ALGEBRA
LINEARE
E
GEOMETRIA
prof Detoni
-
SPAZI strutture esterna
VETTORIALI algebriche interna
2
insiemi una
operare e una
= con
,
tra dell'
elementi
gli
interna insieme
→ orientati
segmenti
I equipollenti
*
esterna elemento
1 qualcos'altro
tra sono
→ e direte lunghezza
hanno verso
=
s e =
, =
, equipollenza
è di
vettore classe
=D una
un
di segmenti orientati
modello vettori geometrici
dei
insieme
= orientati
entità
↳ dotati dicere
di
segmenti retta
=
^ , _
+ freccia
verso =
- modulo lunghezza
- = segmento
(
vettori elementi
è interna
di 2 nor ma
prendo o
somma → dell' elemento
ottengo
insieme e un
dell ' )
insieme
a •
it
è a- d
to direte
Lv doppio
modulo
✓ ✓ → verso
=
=
+ =
, ,
a
e 112 metà
vettore dicevi modulo
→
v verso
= =
,
^ ,
e TE v tra
prodotto vettore
definire il
posso un numero un
e
Ov vettore nullo
→
Iv vettore stesso
☐
- il
1) vettore
C- annullo
Ov
+
v v →
=
numeri }
IO +
IN 1,2
= . .
, .
Z }
{ +
-11 12
0
= ,
, .
, .
.
( afb
@
Z ) b)
1) associativa c)
prop
-1 + c
+ = +
, fa
elemento
7
2) neutro +0=0
a a a
=
+
7
3) te C-
V-a-CZZ-a.CZ a)
opposto =D
a +
commutativa
4) b.
oetb
Prop a
+
=
le GRUPPO
dicono
proprietà 1- Z
che è
3 un
commutativo
4 il è
+ gruppo
{
① /
1
Mln EZ 1- 4
:#
min o
n prop
µ
, interne
ho 2 +
operaie .
④
le )
che commutativo
proprietà è
con gruppo
-1 un
,
④
( commutativo
lo } ) è
' gruppo
un
•
, associativa
5) Prop commutativa
6) prop
7) 7 neutro
8) distributiva c) ab
( ac
a
prop b
: =
+ +
. soddisfano le
2 che
insieme operare
con +
un prop
e -
1- 8 chiama UNITÀ
COMMUTATIVO
ANELLO
si con
{ )
anello
6,7 ho
senza un
D- soddisfano
è proprietà
che
CAMPO le
insieme 2
un operare
un +
con .
1- 8 inoltre
e
fa
9) 7 1) 1)
( te
-1-0 1
( ott
( )
a- a. a- a
=
= .
.
dell'
esistenza
↳ inverso
noti E
GIR
④ G-
campi
1K di è
numeri campo
un
insieme
= → basa
criptografia
la si
→ questo
costruiamo su campo
elementi
pochi
campo con
un
{ } divisione
della
1
• resti 2
0 intera per
→
, è
la commutativa
: :
: somma
→ tabella diagonale
la
-001 la
simmetrica rispetto
è
1
perché di 1
1+1=0 opposto
è
l' allora
elemento neutro
è può
o
→ essere
non
solo
nell'
l' ho
opposto 1
F 0
insieme e
,
resto onda
pari
0 no → divisione
= intera } }
10,1 { 0,11
{ →
per 2 0,1 ×
nella
1
resto )
Caab atb
dispari
1 -
n°
= divisione intera
→ 2
per
L }
{
1)
c- 0,1
e
-1.7 1+0 =/
1 O
1 O =
=
.
:| :| la
: elemento neutro
1
0
1 0 0
COSI a =
campo
un
in . distributiva
prop
0+0=0 →
0 0
0
Oh (0+0) a
a
a +
=
=
. -
.
