Appunti di algebra e geometria (6)

SPAIO VETORIALE

DEFINIZIONE

Sia V un insieme qualunque dotato di una operazione di somma e di una operazione di prodotto per scalari...

PROPRIETÀ

(V, +) è un gruppo commutativo...

OSSERVAZIONE

I_K = I_Q x C

Esempi:

1. Lo spazio dei vettori definiti e partire da Σ, ℓ...
2. Spazio euclideo tridimensionale

^K x ₂₃...

Prodotto cartesiano in volte...

SOMMA:

• ... x_m y_m

PRODOTTU:

Con queste operazioni I_K^m...

3) M_{m, nm}(I_K) = {...} RIGA i - ESIMA COLONNA j - ESIMA

Lezione 8 - 22/10/18 - 10:15 a 11:00

Spazio Vettoriale

Definizione

Sia V un insieme qualunque dotato di una operazione di somma e di una operazione di prodotto su scalari di campo K che soddisfano le seguenti proprietà:

• (V,+) è un gruppo commutativo
• il prodotto per scalari in K soddisfa V1, V2, V3
• (inoltre si richiede che 1.x=x ∀ x ∈ V)

• (V, +, *) é uno spazio vettoriale sul campo K

Osservazione 1

• K = ℚ, ℝ, ℂ (numero di elementi infinito)
• K = {ℤ₂, {0, 1}} (a volte è quozionamento)

Esempi:

1. Lo spazio dei vettori definiti e partire da Σ b

   Spazio euclideo tridimensionale Kⁿ × K^m × ... × K^l

   Prodotto cartesiano n volte

2. Somma

   [x₁, x₂, ..., x_n]

   [x_m, y_m]

   Prodotto:

   [x₁, x_n]

   [x_m]

Con questa operazioni K^m è uno spazio vettoriale.

• Sottomagazzini di Kⁿ non:

1. M_m,n(K) = { [a₁₁ ... a_1m]^ril
2. [a_mla ... a_mm]^ril colonna j-esima q_ij ∈ K

In _m,n(K) definire + e .

Comporre endomorfismi di K^m a K^m

Con queste operazioni _m,n(K) e' uno spazio vettoriale.

A =

[_{4 0 -37 -1 0}]

B =

[_{-1 1 50 1 1}]

A+B =

[_{3 1 27 0 1}]

-3A =

[_{3 0 -521 -3 0}]

4) Chiamiamo: K[x] = {a₀ + a₁x + ... + a₂x² ; a_i ∈ K}

Con le somme ed il prodotto fra scalari in K e' uno spazio vettoriale.

5) Sia S un insieme e K,

{ f : S -> K:

f applicazione }

Definiamo:

(f₁ + f₂)(s) = f₁(s) + f₂(s) ∀ s ∈ S

(λf)(s)^def = λ . f(s) ∀ s ∈ S e ∀ λ ∈ K

e' quindi uno spazio vettoriale

Sotto esempio

S = IR

{f : IR -> IR}

Siano v₁, ... , v_n ∈ V V spazio vettoriale. Diciamo che v_k con e' una combinazione lineare di v₁, ... , v_n e con e' Span{ v₁, ... , v_n }:

Span{ v₁, ... , v_n } = { λ₁v₁ + ... + λ_nv_n. λ_i ∈ K }

Definizione

Sia V uno spazio vettoriale e per ∀W un sottoinsieme di V. Allora W è un sottospazio vettoriale se:

1. 0 ∈ W
2. w₀ è chiuso rispetto alla somma
3. w₀ è chiuso rispetto al prodotto per scalari

Chiuso rispetto alla somma ed al prodotto per scalari

∀ w, w₀ ∈ W allora w + w₀ ∈ W

∀ w ∈ W e ∀ a ∈ K allora a w ∈ W

Ω sia per definizione e lui non uno spazio vettoriale

Es:

Il²

→ Sottospazio? NO

W = 2∪S

Non è un sottospazio. Il punto è fuori delle rette.

Lezione 8 - 17/10/18 - 08:15 a 10:15

Esercizio:

1. Im ℝ³ A = (-1, 2, 1) B = (3, 0, -1)

Descrivere con un'equazione la retta passante per A e per B.

