Appunti di algebra e geometria (8)

Lezione 14 - 24/10/18 - 08:50

Riepilogo 17/10

Forma cartesiana

d = 0 <=> o = (0, 0, 0) ∈ π

Q€ π

O€ π

P - O ∈ π

Q - O ∈ π

Insieme: λv ∈ π ∀ λ ∈ ℝ v + w ∈ π

Se d ≠ 0 non ci può essere un piano passante per l'origine, dicono che π NON è un sottospazio vettoriale di ℝ³ (non c'è il vettore nullo).

Per la retta

Una retta r viene descritta da un parametro t:

r = {

• x(t) = t Ã₁
• y(t) = t Ã₂
• z(t) = t Ã₃

Se passa all'origine r è un sottospazio vettoriale se non passa all'origine non è un sottospazio vettoriale

Osservazione

P = (x₀, y₀, z₀) ∈ ℝ³ P ax + by + cz + d = 0

Q = (x₁, y₁, z₁) ∈ ℝ³ Q ∈ π

π = {X = (x, y, z) ∈ ℝ³ / ax + by + cz + d = 0 non tutti nulli}

Esempio

x - 2y + z = 0

t (1, -1, 1) parametro di piani di: eq. x - 2y + z = 0

Infiniti t, 1 - 2t + t = 0

Anche la forma (1, 2, 0, -1) appartiene al piano:

Infatti 1 - 0 - 1 = 0

Prendiamo in considerazione questi vettori:

• (1, 1/2)^t
• (2, 0)^t

non sono paralleli: ovvero sono LI

Infatti due vettori non paralleli: se e solo se:

a ≠ a'; b ≠ b'

I vettori (1, 1/2)^t e (1, 0)^t sono ortogonali perché il prodotto scalare è 0.

⟨(1, 1/2)^t , (2, 0)^t⟩ = 1*1 + 0*1 + 1*(-1) = 0

Ritorniamo all'osservazione generale

Ovvero che se sostituiamo termine a termine ottengo:

ax₀ + by₀ + cz₀ + d -

- (ax₁ + by₁ + cz₁ + d =

ax₀ - ax₁ + by₀ - by₁ + cz₀ - cz₁ = 0

(⟨x₀, x₁⟩) + (⟨y₀ - y₁⟩)b + (z₀, z₁)c = 0

P - O: (x₀, y₀, z₀) Q - 0: (x₁, y₁, z₁) => P - Q (x₀, y₀, z₀)

eq

π

a: x + by - cz + d ≠ 0

π'

x - y + z + 3 ≠ 0

R = (1, -1, 0)

π non passa per l'origine e non passa per R:

2 - 4 + 0 + 2 ≠ 0

calcolare la distanza di R da π:

d(R, π) = d((1, -1, 0), π') con π' passante per R nel piano π

^{( 1 )}/_{( -1 )}/^{( -1 )} direzione ortogonale a π'...

la retta ortogonale a π passante per R ha equazione parametrica

x(t) = 1 + 1 t

y(t) = t(-1) = -1 + (-1) t

z(t) = t = 0 + t

... calcoliamo t₀ tale che (x(t₀), y(t₀), z(t₀)) ∈ π, cioè:

(0·1 - 1·t₀) + t₀ + 1 = 0

3 t₀ = -2

t₀ = -²/₃

R' = ( 2/3, 4/3, -1/3 ) punto nel piano π passante per R

d(R, π) = d((1, -1, 0), ( 2/3, 4/3, -1/3 )) =

√

( 1 - ²/₃ )² + ( -1 - ⁴/₃ )² + ( 0 + ¹/₃ )² =

= ¹ /₉ + ¹ /₁ + ¹ /₉ =

=

=

=

√

=

= ^√3/₃

Per es:

x - y + z + 2 ≠ 0

π' ......

x .. x .... infiniti ...)