- )
3- chiamo
di
l' 0 C-
che 0
a
opposto .ae
-
che proprietà a)
0.at C-
la 0
ha 0
=
.
l' elemento C-
dm a)
su a
a
sommo e •
+0A
a
=
Da
0=0 +
0
0 a
= . }
{
elementi Ha
3 1,2
con
campo 0
=
• , }
fu
0 resto
I nella è
di
C- 0
1 divisione 3
n per
= I 1 }
1 = n n
f }
2
2 = n n IK 7=3
3m
n E
-1
= ,
dell' orologio
aritmetica
→ 1=4
•
2°
5 =
+0-1-2 1 2
O
. l'
2 °
0 0
1 0 2-2=1
2
di
o 2
o inverso è →
2
0
1 1
0 1
1 2 1
2
2
1 0
O
2
2 (
" le
la di
I " divisione
resti classi dei
4 equivalenza resti
per
• per della
0,112,3 4)
divisione per
0=4 1=5
3 6
2 = l'
ottengo 2 anche
2
di esiste se
operare
con
insieme inverso
→
un non
2=10
↳ finito
è campo
un
non
Se " elementi
"
è costruire P
primo
p n°
un =D campo
riesce con
a un
si
nel 2,3
come p
caso =
" la
potenza costruire
Se di simile
primo
considero è
è
p una un
finito elementi esiste la
quando potenza
un è
campo con n vi
di è isomorfismo
eccetto
ed
un primo unico K cambia
cambia
se vettoriale
fissato spazio
elemento di campo
numero un
= e ✓
è
SPAZIO VETTORIALE ✓ K insieme
Calm un
po
un
uno su
)
( vuoto dotato 2
di operare
n o n }
✓ interna
✓ elemento
V di U
vettori
di
+ ✗ →
: somma =
4 ) →
W ✓ W
+
, }
IK V vettore
prodotto esterna
scolare
V
✗ →
• per
( ✗✓
↳ →
a ↳
, elementi
gli di 1k li chiamiamo
scolari
proprietà
le
con associativa ( Cui )
2) a)
✓ +
somma ✓ w
w +
+ + =
commutativa
27 ✓ utv
u
+ = ⑨
7 elemento
3) I
neutro E
( VETTORE NULLO ,
⑨ È
⑤
V V.v V
c- c-
U
U ✓
+
: + = =
4) te
7 fu è
opposto 7
V U
c- C-
C- ✓
c- )
) +
u u =
5) V-x.pe/kV-v-CVCx.p
distributiva
prodotto )
(
) p
v ✗
u
=
- . .
è
(
34 ) pv
✗ p ✗ ✓
v
+ +
=
- •
6) )
✗ ( ✗
tu
✓ w W
+ +
=
Fu
c- IK necessaria un non
Prop
/
7) altre
dalle
discende
Iv ✓
=
↳ elemento
l' neutro moltiplicato
K
di per U
vettoriale
Dimostrare V IK
che spazio
es è su
uno
se
0 1K
elemento neutro VEV
di
Ó
0 02.03
v =
.
far definizioni nell'
le
rientrare dei
come ambito
appena apprese
?
vettori geometrici
| componenti del vettore
le
^ aeb u
sono ✓
ad
ti
-
-
-
/ e "
d ' '
✓
è Cab
) d)
(
n -1C b.
le U a
=
+ +
| i - i " ,
' ( d)
✓ c.
☐ , '
| ÷ >
a- ZD ( c)
aib
✓
'
/ - _ ,
- , _ →
;
e e
%
' " !
- .
E . . A
y cartesiano
il
considerare
questo prodotto
ragionamento
con posso
K "
K
K
K K
×
× ✗ =
✗
. . .
- K
coordinate
ho Una ogni
↳ in per
.
" scelte le
vettoriale K
K sul volta
è campo
spazio una
uno
opportune operare "
( )
le K
E
du
a1 02 }
, . _ . ,
,
,
( b "
b1 b. K
b ) E
3
2
, , n
, ,
. . _
Samuel (
definiamo barba (
Casa ) b ) )
03 Qutb
Qu Q
Ola b
+ bi Oeatbz
.ba al +
= +
} , >
. . }
, . , ,
, .
, .
. , .
.
. ,
.
, ,
I EK e-
→ numero
un
prodotto (
definiamo Ian
CQ
7. ) )
ha
Ida
Iai
a an
da = >
}
. .
.
, . .
,
.
, . - .
. .
le definiscono
proprietà che vettoriale valgono
spazio
uno xk
proprietà delle nel
alle K
è semplice campo
ricondursi operose
( valgono )
bi
a.
per +
È ( )
0,0
avremo 0 0
= .
