Appunti Algebra e geometria lineare

OSSERVAZIONE:

Per verificare le proprietà di spazio vettoriale serve anche comprendere chi siano l'origine e l'opposto

di un elemento.

ESEMPIO:

Per Origine:

- Opposto:

-

CONTROESEMPI DI SPAZI VETTORIALI:

- Dediniamo i vettori: Gemoteria e Algebra Lineare Pagina 22

Dediniamo i vettori:

se fosse uno spazio vettoriale la loro somma ricadrebbe all'interno di esso.

Notiamo quindi che:

Quindi: allora non è uno spazio vettoriale

- , dunque, , non è uno spazio vettoriale.

OSSERVAZIONE:

Se avessi considerato

allora, sarebbe stato uno spazio vettoriale perché:

SOTTOSPAZI VETTORIALI

Sia uno spazio vettoriale, un sottoinsieme si dice SOTTOSPAZIO VETTORIALE se:

a.

b.

ESEMPIO Gemoteria e Algebra Lineare Pagina 23

ESEMPIO

Definiamo:

Verifichiamo sia un sottospazio vettoriale:

Il risultato della somma di 2 vettori generici appartenenti al sottospazio è compresa nel

□ sottospazio:

Il risultato del prodotto scalare di un vettore generico appartenente al sottospazio è

□ compreso nel sottospazio:

Quindi è un sottospazio

OSSERVAZIONE:

Se è un sottospazio vettoriale, deve contenere l'origine del suo spazio ambiente .

Infatti, per la funzione di prodotto scalare di una matrice:

con

CONTROESEMPIO:

allora

Pongo :

Quindi:

Domanda:

Sia sia un sottoinsieme di (Spazio vettoriale).

Supponiamo non sia un sottospazio.

Posso definire un sottospazio vettoriale che contiene ed è minimale in qualche senso?

Se consideriamo , ovvero un solo punto, scopriamo che non è uno spazio vettoriale, perchè, ad

esempio, la moltiplicazione per scalare non è valida.

Il sottospazio vettoriale più piccolo che contiene è quindi:

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COMBINAZIONE LINEARE:

Sia uno spazio vettoriale. Dati dei vettori:

Una combinazione lineare ai tali vettori è una somma

Diciamo che è combinazione lineare di se esistono tali che:

ESEMPIO:

Siano v

Allora il vettore è combinazione lineare di e :

ESEMPIO:

Un qualunque vettore si scrive come:

è dunque combinazione lineare di e .

Notare che l'origine è combinazione lineare di qualunque insieme di vettori, baste ustilizzare

coefficenti

SPAZIO VETTORIALE FINITAMENTE GENERATO:

Uno spazio vettoriale è finitamente generato se esistono tali che ogni vettore di è

combinazione lineare di cioè esistono

GENERATORI

I vettori di si dicono

In caso contrario, lo spazio vettoriale si dice INFINITAMENTE GENERATO

ATTENZIONE: Se ti capitano domande sugli spazi infinitamente generati all'orale vuol dire che stai

andando bene.

ESEMPIO:

I seguenti vettori sono generatori di

Gemoteria e Algebra Lineare Pagina 25

Analogamente dei generatori di possono sono:

ESEMPIO:

Quindi le matrici quadrate di ordine 2 sono finitamente generate

ESEMPIO sono generatori di

OSSERVAZIONE:

Il vettore si può scrivere in più modi:

1)

2)

Quindi, scrivere un vettore come combinazione lineare può non essere univoco.

In conclusione, esistono infinite famiglie di generatori per un spazio finitamente generato

SPAN

Siano vettori di uno spazio vettoriale

Il sottospazio lineare generato da è l'insieme di tutte le combinazioni lineari ottenibili da

Più in generale, sia un sottoinsieme di uno spazio vettoriale, il sottospazio generato

da è lo spazio di tutte le combinazioni lineari di elementi di :

ESEMPIO

Graficamente, questo si presenta come tutto il piano nello spazio

ESERCIZIO

Gemoteria e Algebra Lineare Pagina 26

ESERCIZIO

Verificare che è un sottospazio vettoriale di

PROPOSIZIONE:

Siano due sottospazi vettoriali di

Allora è un sottspazio vettoriale di

DIMOSTRAZIONE:

Siano :

1) in quanto è sottospazio

2) u v in quanto è sottospazio

Analogamente :

1) in quanto è sottospazio

2) v in quanto è sottospazio

ESERCIZIO

Sia un sottoinsieme di uno spazio vettoriale

Mostrare che

VETTORI LINEARMENTE INDIPENDENTI

Sia uno spazio vettoriale

Dati diciamo che sono linearmente indipendenti se:

a a

VETTORI LINEARMENTE DIPENDENTI

Se, seguendo il ragionamento di prima, esistono coefficienti tali per cui il risultato

della sommatoria è pari a 0, allora i vettori si dicono linearmente dipendenti

ESEMPIO: sono linearmente indipendenti, infatti:

ESEMPIO: sono linearmente indipendenti, infatti:

OSSERVAZIONE:

Supponiamo linearmente dipendenti. Allora esistono .. non tutti nulli tali

che:

Supponiamo

Allora:

Cioè è combinazione lineare di

In generale se sono linearmente dipendenti, ogni vettore è combinazione degli

altri.

ESEMPIO: sono linearmente dipendenti in

Infatti:

Gemoteria e Algebra Lineare Pagina 27

Infatti:

Equivalentemente:

Cioè è combinazione lineare dei primi due vettori.

OSSERVAZIONE:

Supponiamo siano linearmente indipendenti.

Allora qualunque sottoinsieme di è linearmente indipendente.

