Appunti di algebra e geometria (6)

Lezione 8 - 12/10/18 - 10:15 a 11:00

Spazio Vettoriale

Definizione

Sia V un insieme qualunque dotato di una operazione di somma e di una operazione di prodotto per scalari che soddisfi le seguenti proprietà:

Proprietà

• (V, +) è un gruppo commutativo
• Il prodotto per scalari in K soddisfa ∀ v₁, v₂, v₃ e ∈V l'assioma di e il primo gruppo vettoriale nel campo K.

Osservazione

Osservazione 1

• K = ℚ; K = ℝ; K = ℂ (numeri di elementi infiniti)
• K = ℕ; o vedono unicamente

Esempi

1. Le n-upla dei vettori definite e partire m-spazi euclidei tridimensionale
2. Kⁿ × K₁ × ... × K_m prodotto cartesiano N volte
   • [x₁; ...; xₘ] veniam ordinato di m numeri; xₗ ∈ K
   1. Somma
      • [x₁; ...; xₘ] + [y₁; ...; yₘ] = [x₁ + y₁; ...; xₘ + yₘ]
   2. Prodotto

      xₗ ⋮ xₘ

      yₗ ⋮ yₘ

Con queste operazioni Kⁿ è un gruppo vettoriale.

• [0ⁿ, cⁿ] ⊆ F_c

3. M_m,n(K) =

   [a₁₁ ... a_1m] ⋮ ⋱ ⋮ [a_m1 ... a_mn,n]

   RIGA i-esima COLONNA j-esima [a_i,j ∈ K]

In M_m,n(K) definire t.c. componiamo endogeneica a K^m

Con queste operazioni M_m,n(K) è uno spazio vettoriale

A = [ 1 0 -3 ][ 7 -1 0 ]

B = [ -1 1 5 ][ 0 1 1 ]

A + B = [ 0 1 2 ][ 7 0 1 ]

3A = [ 3 0 -9 ][ 21 -3 0 ]

4) Chiamiamo: K[x] = { e₀ + e₁x + ... + e_nx² : a_i ∈ K } Con la somma ed il prodotto per scalari in K è uno spazio vettoriale

5) Sia S un insieme e sia{ f: S -> K | f applicazione }

Definiamo:

• (f+g)(s) = f(s) + g(s) ∀ s ∈ S
• (λf)(s) = λ . f(s) ∀ s ∈ S e ∀ λ ∈ K

è quindi uno spazio vettoriale

Sotto esempio: S = ℝ{ f: ℝ -> ℝ }

Siano v₁,...,v_n ∈ V V spazio vettoriale. Vogliamo definire cos'è una combinazione lineare di v₁,...,v_n e cos'è Span{v₁,...,v_n}

Span{ v₁, ..., v_n } = { λ₁v₁ + ... + λ_nv_n : λ_i ∈ K }

3)

consideriamo

{ (x, y, z) ∈ ℝ³ | x + 2y = 3 } = π

considera (3, 0, 0) ∈ π

B = ( 2, 0, 1 ) ∈ π

C = ( 3, -1, 2 ) ∈ π

A = ( -1, 2, 1 ) ∈ π

p₁, ..., ∉ π

P₁ = (x₀, y₀, z₀)

P'₁ = (x₁, y₁, z₁)

d(P_i) = √((x - x₀)² + (y - y₀)² + (z - z₀)²)

d(P'_i) = √((x - x₁)² + (y - y₁)² + (z - z₁)²)

a questa nuova condizione otteniamo

(x - x₀)²/ + (y - y₀)²/ + (z - z₀)²/ = (x - x₁)²/ + (y - y₁)²/ + (z - z₁)²/

⇒ x (2x₁ - 2x₀) + y (2y₁ - 2y₀) + z (2z₁ - 2z₀) + x₀ + y₀ + z₀ + x₁ + y₁ + z₁ = 0

→ ax + by + cz + d = 0

Se ax + by + cz + d = 0 è la generica equazione di un piano in ℝ³

allora O ∈ π ⇔ d = 0 con (a, b, c) non tutti nulli.

quindi

{ ( x ) ∈ ℝ³ | x + 2y = 3 } non è un sottospazio vettoriale di ℝ³ in quanto d = 3

4)

Adesso cerca la retta ortogonale al piano di equazione x + 2y = 3 passante per il punto (1, 5, 7) (∉ π)