, .
, . ,
esempi 41 4
✓
1
se n =
= = ☐
è
ò
troviamo partiti
due da
casi
2. cui
i eravamo
=3
per u= in
graficamente V
nello spazio
vettori vettoriale
prendiamo dei
dei numeri
e
K
nel canapa ✓
E
↳ V2 Vt
i .
. ,
.
. C-
@ K
01 Ole
2 .
- . ,
,
,
calcoliamo ✓
C-
V1
da deve
dava +
-1
+ . . .
È detta COMBINAZIONE di
LINEARE
questa viene v1 va
somma Ut
, .
.
. .
.
?
Ò
I lineare di uguale
vettori
combinazione può a
essere
una
certamente si O
@ at
dai a
se =
=
=
=
< >
, . . .
vettori
che i
diremo
D- v2 v2 sono
Ut
.
, .
, ,
.
LINEARMENTE loro
la
INDIPENDENTI unica combinazione
se
lineare è da at O
as
quella cui
per = - =
= . .
. loro
DIPENDENTI combinazione
esiste
LINEARMENTE se una
nulla almeno degli
lineare 1 ai -1-0
con
esempi È
K =D V
• - ?
linearmente
3,2) dipendenti
(
V1 ( ) v2
1,4 sono ☐ a
'
Ò
dava dava
+ - (
) 02 (
( 1,4 3,2)
@ )
+ QO
1 = 7
)
4) (
( ( 2)
Q1
1 0,0
caz 3
as dea =
- + .
- .
, ,
( ) )
(
202
+302 401 0,0
a1 + =
, ☐
{ {
( Qs sistema
-3oz 0
-1302--0
da as è
= un
→
= Olz
202 ci
Leda -1202 +2dL
O o
-0
+ omogeneo non
= - or
-
termini noti
sono
linearmente
vettori indipendenti
→ sono
i 1122
due vettori linearmente dipendenti
risultano solo se
se
in e
paralleli fra
risultano loro
↳ altro
multiplo dell'
sono uno
'
✓ R K IR
• = =
, }
%)
( "
di K
notazione vettori
v1 0,3)
( possono essere
= i
= :
{
)
(
) colonna
indicati
( 2,2
↳ = in
= ( %)
( )
1,4
V3 =
= dava Qsvs
deve + o
=
+ (8)
(2) (f)
(G) a
•
a. • =
>
+ +
:)
( ( =/
% g)
a} )
Iad
( + + 403
{ -202
202+03=0 a
→ =
> 802=0
+2dL
202+403=0 -301
301-1
- -
☐
- 301-602--0
- Leda
01
202 O
al →
+ = = -
al
infinite
ho d.
soluzioni da
variare
→ lez -2
↳ es = 1
da = -2
@ =
3 linearmente dipendenti
vettori sono
→ i > =D
R
✓ K
• = , =/ )
=/ ?
! )
( %)
vi. v. ↳
Ó
Qsvs
AI dava
V1 + =
+
(E) =/
3
aaf (2)
:/ %)
a. a.
+ +
{ -1393=0 Za
Las Az 203 a
# O
3=0
- } =
}
- 30.3=0
02 -0
02
3dg
da
+ =
as as
as 0
da
a o
=
+ -
→
> -
linearmente
vettori indipendenti
sono
→ , : :::::::
"
÷
: :
}
✓ IR R
K
= -
-
, (
%)
( )
§ Fg
( ) [ ]
Iva
vs
↳ v3
↳
vs -
=
=
- =
- linearmente
li
vettori
scegliendo questo ho
modo resi
in i
dipendenti
{ 2dL
2dL -14dg
-203
-14dg 03
AL
-0
o
da →
= = -
-
30h1 0=0
Q3 0
lez La altre
-3dg =D dà
-1 al
→ mi
+ + → non
+ = }
> info
2dg
Lala 493=0 da
→
- =
2equaz.com incognite
' 3
avessi
è se
come in ?
