Estremo superiore e inferiore;caratterizzazione sup ed inf con dimostrazione

• ESTREMO SUPERIORE E INFERIORE
• CARATTERIZZAZIONE SUP ED INF

• ESTREMO SUPERIORE E INFERIORE
• CARATTERIZZAZIONE SUP ED INF

ESTREMO SUPERIORE ED INFERIORE

DEFINIZIONE ESTREMO SUPERIORE

Sia A un insieme di numeri reali non vuoto (A ⊂ ℝ) e limitato superiormente.

Diciamo che M∈ℝ è l'estremo superiore di A se M è il piccolo minimo dei maggioranti di A.

M = sup A

DEFINIZIONE ESTREMO INFERIORE

Se A è un insieme di numeri reali non vuoto limitato inferiormente, allora l'insieme dei minoranti di A ha massimo, cioè un numero m è l'estremo inferiore di A se m è il massimo dei minoranti di A.

m = inf A

Assioma di Completezza (Teorema: esistenza estremo superiore)

Supponiamo che A sia un insieme non vuoto di numeri reali (A ⊂ ℝ) limitato superiormente, allora ammette estremo superiore supA in ℝ cioè esiste il minimo dell'insieme dei maggioranti di A.

Segue subito che:

Ogni insieme di ℝ non vuoto e limitato inferiormente ammette estremo inferiore (infE) in ℝ.

CARATTERIZZAZIONE DEL SUP E DELL'INF

Sia A un insieme non vuoto di R limitato,

Allora valgono le seguenti proprietà

M = sup A <=>                       M ≥ a    ∀a ∈ A        ∀ε > 0 ∃ a̅ ∈ A t.c. M - ε < a̅

Dimostrazione

1) Sia M = sup A. Allora M ≥ a per ogni a ∈ A perché M è un maggiorante di A.Inoltre, nessun numero più piccolo di M, diciamo M - ε, con ε positivo, è un maggiorante di A.Negare che M - ε sia un maggiorante di A equivale a dire che esiste

        a̅ ∈ A t.c. M - ε < a̅

2) Viceversa, supponiamo che valgano le due condizioni a destra.Allora:

• La prima dice che M è un maggiorante di A.
• La seconda afferma che nessun numero più piccolo di M, espresso nella forma M - ε, è un maggiorante di A

Segue M = sup A