranti, minoranti, massimo e minimo.

Sia X un insieme totalmente ordinato.

Sia E ⊆ X, E ≠ ∅.

Definizione

• Diciamo che E è limitato superiormente se esiste M ∈ X t.c. x ≤ M, per ogni x ∈ E.

Tale M si chiama maggiornate per E.

• Diciamo che E è limitato inferiormente se esiste m ∈ X t.c. m ≤ x per ogni x ∈ E.

Tale m si chiama minorante di E.

• Diciamo che E è limitato se E è limit. sup. e inf.: esistono m, M ∈ X t.c.

m ≤ x ≤ M ∀x ∈ E

OSS: In generale un maggiorante (minorante) appartiene a X e non necessariamente a E

Def: Diciamo che E ammette massimo se esiste un maggiorante per E che appartiene a E.

Diciamo che E ammette minimo se esiste un minorante per E che appartiene a E.

ES

1. ℕ = {0, 1, 2, 3, ...} non è limit. sup. è limit. inf.

   ℕ ammette infiniti minoranti e ammette minimo: 0

2. E = {1, 1/2, 1/3, 1/4, ..., 1/n, ... }

   1 è un maggiorante per E:

   ¹/_n < 1   ∀n ∈ ℕ

   In realtà 1 è il massimo di E.

   0 è un minorante per E:

   0 ≤ ¹/_n   ∀n ∈ ℕ

   non esiste il minimo ∈ E

se esiste inf E ∈ E allora esiste

min E e min E = inf E

^R4 X verifica le [proprietà dell'estremo superiore]

se ogni sottoinsieme E di X non vuoto

e limitato superiormente ammette

estremo superiore in X.

Definizione assiomatica di R :

Definiamo insieme dei numeri reali e lo indi

chiamo con R un insieme che soddisfa

R1), R2), R3) e R4)

OSS: La proprietà R4) è equivalente alla

[proprietà dell'estremo inferiore] che si può

facilmente scrivere a partire da R4)