Appunti di algebra lineare

RIASSUMENDO…

sottospazio R linearmente indipendente insieme delle rette passanti per 0

2

sottospazio di R linearmente indipendente insieme dei piani passanti per 0

3 3

sottospazio di R linearmente indipendente tutto R

63

GENERATORI

Generatori:

dato un sottospazio W dello spazio vettoriale V, i vettori della famiglia V sono generatori di W (ossia

W è generato da v , v , …, v ) quando

1 2 r

W = <v , v , …, v >

1 2 r

{ a a Î }

∑

= v , R

i i i INSIEME DEI GENERATORI:

sottoinsieme di W che contiene vettori i quali, tramite le loro combinazioni lineari,

danno tutto lo spazio W dato

SE generatori linearmente dipendenti SE generatori linearmente indipendenti

à à

almeno 1 è combinazione lineare degli altri (ridondanza) basi

BASI

Base:

{ }

e , e

1 2

dati uno spazio vettoriale V e un suo sottospazio W, si dice base l’insieme di generatori di W che sono

vettori linearmente indipendenti NOTA BENE

W = V

Vale per

Base canonica:

non genera ridondanze, è una forma chiara di esprimere i vettori in modo univoco

64 2

BASE CANONICA IN R

{ } 2

e , e = base di R

1 2 1 0

v w v w

e = , e =

1 2

0 1

è costituita dai 2 vettori:

DIMOSTRAZIONE: 2

e , e linearmente indipendenti e , e generatori di R

1 2 1 2

1. Dimostrazione di indipendenza lineare:

0

ae be v w

v = + =

1 2 0 à

se almeno 1 è combinazione lineare degli altri no indipendenza

a =0

ay1 by0 y0

v | + | | → “

= = e , e linearmente indipendenti

b 1 2

=0

0 1 0

2. Dimostrazione di essere generatori: {ae be } a, b Î

2 2

SE e , e generatori di R , ALLORA R = < e , e > = + con R

1 2 1 2 1 2

2

prendo un v qualsiasi in R :

Î

v w 2

v = R

=

1 0

r s

v w v w+ v w v w |

re se = =

v = + " r, s Î perché

R?

1 2 =

0 1

AFFERMAZIONE VALIDA SOLO PER LA BASE CANONICA

I combinatori proprio le componenti

sono del vettore à

In altre basi posso scrivere tutti i vettori

come combinazioni lineari degli altri

dato come n-pla (coppia) ordinata di vettori reali

y | y |

=

65 3

BASE CANONICA IN R

{ } 3

e , e , e = base di R

1 2 3

è costituita dai 3 vettori:

1 0 0

e = e = e =

„ … „ … „ …

0 1 0

1 2 3

0 0 1

DIMOSTRAZIONE:

I combinatori che danno origine ai vettori canonici sono proprio le componenti della terna

Esempio

1

h = „ …

2 scriverlo come combinazione lineare dei vettori della base canonica.

−1

Metto le componenti del vettore h come combinatori nella formula di combinazione lineare:

1+0−0

1 0 0

( )

→ ” • ” • ” • ” • ” •

h = 1 e + 2 e + (-1) e 0 + 2 − 0

0 + 1 + − 0 → =

1 2 3 0 0 0+0−1

1 −

n

BASE CANONICA IN R

1 0 0

{ } n

e , e , …, e = base di R

1 2 n 0 1 0

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

è costituita dagli n vettori: e = , e = , …, e =

0 0 0

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

1 2 n

… … …

0⎠ 0⎠ 1⎠

⎝ ⎝ ⎝

{ } Œ Ž

→

In maniera analoga alle precedenti, si dimostra che e , e , …, e è base di R • ž

= …

1 2 n n …

66

PROPRIETA’ FONDAMENTALI DELLE BASI

a univocamente determinate

1. Le componenti del vettore v dato sono

i ßà

i generatori v , …, v sono linearmente indipendenti (cioè v , …, v sono base)

1 r 1 r

Î

sia v V

Hp: Vettori univocamente determinati:

siano v , …, v generatori di V

1 r per ogni vettore v scritto come combinazione lineare dei v i

linearmente indipendenti, i combinatori devono essere tutti = 0.

a a

anche v = v , …, v

Allora 1 1 r r Se ottengo v da un’altra combinazione di combinatori, cado in

contraddizione

a

per reali opportuni che si dicono componenti

di v rispetto ai v (generatori)

i

DIMOSTRAZIONE:

1. componenti del vettore v univocamente determinate:

a

= 0

!" a

∑ → x

à

siano v v = 0 linearmente indipendenti

Hp: i i i a

= 0

!" r r

∑

à

SE ricavo v = v ALLORA i sono univocamente determinati

i i

Siano:

år

v = v

i i

ås

v = v

i i

5% 5%

r s

∑ ∑

v = v

i i i i

5% 5%

r s

∑ ∑

v - v = 0

i i i i r s

( 1 − 1) = 0 1 = 1

quindi tutti i combinatori r s 2 = 2

( 2)

2 − = 0

5% s

∑ (r - ) v = 0 devono essere = 0 se i v sono → →

i

i i i …

…

linearmente indipendenti r s =

( )

− = 0

67

2. generatori v , …, v linearmente indipendenti:

1 r

!# r r

∑

SE v = v con i combinatori univocamente determinati ALLORA v sono linearmente indipendenti

i i i

v v

5% 5%

r s

∑ ∑

v = v " vettore v scritto come

i i i i combinazione lineare dei v i

in 2 modi diversi

5% 5%

r s

∑ ∑

v - v = 0

i i i i

5% s

∑ (r - ) v = 0

i i i r s

( 1 − 1) = 0 1 = 1

r s 2 = 2

( 2)

