Appunti di Analisi 1: Calcolo differenziale

9^a Proposizione (Discontinuità).

Detta una f crescente (o decrescente) definita in I, intervallo chiuso, si osserva che:

• Per i punti interni (x₀), x₀ ∈ ]a, b[

f(x₀) = lim_{x →x0} f(x) ≤ lim_{x →x0} f(x) = f(b)

È possibile avere una discontinuità di 1^a specie.

• Per i punti agli estremi (a, b)

f(a) = lim_{x →a⁺} f(x) f(b) = lim_{x →b^-} f(x)

È possibile avere una discontinuità di tipo eliminabile.

NB. se la f è decrescente vale il ragionamento inverso.

3^a Proposizione - Teorema di continuità delle funzioni monotone

Seguendo che il codominio è un intervallo ed la funzione è crescente allora per questo teorema: le funzione è continua (cioè l'inverso di Weierstrass).

f : [a,b] → ℝ = [β(a), β(b)], β(b) ∈ [m, M]

f monotona in [a,b], intervallo chiuso e limitato.

⇒ f continua in [a,b]

Calcolo differenziale

Detta la funzione f : ℝ → ℝ e x₀ pt. di acc. per I con x ∈ I

allora f si dice derivabile se esiste finito il limite per

x → x₀ di (f(x) - f(x₀) / x - x0) = f'(x₀).

f derivabile ↔ ∃ lim_{x →x0} (f(x) - f(x₀) / x - x₀) = l ∈ ℝ

f(x) - f(x₀) x - x₀

viene detto rapporto incrementale ed indice di quanto meno la funzione z all'incrociarsi x - x₀.

Retta secante

Proposizione – Una funzione è derivabile solo se è continua

f derivabile in x₀ → f continua in x₀.

Dimostrazione: Hp lim_x→x0 f(x) − f(x₀) = f(x) ∈ℝ; Th lim_x→x0 [f(x) − f(x₀)]=0;

f(x) − f(x₀) = f(x) − f(x₀) * (x − x₀) * 1/(x − x₀) = 0 → → lim f(x) − lim f(x) − (x − x₀)=0 → poichè f(x) - f(x₀)/(x − x₀) → f'(x) ed (x − x₀) → 0;

Operazioni con i limiti le derivate

Date le funzioni f(x) e g(x) ed le costanti c, b ∈ ℝ abbiamo:

• Somma: [f(x) + b(x)]' = f'(x) + b'g(x);
• Prodotto: [f(x) ⋅ g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x);
• Quoziente: [f(x)/g(x)]' = f'(x)g(x) − g'(x)f(x)/g²(x);
• Composte [g(g(x))]' = f'(g(x)) ⋅ g'(x).

Dimostrazione derivate semplice: (c ⋅ f(x))' = c ⋅ f'(x) lim f'(x) = lim f(x) − f(x)_x→x0 = f'(x₀).

Osservazioni sulle funzioni costanti

Det. una funzione costante la sue derivate prime sarà zero.

Teorema di Rolle

Det. una funzione continua in [a,b], suo intervallo di definizione derivabile nei punti interni ]a,b[ e che agli estremi assume lo stesso valore, allora per il Teorema di Rolle esiste un punto c interno all'intervallo ]a,b[ tale che la derivata prima in quel punto f(c) = 0

Dimostrazione

Th ∃ c ε ]a,b[: f'(c) = 0

Se la funzione è costante allora la dimostrazione è ovvia. In caso contrario, per il Teorema di Weierstrass la funzione è dotata di massimo e minimo assoluti. Siano x̄ e x ᷉ i valori che inseriti nella funzione ci restitui. siano il massimo ed il minimo; f(x̄) = m e f(x ᷉) = 1,

Per ipotesi almeno una dei due è interno all'intervallo ]a,b[.

Supponendo che f(x̄) = m sia interno, allora per il teorema di Fermat esso ha derivata prima nulla: f'(x̄) = 0.