Soluzione:

Alternativa

{A-O} + s * [(A-O) - (B-O)]

Insieme = {B-O + t * [(A-O) - (B-O)]

• se t = 0 => (B-O)
• se t = 1 => (A-O)

t ∈ ℝ

• x(t): 3 - 6t
• y(t): 0 + 2t
• z(t): -1 + 2t

Osserviamo che dato un vettore v ∈ ℝ³ con v≠0 il luogo:

L_v = {t * v = [ t*v₁, t*v₂, t*v₃ ] t ∈ ℝ

è un vettore ed è un autospazio vettore di ℝ³

Osservazione

L_v si può interpretare come il sottospazio unidimensionale di ℝ³ generato da v. Lo span di v.

Corollario

• v ≠ 0 ∧ w ≠ 0 ⇒ vdp (v,w) ≠ 0
• con -v ≠ w ⇔ -v ∉ L_w con v ≠0 ⇒ span {v, -v} ∉ ℝ³ sott. di ℝ³
• con v, w ∉ w ⇒ ∃h∈ℝ. (h*v, w)

2)

Assumiamo un punto C dell’esercizio precedente:

C = (1,1,2)

Descrivere con un’equazione il piano passante per A, B, C

2(A - O) + β(B - O) + γ(C - O) = O con α, β, γ ∈ ℝ

(-2, 4, 1) + β(3, 0, 1) + γ(1, 2, 0) = (0, 0, 0)

d = 0, β = 0, γ = 0 ⇒ LI

(-2α, 4α, α) + (3β, 0, β) + (γ, 2γ, 0) = (0, 0, 0)

{

-2α + 3β + γ = 0

4α + 0β + 2γ = 0

α + β + 0γ = 0

}

{

-α + 3(-3α) - 2α = 0

γ = -2α

β = α - 4α - 3α

}{

-12α = 0

γ = -2α

β = -3α

α = 0

γ = 0

β = 0

}

rifare

x(t) = 3 - 4t

y(t) = -2t

z(t) = -2 + 2t

{3 – 4t = 1

z = -2

1 + 2t ≥ z

}

quindi

imposero

{

(u - O) + ε(A - d) - ((C - O) + s[(B - O) - (C - O)])

}

con ε, s in ℝ

{

x(t, s) = 1 + ε(-2) + s(2)

y(t, s) = 1 + ε(1) + s(-1) ε, s ∈ ℝ

z(t, s) = 2 + ε(-1) + s(-3)

}

=

{

x(t, s) = 1 - 2ε + 2s

y(t, s) = 1 + ε - s

z(t, s) = 1 - ε - 3s

ε, s ∈ ℝ

}

31) Consideriamo

{ (x, y, z) ∈ ℝ³ | x + 2y = 3 } = π

Consider (3,0,0) ∈ π

B = (3, 0, -1) ∈ π

C = (1, 2, 2) ∈ π

A = (-1, 2, 1) ∈ π

P₁, P_1' ∈ ℘

P₁ = (x₀, y₀, z₀)

P_1' = (x₁, y₁, z₁)

d(P₁, P_1') = √(x - x₀)² + (y - y₀)² + (z - z₀)²

d'(P₁, P_1') = √(x - x₁)² + (y - y₁)² + (z - z₁)²

Usando la media ponderata otteniamo

(x - x₀)² + (y - y₀)² + (z - z₀)² = ((x - x₁)² + (y - y₁)² + (z - z₁)²) ((x - x₀)²)

a b c (a b)

⇒ x (2x₁, 2x₀) + y (2y₁ - 2y₀) + z (2z₂ - 2z₀) + x₀ + y₀ + z₀ + x₁ + y₁ + z₁ - 7

⇒ ax + by + cz + d = 0

Se ax + by + cz + d = 0 è la generica equazione di un piano in ℝ³

allora 0 ∈ π ⇔ d = 0 con (a, b, c) non tutti nulli.

quindi

{ x ∈ ℝ³ | x + 2y = 3 } ma è un sottospazio vettoriale di ℝ³ ⇔ quando d = 3

A) Adesso cerco la retta ortogonale al piano di equazione x + 2y = 3 passante per il punto (1,5,7).

(...)