Appunti di "Fondamenti di algebra lineare e geometria"

SPAZI VETTORIALI

1) Uno spazio vettoriale è un insieme V, i cui elementi sono dei vettori, dotato di due operazioni:

1. la somma (+) che è commutativa, associativa, ammette l'elemento neutro 0 ed elemento opposto -v;
2. l'azione esterna di su V caratterizzate delle proprietà associativa, distributiva e che ammette l'elemento neutro 1_V.

- es. : ²

² = {(a,b) | a,b ∈ }

SOMMA: (a,b) + _² (c,d) = (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) ∈ ²

0 = (0,0)

AZIONE DI : ∀ α ∈ , ∀ (a,b) ∈ ² , α ⋅ _² (a,b) = (αa, αb) ∈ ²

- es. : ³

³ = {(a,b,c) | a,b,c ∈ }

SOMMA: ∀ (a,b,c), (d,e,f) ∈ ³ , (a,b,c) + _³ (d,e,f) = (a+d, b+e, c+f) ∈ ³

AZIONE DI : ∀ α ∈ , ∀ (a,b,c) ∈ ³ , α ⋅ _³ (a,b,c) = (αa, αb, αc) ∈ ³

0 = (0,0,0)

1 = (1,1,1)

- es. : ^m

^m = {(a₁, a₂,..., a_m) | a₁, a₂,..., a_m ∈ , m ∈ ℕ}

0 = (0, ..., 0)_{m volte}

1 = (1, ..., 1)_{m volte}

- es. : ¹

0 = 0; 1 = 1 , α ⋅ _¹ v = αv ∈

- es. : ⁰ (spazio vettoriale banale) ⇒ spazio nullo

⁰ = {Θ} α ⋅ _⁰ Θ = Θ ∈ ⁰

0 = 0 = o ∈ ⁰

- es : per I ⊆ V(I)

SOMMA: (f +_y g)(x) = f(x) + g(x) 0_y = 0(x) ≡ 0

AZIONE: ∀ α ∈ , (α ⋅ _y f )(x) = α ⋅ f(x) 1_y = ι_(x) ≡ 1

- es. : ¹ su ℚ

- SPAZI VETTORIALI -

) Uno spazio vettoriale è un insieme V, i cui elementi sono dei vettori, dotato di due operazioni:

• (i) la somma (+) che è commutative, associativa, ammette l’elemento neutro 0 ed elemento opposto -v;
• (ii) l’azione esterna di K su V caratterizzate dalle proprietà associative, distributive e che ammette l’elemento neutro 1_K.

es.

R²

• R² = { (a,b) \ a,b ∈ ℝ }
• SOMMA: ∀ (a,b) +_R² (c,d) = (a,b) +_R² (c,d) = (a+c, b+d) ∈ R²
• 0 = (0,0)
• AZIONE DI R: ∀ α ∈ ℝ, ∀ (a,b) ∈ R² , α (a,b) = (αa, αb) ∈ R²

es.

R³

• R³ = { (a,b,c) / a,b,c ∈ ℝ }
• SOMMA: ∀ (a,b,c), (d,e,f) ∈ R³ , (a,b,c) +_R³ (d,e,f) = (a+d, b+e, c+f) ∈ R³
• AZIONE DI R: ∀ α ∈ ℝ, ∀ (a,b,c) ∈ R³, α (a,b,c) = (αa, αb, αc) ∈ R³
• 0_R³ = (0,0,0)
• 1_R³ = (1,1,1)

es.

R^m

• R^m = { (a₁, a₂,…, a_m) \ a₁, a₂,…, a_m ∈ ℝ , m ∈ ℕ }
• 0_R^m = (0,…, 0)
• 1_R^m = (1,…, 1)

es.

R¹

• 0_R¹ = 0
• 1_R¹ = 1
• α ∈ ℝ , ∀ = α ∈ ℝ

es.

R⁰ (spazio vettoriale banale) o spazio nullo

• R⁰ = {0}
• α ∈ ℝ⁰: α 0 = 0 ∈ ℝ⁰
• 0_R⁰ = 0 ∈ ℝ⁰

es.

per I ⊆ ℝ / (I)

• SOMMA: (+) () = () + ()
• 0 = 0() ≡ 0
• AZIONE: ∀ α ∈ ℝ, (α ) () = α ()
• 1 = () ≡ 1

es.

R¹ su ℚ

Somma: ∀ v₁,v₂ ∈ Rⁿ, v₁ + v₂ = (v₁₁ + v₂₁) ∈ Rⁿ

Azione: ∀ q ∈ Q, ∀ v ∈ Rⁿ, q * R v ∈ (qv₁) ∈ Rⁿ

- Gli spazi vettoriali godono di alcune proprietà elementari:

(i) ∃ 0 ∈ V / ∀ v ∈ V v + 0 = v

(ii) ∀ v ∈ V ∃ -v ∈ V v + (-v) = 0

(iii) 0 x = 0 ∈ R / ∀ v ∈ V 0 x v = 0

(iv) ∀ α ∈ R α x 0 = 0

(v) ∀ α ∈ R -1 x v = -(1) x v = -v

(vi) se α x v = 0 allora α = 0 ∨ v = 0

(vii) se α x v = β x v, α ≠ β allora v = 0

3) es. 1: M (m x m, R)

Somma: ∀ M₁, M₂ ∈ M M₁ + M₂ = [ a b ] [ a j ] [ (a+z) (b+h) ] [ c ... ] m + [ c m ... ] ∈ M(m x m, R) [ m ] [ o ... ] [ (c+l) ... ]

Azione: ∀ α ∈ R, ∀ M ∈ M α x M = [ ... b ] [ α x α ... α x b ] [ c ... ] = [ c x α ... ] ∈ M(m x m, R)

3) es. 2: R [ x ]

P(x) = a₀ + a₁x + ... + aₘxᵐ aₘ ≠ 0, m ∈ N

Somma: ∀ P₁(x), P₂(x), P₁(x) + P₂(x) = Q(x) ∈ R[x]

Azione: ∀ α ∈ R, ∀ P(x), α x P(x) = α₀ x f + ... + α x aₘ xᵐ ∈ R(x)

- Oss. I polinomi R[x]