Appunti di "Fondamenti di algebra lineare e geometria"

SPAZI VETTORIALI

1) Uno spazio vettoriale è un insieme V, i cui elementi sono dei vettori, dotato di due operazioni:

1. le somme (+), che è commutative, associativa, ammette l'elemento neutro 0 ed elemento opposto -v;
2. l'azione esterna di K su V caratterizzata dalle proprietà aritmetiche, distributive e che ammette l'elemento neutro 1_v.

2) es. _ℝ²

• ℝ² = {(a, b) / a, b ∈ ℝ} = ℝ²: (a, b) ∈ ℝ² (a, b) ∈ ℝ²

SOMMA: ∀ (a, b) + _ℝ² (c, d) = (a, b) + _ℝ² (c, d) = (a+c, b+d) ∈ ℝ²

AZIONE DI ℝ: ∀α ∈ ℝ ∀ (a, b) ∈ ℝ², α ⋅ (a, b) = (αa, αb) ∈ ℝ²

3) es. ℝ³

• ℝ³ = {(a, b, c) / a, b, c ∈ ℝ}

SOMMA: ∀ (a, b, c), (d, e, f) ∈ ℝ³, (a, b, c) + _ℝ³ (d, e, f) = (a+d, b+e, c+f) ∈ ℝ³

AZIONE DI ℝ: ∀α ∈ ℝ ∀ (a, b, c) ∈ ℝ³, α ⋅ (a, b, c) = (αa, αb, αc) ∈ ℝ³

0_ℝ3 = (0, 0, 0) 1_ℝ3 = (1, 1, 1)

4) es. ℝ^m

• ℝ^m = {(a₁, a₂, ..., a_m) / a₁, a₂, ..., a_m ∈ ℝ, m ∈ ℕ}

0_ℝm = (0, ..., 0)_{m volte}

1_ℝm = (1, ..., 1)_{m volte}

5) es. ℝ¹

• 0_ℝ1 = 0 ; 1₁₁ = 1 ; α, v ∈ ℝ

6) es. ℝ⁰ (spazio vettoriale banale) ∀ spazio nullo

ℝ⁰ = {0}

α ∈ ℝ⁰ = 0 = 0 ∈ ℝ⁰

0_ℝ⁰ = 0 = 0 ∈ ℝ⁰

7) es. I ⊂ ℝ¹, ℓ (I)

SOMMA: ∀ f, g ∈ ℓ (X), (f+g) (x) = f(x) + g(x)

0_y = 0 (x) ≡ 0

AZIONE: ∀ α ∈ ℝ (αf) (x) = α ⋅ f(x)

1_f = µ(x) ≡ 1

8) es. ℝ¹ su ℝ

Somma: ∀v₁,v₂∈ℝʳ v₁ + v₂ = (v₁₁+v₂₁) ∈ ℝʳ

Azione ∀q∈ℝ∀v∈ℝʳ q ⋅ v₁ = (qv₁) ∈ ℝʳ

Gli spazi vettoriali godono di alcune proprietà elementari

(i) ∃!0∈V ∀v∈V v + 0 = v

(ii) ∀v∈V ∃!(-v) ∈ V v + (-v) = 0

(iii) ∃!α∈ℝ\0 ∀v∈V α⋅v = 0

(iv) ∀v∈V 0⋅v = 0

(v) ∀α∈ℝ -1∈ℝ ∀v∈V (-α)⋅v = -v

(vi) ∃v α⋅v = 0 allora α = 0 ⋁ v = 0

(vii) ∃v α⋅v = β⋅v, α≠β allora v = 0

→ ∃: M(nxm,ℝ)

Somma: ∀ M₁, M₂ ∈ M M₁ + M₂ = [a b ...] ᵐₙ = [a+d, b+c, ...] ∈ M(n,m,ℝ)

Azione ∀α∈ℝ∀M∈M α⋅[a ... b] ᵐ = [αa ... αb] ᵐ ∈ M(nxm,ℝ)

→ ∃: ℝ[x] = a₀+x²+...+aₘxᵐ, a_m≠0, m∈N

Somma: ∀ P₁(x), P₂(x) P₁(x) + P₂(x) = Q(x) ∈ℝ[X]

Azione ∀v∈ℝ, P(X), αP(X) = α₀+x²+...+αₘxᵐ ∈ ℝ[X]

Oss.) I polinomi R[X] sono un sottospazio dello spazio vettoriale

I(I) e le operazioni di R[X] coincidono con le operazioni indotte

da I(I) sul sottospazio R[X], cioè

P(x) + R(X) Q(x) = P(b) + F(I) Q(x)

→ Sia V uno spazio vettoriale, U un suo sottoinsieme U ⊆ V / U si definisce sottospazio vettoriale se non è vuoto e le operazioni di V impongono su U una struttura di spazio vettoriale

Oss.) Un sottospazio contiene sempre il vettore nullo o perché non è vuoto:

∃v∈U, ∃α≠0, α∈ℝ α⋅v = 0⋅v = o ∈ U

U sottospazio ⟹ o ∈ U

per passo ricorsivo, sostituisco K elementi di {u₁,..., u₅} con K elementi di {u₄,..., uₖ₉}

P.A. K>P -> {u₁,..., uₖ} generatori

Allora vᵢ₉ = δ₁u₁ + δ₂u₂ +... δₖuₖ <=> δ₁u₁ + δ₂u₂ +... + δpuₚ +(-1) uᵢ₉ = 0 =>

{u₁,..., uᵢ₉} lin. dipendenti -> ✘

Thm. Sia V spazio finitamente generato, siano {u₄,..., uₖ₃} barbatta {u₄,..., u₅} delle base per V, allora K=P <=> dim V

{u₁,..., uₖ} lin. indipend.…} ->(thm scambio) K<P

{u₁,..., uₚ₎} ->(thm scelta) K=P

{u₁,..., uₐ} lin. indiped.…} ->(thm scalde) P≤K

{u₁,..., uₖ} = V

Thm Ogni spazio V finitamente generato ammette una base e:

• da un insieme finito di generatori si può estrarre una base;
• ogni insieme finito di vettori indipendenti può essere completato ad una base.

