Appunti Analisi 1

Disuguaglianza di Bernoulli:

∀ x ≥ -1     (1+x)ⁿ ≥ 1+n x     ∀ n ∈ N

Dim.

1. n₀ = 0 :     (1+x)⁰ ≥ 1+0 x     ✔
2. Hp: (1+x)ⁿ ≥ 1+n x
3. Th:     (1+x)ⁿ⁺¹ ≥ 1+(n+1) x

Dim

(1+x)ⁿ⁺¹ = (1+x)ⁿ(1+x)

Hp: (1+x)ⁿ(1+x) ≥ (1+n x)(1+x) = 1+x+n x+n x² ≥ 1+x+n x+x(n x)

(1+x)ⁿ⁺¹ ≥ 1+x(n+1)

(1+x)ⁿ⁺¹ ≥ 1+(n+1) x     ✔

Coeff. Bin. - Binomio di Newton

(_c⁄_b) = ^a!⁄_b!(a-b)!

(a+b)^m = ∑_k=0^m (_m⁄_k) a^k b^m-k

Teorema di Unicità del Limite

Se (a_n) converge ad l → l è unico

Dim. p.e. → l, l'

∀ ε > 0 definitivamente |a_n - l| < ε/2

∀ ε > 0 definitivamente |a_n - l'| < ε/2

Teorema

Se (a_n) converge ad l → (a_n) è limitata

∀ ε > 0 ∃ ν ∈ N: ∀ n > ν |a_n - l| < ε → l - ε < a_n < l + ε

Teorema (Algebra dei Limiti)

(a_n), (b_n)

1. lim a_n = a
2. lim b_n = b

→

1. lim (a_n + b_n) = a + b
2. lim (a_n · b_n) = a · b
3. a ≠ 0 _DEF. lim (a_n/b_n) = a/b
4. ∀ a_n, b_n ≠ 0 _DEF. a, b ≠ 0 : lim (b_n/a_n) = b/a

DIM:

1. H_ε: ∀ ε > 0 _DEF. |a_n - a| < ε/2, |b_n - b| < ε/2

   ||a_n + b_n| - (a + b)| = |(a_n - a) + (b_n - b)| ≤ |a_n - a| + |b_n - b| < ε

2. H_ε: ∀ ε > 0 _DEF. |a_n - a| < ε |b_n - b| < ε

   ||a_nb_n| - a ⋅ b| = |a_nb_n - a ⋅ b| = |a_nb_n - ab_n + ab_n - ab| ≤ |a_n(b_n - b)| + |b(a_n - a)|

   < |a_n| |b_n - b| + |b| |a_n - a| < ε

   a_n CONV. → a_m LIMIT., h ≤ a_n ≤ k

   lim a_ny_n = a ⋅ b

Limite tra una successione Convergente e una Limitata

lim a_n = 0 → lim a_nb_n = 0

(b_n) Limitata

h ≤ b_n ≤ k

O ≤ |a_nb_n| = |a_n| |b_n| ≤ |a_n| ⋅ k

||a_n|b_n| < ε ⋅ k ⁺⁰ [^DEF.] div 2 axe\nelse quantity &epsi – 2 >

O ≤ a_nb_n < |b_n| ≤ c ⋅ k ε

|a_nb_n| < ε ks

oppure: O ≤ |a_nb_n| = |a_n| k

Conv. ₀: (lem. Station.)

