Appunti di Analisi 1: Calcolo differenziale

(ₒ) , ₒ...

- ≤ (ₒ) ≤ ;

...

() ₒ ,

() = ... ≤ ()

→ ₀

...

3^a - à

...

...

...

...

...

⇒

Veso f_xϵ I, x_0 ϵ I: l-ε < f(x) ≤ l;

Per x > x_0 risulta f(x) ≤ f(x_0) e dunque: l-ε ≤ f(x_0) = f(x) ≤ l → l+ε

9^a Proposizione (Discontinuità)

Detta una f crescente (o decrescente) definita in I, intervallo chiuso, si ha che:

• Per i punti interni (x_0), x_0 ϵ ]a, b[

f(x) = lim_{x→x_0^-} f(x) ≤ f(x_0) ≤ lim_{x→x_0⁺} f(x) = f(b)

È possibile avere una discontinuità di 1^a specie.

• Per i punti gli estremi (a, b)

f(a) = lim_x→a⁺ f(x); f(b) = lim_x→b^- f(x)

È possibile avere una discontinuità di tipo eliminabile.

NB. Se la f è decrescente vale il ragionamento inverso.

3^a Proposizione - Teorema di continuità delle funzioni monotone

Sapendo che il codominio è un intervallo e la funzione è crescente, allora per questo teorema: la funzione a sinistra (cioè l'inverso di Weierstrass).

f: [a, b] ϵ IR → I ⊆(a, b), f ∈ ]a, b[ ⊆ [m, M]

f monotona in [a, b], intervallo chiuso e limitato.

⇒ f continua in [a, b]

Calcolo differenziale

Detta la funzione f: I ⊆ IR → IR e x_0 pt. di acc. per I con xϵI

allora f si dice derivabile se esiste finito il limite per

x→x_0 di (f(x) - f(x_0)) / x-x_0:

f derivabile ⟺ ∃ lim_x→x0(f(x)-f(x_0)) / x-x₀ = l ϵ IR

f(x) - f(x₀) x - x₀

verso detto rapporto incrementale ed indice di questo retta la funzione y f(x₀) Rette secanteRette tangente

le rette tangente esista solo nel caso in cui sia e f(x) finito il limite del rapporto incrementale Essa si otte dalla seguente relazione y = f(x₀)+f´(x₀)(x-x₀) NB. Se non esiste il limite delle rette secanti allora non esiste la rette tangente inoltre se le funzione presento spigoli, esse non sono derivabili, nello spigolo e le rette tangente sono parallele all'asse y.

Proposizione Una funzione è derivabile solo se è continua.f derivabile in x₀ -> f continua in x₀

Dimostrezione: HP lim x->x₀ (x-x₀) ∃ IR; Th lim

f(x) - f(x₀)x - x₀= lim dx->x₀ f(x) f(x₀) x - x₀

= lim f(x) f(x₀) lim f(x) f(x₀)

Poichè lim f(x) f(x₀) -> f(x₀) ed (x-x₀) -> 0

Operazioni con i limiti le derivate.

Dette le funzioni f(x) e g(x) ed le estenti a, b ∃ IR otteniamo:

• Somma: (a)f(x) + b g(x) )= a f'(x) b g'(x);
• Prodotto: (f(x)·g(x)) = f'(x)g(x) f(x)g'(x);
• Quoziente: f(x)g(x) = f'(x)g(x) - g'(x)g(x)                                                                                                                                                                                                                                                                  &nb