§ la dimensione di uno spazio vettoriale è il numero di elementi di una sue qualunque base.

₂ L'intersezione di due sottospazi U e V è il più piccolo sottoinsieme grande contenuto in U e in V.

₅ L'intersezione di spazi vettoriali è ancora un sottospazio.

DIM. Siano U, V sottospazi

1. ∃{⊙}∈U,{⊙}∈V=> {⊙}∈U∩V ⟺ ∃⊙∈U∩V non vuoto
2. ∀w₁∈U ∀w₁>U,w₂∈V ∀w₁,w₂∈U, λ,w₁+λ₂∈V=>w₁, w₂∈U∩V,w₁+w₂∈U∩V
3. ∀w∈R, ∀w∈U ∀⍺, w∈U, ⍺,w∈U ∈ ⍺ ⋅w∈U∩V

Poiché (i), (ii), (iii) allora U∧V il sottospazio. => ⬚ .

DIM.

Il sottospazio generato da insottinsieme S è l'intersezione infinite dei sottospazi contenenti S.

DIM.

Voglio dim. che, dato S, ⟨S⟩ = ⋂_W∈S W

Ora., ∀W dato S, W∈sottospazio => ⋂_W∈S W∈sottospazio (ove dim.)

∀W dato, W≥S -> Ω_W≥S W≥S

vero A = M(L, E_m, E_m), si osserva che fare i cambiamenti di base nel codominio corrisponda a moltiplicare a se per matrici elementari: questi sono due modi di vedere le operazioni elementari su A.

Se la dimensione dello spazio delle righe di una matrice M è detta rango per colonne di M, cioè rg_c (M).

(oss.) La rg (M) coincide con rg_c (M) in qualsiasi matrice. Infatti,

Se L_A è l'inv. lin. di L_A: M(L_A, E_m, E_m)

I_m(L_A) = <1^cad A, 2^cad A,..., m^cad A> > h^m cad^m rg_c A

Poiché rg_R(A) = rg_R(U) = rg_c (U) = d_f (U) = dim I_m(L_U) = dim I_m(L_A) = rg_c A

-) Sia f: V→W lineare, siano B={v₁,v₂,…,vₙ} base di V e L={z₁,…,zm} base di W:

∀v∈V, f(v)=f(α₁v₁+α₂v₂+…+αₙvₙ) = α₁f(v₁)+α₂f(v₂)+…+αₙf(vₙ) =

= α₁(a₁₁Z₁+a₁₂Z₂+…+a₁mZm)+α₂(a₂₁Z₁+a₂₂Z₂+…+a₂mZm)+…

+ αₙ(an₁Z₁+an₂Z₂+…+anmZm) =

= (α₁a₁₁+α₂a₂₁+…+αₙan₁)Z₁+(α₁a₁₂+α₂a₂₂+…+αₙan₂)Z₂+…

+(α₁a₁m+α₂a₂m+…+αₙanm)Zm

Quindi ritrovo le coordinate di f(v) rispetto alle base L di W, esso è:

β¹

β²

:

:

βm

e quindi si nota che:

(β¹

β²

:

:)

Am

) (α₁

α₂

:)

:)

αₙ

) = (a₁₁ a₁₂ … a₁m

a₂₁ a₂₂ … a₂m

: … : … :

an₁ an₂ … anm

) (α₁

α₂

:)

:)

αₙ

)

e quindi si mola che:

(β¹

:

βm

) = (a₁₁ a₁₂ … a₁m

a₂₁ a₂₂ … a₂m

: … : … :

an₁ an₂ … anm

) (α₁

α₂

:)

:)

αₙ

)

x) Si definisce la matrice associata all'applicazione lineare f rispetto elle basi B di V e L di W, n' indica con M(f;B,L) la matrice che ha sulle colonne le coordinate rispetto a L delle immagini dei vettori delle base B.

-) Per trovare le coordinate rispetto a L dell'immagine di un generico vettore v avente coordinate (α₁,α₂,…,αₙ) rispetto a B nì calcole il prodotto di :

M(f;B,L) ﹒ (α₁

α₂

:)

:)

αₙ)

) ﹒ (α₁

α₂

)

- Se M(f;B,C) è dalle f: V→W he (dim W = m) righe e (dim V = n) colonne

- Possiamo ora confrontare applicazioni e mattric:

f: V→W | B= base {v₁,v₂,…,vₙ} di V

C= base {w₁,w₂,…,wm} di w

(v=α₁v₁+α₂v₂+…+αₙvₙ

→ f(v)=β₁u₁+…+βmuₙ

A(f;B,V) possesses (α₁

α₂

:)

:)

αₙ)

)( (β¹

:)

βm

)

A(f;B,C) (Xₘ₁

:)

:

Xₙ₁)

) = (0

0

:)

:)

0)

F (A₁,A₂,…,Am)

) rg A

Im f = { f(v) ∈ W | f(v) = 0 ∈ V }

−＞ A ⊂ A₁, A₂,…, Aₘ

) rg A

dim V = dim (Im f) + dim (Ker f)