PROPOSIZIONE

Siano vettori di uno spazio vettoriale. Tali vettori sono linearmente

indipendenti se e solo se

Dimostrazione:

Supponiamo siano linearmente indipendenti

Supponiamo:

Equivale a:

Ed essendo linearmente indipendenti:

cioè

VICEVERSA supponiamo:

Prendiamo:

Poichè:

Allora:

Da cui:

BASI Sia uno spazio vettoriale. Una BASE di è un insieme di generatori linearmente indipendenti.

POROPOSIZIONE:

Sia un insieme di generatori di . Se sono linearmente dipendenti,

esiste un sottoinsieme più piccolo di costituito ancora da generatori.

DIMOSTRAZIONE:

Se sono linearmente dipendenti esistono non tutti nulli, tali

che

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Per semplicità supponiamo . Allora:

Preso perchè genera esistono tali che:

Quindi genera

PROPOSIZIONE

Siano vettori linearmente indipendenti. Si ha che è tale che

sono linearmente indipendenti se e solo se:

DIMOSTRAZIONE:

Supponiamo siano linearmente indipendenti.

Se allora:

u

o equivalentemente: ☇

Questa è una contraddizione.

VICEVERSA

Se allora supponiamo siano linearmente dipendenti.

Esiste una combinazione:

Essendo indipendenti, devo avere e:

Cioè ☇

Questa è una contraddizione

CONCLUSIONE

Possiamo:

1) Togliere vettori da un sistema di generatori per avere un sistema più

piccolo di generatori

2) Aggiungere vettori a un sistema linearmente indipendente per avere un

altro sistema più grande

FATTO:

Sia

Un sistema linearmente indipendente di

Sia

Un sistema di generatori di

Allora:

COROLLARIO:

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COROLLARIO:

Tutte le basi di uno spazio vettoriale hanno la stessa cardinalità

DIMOSTRAZIONE:

Siano:

Due basi.

Poichè è linearmente indipendente e genera devo avere:

Scambiando e ho

Quindi:

DIMENSIONE

Sia uno spazio vettoriale finitamente generato. La cardinalità di una qualunque base si chiama

DIMENSIONE di .

TEOREMA

Sia spazio vettoriale finitamente generato

1) Un qualunque insieme di generatori contiene al suo interno una base

2) Un qualunque sistema indipendente si può estendere (aggiungendo vettori) a una

base.

DIMOSTRAZIONE:

1) Sia di

Dato un sistema di generatori ho che

1) Se Non fare nulla

2) Se è linearmente dipendente

Almeno un vettore di è combinazione lineare degli altri, ad

esempio .

Se consideriamo , ho un insieme di generatori di cardinalità

Continuo finchè non arrivo a

2) Sia linearmente indipendente

Allora ard

1) Se non devo fare nulla

2) Se basta aggiungere a un vettore tale che:

Continuo ad aggiungere vettori finché non ha cardinalità pari ad

ESEMPIO:

Considerando

Una base di è:

ed è detta base canonica.

È una base anche:

Esistono infinite basi di .

La dimensione di è .

ESERCIZIO

Mostrare che le matrici :

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dove si trova nella riga e colonna :

Sono una base di

- La dimensione di è

-

ESERCIZIO:

Mostrare che è una base di

PROPOSIZIONE:

Sia un sottospazio vettoriale

Allora:

di di

Inoltre di di se e solo se

DIMOSTRAZIONE:

Siano: di

di

Dobbiamo dimostrare che .

Sia:

una base di .

Poichè è sottopsazio, è linearmente indipendente in

Allora per quanto visto in precedenza.

NOTAZIONE:

Sia un sottospazio vettoriale.

Diciamo che è:

RETTA - di

PIANO - di

IPERPIANO - di di

SISTEMA LINEARE OMOGENEO

Sia

Il sistema lineare

si dice SISTEMA LINEARE OMOGENEO associato ad

NUCLEO

Lo spazio delle soluzioni si chiama di e si indica:

er

PROPOSIZIONE:

Sia

1) Il nucleo di è un sottospazio vettoriale di

2) di er

DIMOSTRAZIONE:

1) Verifichiamo esista l'elemento neutro e che le funzioni "+" e "*" siano chiuse in :

Elemento nullo:

- "+":

- Siano: er

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er

"*":

- Siano: er

2) Notiamo che il sistema

Ammette sempre l'origine come soluzione

Se allora la soluzione è unica e non dobbiamo dimostrare nulla

- Se allora le soluzioni dipendono da parametri. Per semplicità

- supporremo il sistema a scala e che i parametri sono dati dalle ultime

incognite, cioè:

Allora:

In generale:

somma con coefficenti di

Sia il coefficientedi corrispondente al parametro

Allora:

Poniamo:

ESERICZIO:

Mostrare che è base di er

ESEMPIO: (Domanda tipica d'esame)

Poiché abbiamo che er ha dimensione 3-1=2 (è un piano)

Troviamo una base:

Poniamo: da cui:

Allora:

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è una base di er

Quanto detto finora vale per sottospazi che sono nuclei di matrici e dunque sono associati a

sistemi lineari omogenei. Cosa accade per sistemi lineari qualunque?

PROPOSIZIONE:

Sia un sistema lineare in forma matriciale.

Sia il sistema lineare omogeneo associato

Supponiamo sia una soluzioe del sistema

Allora tutte e sole le altre soluzioni di sono date da:

dove è soluzione del sistema omogeneo

DIMOSTRAZIONE:

Se è un altra soluzione di allora:

Dunque è soluzione del sistema omogeneo.

Viceversa se è soluzione del sistema omogeneo:

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3 - GEOM