Conv. ₀: (Teorema di Confronto)

FUNZIONE CONTINUA

f: X ⊆ ℝ → ℝ

x₀ è PT. di ACCUM. per X

x₀ ∈ X

∀ J(f(x)) ∃ I(x₀): ∀ x ∈ I(x₀)

f(x) ∈ J ⇔ f è CONTINUA in x₀

lim_x→x0 f(x) = f(x₀)

LIMITE DI FUNZIONE

x₀ PT. di ACCUM. per X

f CONVERGE ad L in x₀

∀ J(L) ∃ I(x₀): ∀ x ∈ I(x₀) ∩ X \ {x₀}

f(x) ∈ J ⇔ lim_x→x0 f(x) = L

x₀ ∉ X ma è PT. di ACCUM. per X

CONTINUA A VERIFICARSI LA PROPRIETÀ PRECEDENTE

f NON È CONTINUA, lim_x→x0 f(x) = L

∀ J(+∞) ∃ I(x₀): ∀ x ∈ I(x₀) ∩ X \ {x₀} f(x) ∈ J

lim_x→x0 f(x) = +∞ (stesse cose e -∞)

f DIVERGE POSIT. nel punto x₀

x = x₀ è ASINTOTO VERTICALE

• \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln x}{x} = 1 \)
• \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0 \)
• \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} \)
• \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{\lim_{x \to 0} \frac{1}{1+\cos x}}{\frac{x^2}{2}} = \frac{1}{2} \)
• \( \lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x} = 1 \)
• \( \lim_{x \to 0} \frac{\arctg x}{x} = 1 \)
• \( \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e \)
• \( \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \rightarrow \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{a_n}\right)^{a_n} = e \rightarrow T.PONTE \)
• \( \lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x} = 1 \)
• \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \)
• \( \lim_{x \to 0} \frac{\log_e(1+x)}{x} = \frac{1}{\log e} \)
• \( \lim_{x \to 0} \frac{x^x - 1}{\log e} = \log e \)

3) TEOREMA DI WEIERSTRASS

f: [a, b] → ℝ

f CONTINUA

∃ x_m, x_M ∈ [a, b]: f(x_m) = min f = m [a, b]

f(x_M) = max f = M [a, b]

4) TEOREMA DEI VALORI INTERMEDI

f: [a, b] → ℝ

f CONTINUA

∀ t ∈ [m, M] ∃ x_c ∈ [a, b]: f(x_c) = t

ASSUME TUTTI I VALORI TRA MIN. E MAX.

DIM:

t ∈ [m, M] m = f(x_m) M = f(x_M)

x_m ≤ x_m ≤ x_M

f: x ∈ [x_m, x_M] → f(x) - t ∈ ℝ

f: [x_m, x_M]

• CONTINUA (SOMMA DI 2 FUNZIONI CONTINUE)
• f(x_m) * f(x_M) < 0

TEOREMA DEGLI ZERI

∃ x_c ∈ ]x_m, x_M[ : f(x_c) = 0

x_m, x_M ≤ [a, b]

x_c ∈ [a, b]

f(x_c) = t

∀ t ∈ [m, M] ∃ x_c ∈ [a, b]: f(x_c) = t

"PRESI 2 VALORI APPARTENENTI AL CODOMINIO DI f ALLORA UN QUALUNQUE NUMERO REALE COMPRESO TRA QUESTI 2 VALORI È ANCH'ESSO UN ELEMENTO DEL CODOMINIO"

Necessità delle ipotesi

Come si vedrà nel controesempi, queste sono le ipotesi più larghe possibili per cui vale l’enunciato stesso. Il teorema non vale se cade anche solo una delle ipotesi.

f non continua: si consideri f(x) = 1, x ∈ ]0, 1] ∪ [3, 4], f(2) = -1 per x ≠ 1 e 1 (x ≠ 1 ∈ [-1, 2]), altrimenti f(x) x = continua. 0 ∈ ]-1, 1[ ma f non assume nessun valore in detto intervallo.

l’insieme di definizione non in un intervallo: si consideri f(x) : ]0, 1[ ∪ ]3, 4[, f(x) = 0 se x ∈ ]0, 1[ o x∈ ]3, 4[ . Il determinato non è un intervallo, le funzioni f assumono valori in detto intervallo, infatti non assume nessun valore in uno di [1. Tuttavia negli alterni valori in detto intervallo e applicabile.