Possiamo concludere dicendo che il teorema di Rolle è una limite conseguenza del teorema di Fermat.

Teorema di De L'Hopital (Caso 0/0)

Siano f(x) e g(x) due funzioni che tendono a 0 per x → x̄. Il loro rapporto è una forma indeterminata per x → x̄, assumendo le funzioni sono derivabili in ]a,b[, g(x), g̍(x) sono diverse da 0 in ]a,b[, allora per il teorema di De L'Hopital esiste il limite per x → x̄ di f(x)/g(x) ed è uguale il limite per x → x̄ di f̍(x)/g̍(x).

f,g derivabili in ]a,b[

lim f(x) = lim g(x) = 0; g, g̍ ≠ 0 in ]a,b[

=⇒ ∃ lim f̍(x) / g̍(x) = lim f̍(x) / g̍(x)

NB: Il teorema vale anche nei casi: x̄= -∞, x̄→ b⁻, x̄ = +∞.

Vale solo nel caso delle forme: 0/0

Dimostrazione con il Teorema di Cauchy

Teorema di Cauchy

Se f(x) e g(x) due funzioni continue in [a,b] e derivabili in ]a,b[, se g̍(x) ≠ 0 ∀ x ∈ ]a,b[, allora esiste un punto x₀ ∈ ]a,b[ per cui: f(x) / g(x) = f(b) - f(c) / g(b) - g(c)

Riscrivo tale dimostrazione

Si procede in modo tale alla dimostrazione del Teorema di Lagrange utilizzando le funzioni:

h(x) = f(x) - [ f(b) - f(c) / g(b) - g(c) ] [ g(x) - g(a) ]

Derivando si ottiene: h̍(x) = f̍(x) - [ f(b) - f(c) / g(b) - g(c) ] - g̍(x)

Teorema di De L'Hopital (Caso ±∞/±∞)

Siano f(x) e g(x) due funzioni che, in valore assoluto, tendono a ±∞. Il loro rapporto è una forma indeterminata per x → x̄.

precede come ordine di infinitesimo l'ordine di quelle funzioni.

Principio di cancellazione degli infinitesimi:

g(x) = f₁(x) + f₂(x) +...+ fₙ(x) con lim_x→x₀ fᵢ(x) = 0

se ord(fᵢ) < ord(fⱼ) ∀ i ≠ 1 ⇒ ord(β) = ord(fⱼ)

De notare, se ci troviamo in presenza di sotto-funzioni che hanno lo stesso ordine di infinitesimo non esiste una regola specifica, ma si può provare a considerare le somme di due funzioni come una funzione.

Formule di Taylor

Seconda queste formule ogni funzione può essere scritta come un polinomio.

Data una funzione f, continua in [a,b] e derivabile in x₀ ∈ [a,b] possiamo scrivere che:

lim_x→x₀ ^f(x)-f(x₀)/_x-x₀ = f'(x₀) ∈ ℝ. Lim_x→x₀ ^f(x)-f(x₀)/_x-x₀ = 0 ⇒

⇒ lim_x→x₀ ^f(x)[f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀)]/_x-x₀ = 0 ⇒

⇒ f(x) = f(x₀) + f'(x₀)(x-x₀) + o(x-x₀).

Formule di Taylor (con il resto di peano)

Data una funzione g derivabile n-1 volte in I = [a,b], x₀ ∈ [a,b], allora esiste un polinomio tale che: lim_x→x₀ ^{f(x)–Pₙ(x)}

Polinomio di Taylor di g nel punto iniziale x₀ e di ordine n: Pₙ(x) = g(x₀) + f'(x₀)(x-x₀)+^{f"(x₀)(x-x₀)²}/_2!+^{fⁿ⁽ᵍˣ⁽x₀ˣⁿ⁾}/hⁿ+o(x-x₀)ⁿ.

Dove g' significa derivata ennesima.