Appunti di algebra e geometria (8)

Lezione 11 - 26/10/18

Piano vettoriale

Riepilogo 17/10R_ex + b_y + c_z + d = 0 con a, b, c non tutti nulli.

S = {_x,y,z ∈ ℝ³ a_x + b_y + c_z + d = 0}

Se d_c = 0 ⇔ O = (0,0,0) ∈ π In tal caso il piano si dice che è passante per l'origine ed è un sottospazio vettoriale di ℝ³ (di dimensione 2).

Per capire

P ∈ π Q ∈ π O ∉ π P - O _↑ Ÿ Q - O _↑ Ÿ

Insieme: ∀_v ∈ Ÿ ∀λ∈ℝ λ_v + w_⋋ ∈ Ÿ

Se d ≠ 0, cioè se O ∉ π è un piano passante per l'origine allora π non è un sottospazio vettoriale di ℝ³ (non c'è il vettore nullo).

Per l'algebra

Una retta π nono descritto da un parametro t: z = {x(t) = t_⋏⃗x_o₁^⋏ u y(t) = t_⋏⃗y_o₃^⋏ u z(t) = t_⋏⃗z_o₃^⋏ } t ∈ ℝ u_z₀

Se forma un piano π è un sottospazio vettoriale se non forma dell'insieme non è un sottospazio vettoriale.

Lezione 14 - 24/10/18

Riepilogo 17/10

Riconoscere a x + b y + c z + d = 0 con a, b, c non tutti nulli

T = {S = (x, y, z) ∈ ℝ³ | a x + b y + c z + d = 0}

OSSERVAZIONE: d = 0 ⟺ 0 = (0, 0, 0) ∈ π In tal caso il piano si dice che è PASSANTE per l'origine ed è un sottospazio vettoriale di ℝ³ (di dimensione ₂).

Per capire

P ∈ π Q ∈ π O ∈ π P - O ∈ π Q - O ∈ π

Insieme: λ v ∈ π ⇒ ∀ λ ∈ ℝ v + w ∈ π

Se d ≠ 0, cioè né π né O è un piano passante per l'origine, π NON è un sottospazio vettoriale di ℝ³ (non c'è il vettore nullo).

Per la retta

Una retta si può descrivere da un parametro t: T = {x(t) = t u₁ + x₀ y(t) = t u₂ + y₀ z(t) = t u₃ + z₀} t ∈ ℝ (₁, u₂, u₃)

Se manca il termine x è sottospazio vettoriale, se manca nell'origine non è un sottospazio vettoriale.

Osservazione P = (x₀, y₀, z₀) ∈ ℝ³ ⇔ Q = (x₁, y₁, z₁) ∈ ℝ³

Π = {(x, y, z) ∈ ℝ³ | ax + by + cz + d = 0 con non tutti nulli}

Esempi

x - 2y + z = 0

(1, 1, 1) appartiene al piano di eq. x - 2y + z = 0 infatti 1 - 2(1) + 1 = 0

Anche la terna (1, 0, -1) appartiene al piano: infatti 1 - 0 - 1 = 0

Prendiamo in considerazione questi vettori (¹/₂(¹/₀) e ( ²/₀⁰/₁) non sono paralleli: ovvero sono LI Infatti due vettori non paralleli: se e solo se: ∃! λ ∈ ℝ: λv = w

I vettori: ( ¹/₂ ⁰/₁ e ( ¹/₀ ⁰/₁) sono ortogonali perchè il prodotto scalare è 0: <( ¹/₂ ⁰/₁ , ¹/₀ ⁰/₁)> = 1⋅1 + 0⋅1 + 2⋅(-1) = 0

Osservazione generale

Osserva che se sostituiamo termine e termine ottengo: ax₁ + by₁ + cz₁ + d = Q: x₁ + by₁ + cz₁ + d = e x₀ - e x₁ + by₀ - by₁ + cz₀ - cz₁ = 0 ⇒ (x₀, x₁), (y₀, y₁), (z₀, z₁) P - Q ( ^x₀/_x1 Q - 0 ( ^y₀/_y1 ^z₀/_z1)

⇒ P - Q ( ^{x₀ - x₁}/_{y0 - y1} ^{z₀ - z₁}/_{z1 - z1)}

Grafica note

N-O:_(a,b_,c₎ ≠ 0 In altre parole: a (x₀-x₁) + b (y₀-y₁) + c (z₀-z₁) = 0 equivale a dire: <N-O:_(b)^(c), (x₀-x₂^y₀-y₂)> ossia N-O è ortogonale al vettore P-Q (per ogni coppia P, Q di punti del piano)

Rimmondo, N è dato il piano se da eq. ax + by + cz dà zero in A per cui a, b, c non tutti nulli, allora (a, b, c) ha direzione ortogonale a p, (non tutti nulli perché se fossero tutti zero avremmo O che è ortogonale e tutti i piani)

Esempio 5 per qualunque di un piano tranne x=0

x - 2y + z + 3 ≤ 0 eg. di un piano non per due pigne (a = 0) (-2 1) è vettore la cui direzione è ortogonale a x esempio x - 2y + z = 0 R= (1, 0, 3) R ∉ x, infatti 1 - 0 + 3 ≠ 0

p voglesi trovare allora la proiezione del punto r nel piano. Pendo la retta r ortogonale a R₁ e passante per R considero -1/2 1 vettore ortogonale a R₁, la retta ortogonale a R passante per r di coordinate (4, 0, 3) ha equazione parametrica: x(t) = t(-1) + 1 y(t) = t(-2) + 0 z(t) = t(1) + 3

PASSA SICURAMENTE DAL PUNTO x(t) = ta + x₀ y(t) = tb + y₀ z(t) = tc + z₀ => equazione parametrica di retta ortogonale al piano di eq. avremo ax + by + cz + d = 0 passare per il punto (x₀, y₀, z₀) x(t) = t + 4 y(t) = -2t z(t) = t + 3 x - 2y + z = 0 (1 + t) = -2(-2t) + (t + 3) = 0 2 + 6t + 4t + t + 3 = 0 6t = -6 t = -2/3

R’ = (1, -2/3, 4/3, -2/3 x 3) => R’(4/3, 4/3, 7/3)

Osservazioni

x: ax + by + cz + d = 0 x': a'x + b'y + c'z + d' = 0 Possono essere coincidenti, paralleli, o incidenti:

• x coincidente a x' ↔ ∃ p ∈ &Ropf; &setminus; {0} : a = pa' b = pb' c = pc' d = pd'
• x paralleli a x' ↔ le rispettive ortogonali a x e a x' semplicemente non sono paralleli: ↔ ∃ p ∈ &Ropf; &setminus; {0} ⟨ (a/b, b/c) = p(a'/b', b'/c') ⟩
• x incidenti e x' se non coincidenti o paralleli

Dato: x: ax + by + cz + d = 0 x': a'x + b'y + c'z + d'=0 due piani in &Ropf;³ non paralleli Quindi non incidenti e x ∩ x' è una retta in &Ropf;³ L'angolo formato dai due piani è:

consideriamo l'angolo fra i vettori ortogonali (a/b, c/b), (a'/b', c'/b')

= aa' + bb' + cc' = = \( \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \cdot \sqrt{a'^2 + b'^2 + c'^2} \cdot \cos{\alpha} \)

α = \arccos\left(\frac{aa' + bb' + cc'}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \cdot \sqrt{a'^2 + b'^2 + c'^2}}\right)

Angolo fra due piani incidenti