implica la -2k
scelta v3 va
cosa =
il 3° vettore sullo stesso
è
→ piano
in - - , è ai
complanare primi 2
"
' ↳ problema
→
,
& >
2h V2
- 03.03
particolare vettoriale
vediamo esempio di
un spazio
}
{ f
K IR funzioni
✓ R tutte le R
vettori R
IR
= da
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: in
i
, fa
fa fa funzione
EV
Date fa la elemento
che
definiamo KEIR
manda
+ un
,
facie fzcn )
)
in +
fa fa IR IR
→
+ : fa fa R
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K D
) somma
Cn
( +
) in
-
n funzione
fev definiamo If
IER
Dato RER
che
la
come manda
e
7 fcn
in ) If IR IR
→
: fin
7. prodotto R
k 1 - ) →
☐ in
le vettoriale di
proprietà
derivano naturalmente
proprietà dalle
di spazio
prodotto IR
nel
somma campo
e funziona
della V
l' elemento
notare la
è
che nulla
somma
neutro in
fn R IR
→
: fu C- IR
0
✗ '
→
esercizio ?
le funzioni V
indipendenti
linearmente
"
sereni caschi e sono in
, , fn
@ tu IR
" 0 C-
(
03 )
Sluck ) a Cosca
1 + = n
e
) =
+ 2
- illimitato
↳ ±
→
funzioni _
limitate
sono ✗ → a
+
flash tael
+
la ±
se -1-0
a a
va
somma sempre
=D _
} O
necessariamente leg
=D = KER
da Sluck
) ) =D
da cosca
+
OLÈ da
da
a-
per 0 =D da
come -0
+ =
the
AL ) a 1=0
o
sen <
( >
ze =
= indipendenti
linearmente
vettori
→ sono
i
thvn CRITERIO LINEARE
DIPENDENZA
di vettoriale allora vettori
V t
K vs
spazio
sia Canepa va
uno ut
su un , . . . ,
.
dipendenti
linearmente può
di
sono si
uno
se essi scrivere
solo
e se
lineare altri
degli
combinazione
come
Dim linearmente
e- vettori
che i dipendenti
siano
supponiamo
] tc
Allora tutti nulli
da
as.ae C- K non .
.
, . . . È
deve
92 V1 Olzvz a
t =
V3
+ +
+
> . . .
1=0 allora Qi di
di Qi
Asv
Sia -024 vi aiut
vi Vi
+1
= -
a
se
- .is -
- , -
- -
-
. .
. .
, . .
allora ( )
ma dividere operai 0
seu =/
posso
Vi A-1 D= QI
vedi
V1 V2
= - - -
- . . .
di di
che esiste
→ garantisce trovarlo
dimostrazione di
costruttiva permette
mi
KK
è
non non
una
⇐ vettori
che dei si
supponiamo come combinazione
scrivere
uno possa
lineare degli altri
71 7
72
Vi It
di
V1 Va vi.
+ Ut
Vit
-1 i
= +
'
+ +
→
i i
+
i
- .
.
. .
. .
71 7
72 deve
7 O
V2
V1 Vi
+ +
vi
i ✓ =
+ i +
+
a
, a
+ e-
- +1
-
_ . . .
almeno
ho Ii
coefficiente
1 -1
→ o =
troviamo fra
quindi i
combinazione vettori almeno
lineare
una con
coefficiente di linearmente dipendenti
1=0
-1 vettori
un i sono
=D
=
esempio
3
✓ ☒ R
K 1
= 3
(
= ) G)
&
voi
{
vettori ° V3
v1
i = =
. 2 ( )
dipendenti
linearmente
Sono v3 0
3. +3k
va
↳
perché ✓
= e = .
13
v2 v3
=
oppure
notare lineare
che di
è combinazione
questo V3
V2
V2 non
caso
in e
)
( è
lo
MA importa v2
perché
non
SOTTOSPAZI VETTORIALI K
definito
V
K vettoriale
D- Dato ed sottoinsieme
campo spazio
un su un
uno ,
U anch'
Vettoriale V
U SOTTOSPAZIO di
dice è
c- si esso uno
se spazio
vettoriale le operazioni
medesime definite V
con su
U
si V
indica c-
VERIFICARE
CONDIZIONI da } chiuso operazioni
2
U alle
U
1) rispetto
V-us.ua C- U
E Us ne
+
7
A EU
ne
2) EK U
¥ in
, ÓEU
fatto
dalla
NB 2° condizion
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