2 − = 0

→ →

Questo vuol dire che i combinatori sono univocamente determinati …

…

r s =

( )

− = 0

2

Esempio in R 1,5

1

y1

v = | v

1 1 3 v

0,5 1

1

v = y |

2 −1 0 0 0,5 1 1,5

y0

v = = e -0,5

|

3 2

1 v 2

-1

-1,5 infinite combinazioni

2

y |

Scrivere il vettore h = come combinazione lineare dei vettori v , v , v possibili perché i v sono

1 2 3 i

1 linearmente dipendenti

68

1. DIMOSTRAZIONE PRELIMINARE: v , v , v linearmente dipendenti

1 2 3

0

av bv gv v w

+ + = ¹

con almeno 1 combinatore 0

1 2 3 0 a b

+ =0

1 1 0 0

ay by gy

| | | y | → “

+ + = a b g

− + =0

1 −1 1 0

Provo con:

= 1 1 1 0 1−1−0 0

= −1

• → | | | = y |= y |

1y -1y -2y 1+1−2

1 −1 1 0

= −2 v - v -2 v linearmente dipendenti

SI

1 2 3

2. DIMOSTRAZIONE 2: scrivere h come combinazione lineare degli altri

av bv gv

+ + = h

1 2 3

1 1 0 2

ay by gy

| | | y |

+ + =

1 −1 1 1

Provo con:

= 1 1 1 0 2

= 1

• → | | | y |

1y + 1y + 1y =

1 −1 1 1

= 1 MA ho infiniti altri modi di scrivere h

v + v + v = h come combinazione lineare dei v !

a i

1 2 3 INFATTI

h = h + 0 0 = v -v -2v

h = v + v + v 1 2 3

1 2 3 (vedi dimostrazione preliminare)

b 1 0 2

à à

h = v + v + v + v -v -2v h = 2v - v | y | y |

2y =

-1

1 2 3 1 2 3 1 3 1 1 1

v sono linearmente dipendenti,

Quando i esistono infinite combinazioni possibili dei v che possono

i i

dare come risultato h

69

TEOREMA DELLA BASE

stabilisce il numero di vettori che costituiscono una base

Dimensione: n

numero di vettori o elementi (fisso) posseduto da ciascuna base di un sottospazio di R

n

ogni sottospazio di R ha infinite basi

Attenzione:

2 3 n

R = 2 R = 3 R = n

Dimensione di Dimensione di Dimensione di

NOTA BENE

date le condizioni da dimostrare nella DIMOSTRAZIONE DELLA BASE:

1. indipendenza lineare

2. essere generatori

Corollario 1: n n

Se ho n vettori di R che sono linearmente indipendenti, essi sono sicuramente base di R

Corollario 2: n

Se ho n vettori di R che sono generatori, essi sono base, ovvero sono anche linearmente indipendenti

quindi

ho una delle due non serve controllo dell’altra!

se informazioni data, fare il

• Vettori dati sono linearmente indipendenti

• n

Vettori dati sono generatori di R 70

RANGO DI UNA FAMIGLIA DI VETTORI

{ }

Rango della famiglia di vettori v , …, v :

1 n

{ }

rk v , …, v

1 n

è il massimo numero di vettori linearmente indipendenti che se ne possono estrarre (è la dimensione

dello spazio generato o span lineare dei vettori)

INTERPRETAZIONE GEOMETRICA n

Siano dati una famiglia di m vettori di R n

(non si sa se il numero di vettori linearmente indipendenti di R (cioè n) è maggiore, minore o uguale a m)

{

rk v , …, v :} = dimensione dello spazio generato (span) < v , …, v >

1 n 1 n

NOTA BENE n

Numero di vettori linearmente indipendenti che posso avere in R = n

(perché le basi sono composte da n vettori)

£

Il rango è sempre del numero di vettori che contiene £ { }

rk min m, n

n à n

lo spazio R (dimensione) È sempre minore del numero

più piccolo fra m e n

£ à m

Il rango è sempre del numero di vettori dati

Esempio 1 m = 2 (vengono dati 2 vettori)

0

v = ¡ ¢ Î 4

n = 4 (i vettori dati R )

1 1

0 {v }

rk = 2

i

0 sono linearmente indipendenti!

1

v = ¡ ¢ (non sono proporzionali, dunque NO dipendenza lineare)

2 0

1 71

Esempio {v }

Se vengono forniti 17 vettori, di cui solo 3 linearmente rk = 3

i

indipendenti e gli altri 14 tutti linearmente dipendenti:

CASO DEL RANGO MASSIMO

Rango massimo:

{ }

rk = v i {v },

quando il rango dei vettori dati è = cioè il rango massimo, i vettori dati sono tutti linearmente

i

indipendenti (la famiglia intera è linearmente indipendente)

à gli altri vettori dati in seguito possono essere scritti come combinazioni lineari

Esempio m = 4, n = 4

1 1

0 1 4

Quando generano tutto R ?

v = v =

¡ ¢ ¡ ¢

1 3

1 0 {v }

à

Quando sono tutti linearmente indipendenti rk =

0 1 i

In tal caso il rango è = 4, ma può essere anche 1, 2 o 3!

1

0 1

1 v = ¡ ¢

v = ¡ ¢ 4 1

2 0 à

Se ho 5 quaterne? Il rango è comunque < 4 (quando do delle

1

1 4

quaterne indipendenti, queste non possono essere > 4 per R )

Come ricavare il r