Appunti di algebra e geometria (5)

Prodotto Vettoriale

Siano v e w due vettori non paralleli; allora:

v ^∧ w del momento = |v| |w| senθ e θ ∈ [0,π]₂

direzione: ortogonale e Sp {v,w}

verso: regola della mano destra

Se v e w sono paralleli, allora:

v ^∧ w = 0 ∈ V

Osservazione 1

|v ∧ w| è uguale a area del parallelogramma determinato dei due vettori.

|v| = base del parallelogramma

|w| senθ = altezza del

Osservazione 2

{i,j,k} è una base ortonormale positivamente orientata

ie: i ∧ j = k

Osserviamo:

• i ∧ i = 0
• j ∧ j = 0
• k ∧ k = 0
• i ∧ j = k
• k ∧ i = j
• j ∧ k = i

Proprietà del Prodotto Vettoriale

1. v ∧ w = -w ∧ v ∀ v,w ∈ V ANTISIMMETRICO
2. v(α₁w₂ + α₂w₂) = α₁(v ∧ w) + α₂(w ∧ v) LINEARE
3. (λv)∧w = λ(v∧w)
4. v ∧ w = 0 ⇒ v e w non sono paralleli

Prodotto Vettoriale

Siano v e w due vettori non paralleli; allora:

v ∧ w

momento = ||v|| ||w|| sen θ, θ ∈ [0, π]

direzione = ortogonale a Span {v, w}

verso = regola della mano destra

Se v e w non sono paralleli, allora:

v ∧ w = θ e v

Osservazione 1

Interpretazione: area del parallelogramma determinato dai due vettori

|v| = base del parallelogramma

|v ∧ w| = altezza del parallelogramma

Osservazione 2

{i, j, k} è una base ortonormale positivamente orientata

i ∧ j = k

i ∧ i = 0

j ∧ j = 0

k ∧ k = 0

i ∧ j = k

j ∧ k = i

k ∧ i = j

j ∧ i = -k

Proprietà del prodotto vettoriale

1) v ∧ w = -w ∧ v ∀ v, w ∈ V

Antisimmetrico

2) (α v1 + β v2) ∧ w = α (v1 ∧ w) + β (v2 ∧ w)

Lineare

b) (λ v) ∧ w = λ (v ∧ w)

3) v ∧ w = 0 ↔ v e w non sono paralleli

Lezione 7 10/10/18 - 08:20 e 08:00

Riepilogo

N ∧ W: area del parallelogramma

{i, j, k} base ortonormale destrorsa: i ∧ j = k

Seguendo la regola della mano destra

Esprimere del prodotto vettoriale in coordinate cartesiane

Siano:

V = x₁i + y₁j + z₁k

W = x₂i + y₂j + z₂k

V ∧ W = ?

(x₁i + y₁j + z₁k) ∧ (x₂i + y₂j + z₂k) =

= x₁x₂i ∧ i + x₁y₂i ∧ j + x₁z₂i ∧ k + y₁x₂j ∧ i + y₁y₂j ∧ j + y₁z₂j ∧ k +

+ z₁x₂k ∧ i + z₁y₂k ∧ j + z₁z₂k ∧ k

= (y₁z₂ - z₁y₂)i - (x₁z₂ - z₁x₂)j + (x₁y₂ - y₁x₂)k

Consideriamo questa matrice:

[ a b ]

[ c d ]

a, b, c, d ∈ ℝ

matrice con 2 righe e 2 colonne

det [ a b ] = ad - cb

[ c d ]

Esempio:

det [ 3 7 ] = 15 - (-7) = 22

[ -1 5 ]

det [ y₁ z₁ ] - det [ x₁ z₁ ] j + det [ x₁ y₁ ] k

[ y₂ z₂ ] [ x₂ z₂ ] [ x₂ y₂ ]

det

• per ottenere i coefficienti di ̅, ̅, ̅
• togli la riga e la colonna di ̅, ̅ o ̅ e il moltiplicatore di valori precedentemente (ricorda il − per ̅)

Importante

Esercizio:

Siano = 3̅ − 2̅ + ̅ e = ̅ + 7̅

calcolare ∧ :

∧ = det

• | ̅ ̅ ̅ | - 1° vettore
• | 3 -2 1 | {l'ordine è IMPORTANTE (se mi cambia il segno)}
• | 0 1 7 | - 2° vettore

= det | -2 1 | ̅ − det | 3 1 | ̅ + det | 3 -2 | ̅ =

• | 1 7 | | 0 7 | | 0 1 |

= -15 - 21̅ + 3̅

verifica

r ∧ ∧ = 3(-15) + (-2)(-21) + (1)(3) = -45 + 42 + 3 = 0

r ∧ ∧ = 0(-15) + 1(-21) + (7)(3) = -21 + 21 = 0

Notazione

| | = | |

| | | |

Osservazione

Sia = ₁̅ + ₁̅ e = ₂̅ + ₂̅ onda e sul piano generato da ̅ e ̅

∧ =

• | ̅ ̅ ̅ | = ₃₁ ̅ = | ₄₂ - ₄₂ |
• | _{2 2} 0 |
• | _{2 2} 0 |

Quindi l'area del parallelogramma determinato da e è ₄₂ - ₄₂

Esercizio

Sono dati i punti

A = (2, -1), B = (3, 4), C = (-1, 2)

Determinare D tale che ABCD è un parallelogramma e determinare l'area di questo parallelogramma

Verifica 4 - 10/10/24 - 09:15 a 10:00

Soluzione

(B-A) = i + 5j

((-A) - (-3i + 3j))

(D-A) = (B-A) + (C-A) = -2i + 8j

Prova

0 = (0, 7) = si porta A con questo

ora che il parallelogramma

(B-A) ∧ (C-A) =

|^(i) j k || 1 5 0 ||-3 3 0 | = 18k

area = |18| = 18

Prodotto Misto

u = x₁i + y₁j + z₁kv = x₂i + y₂j + z₂kw = x₃i + y₃j + z₃k

<u, v ∧ w> = u ∙ v ∧ w =

= <x₁i + y₁j + z₁k>

⎝ y₂ z₂ ⎠ ⎝ - (x₂ z₂)⎝ y₃ z₃ ⎠ ⎝ x₃ z₃)

= X₂|y₂ z₂| - y₁|x₂ z₂| + z₂|x₂ y₂| =

x = det

{

|x₁ y₁ z₁|

|x₂ y₂ z₂|

|x₃ y₃ z₃|

}

Ricordiamo

<u, v^w> = <u, ||v^w|| cos ω>

quindi:

<u, v^w> = volume del parallelepipedo individuato da u,v,w

Osservazione

Se {u,v,w} è una base di V se e solo se il prodotto misto <u, v^w> è diverso da 0

Esercizio

Trovare i valori del parametro α e t.t. tali che:

u = αi - j + 2k

v = i + j + k

w = 2i + 2j - αk

formano una base

Soluzione 1

Applico la definizione di L.I. e determino α ∊ ℝ (se esiste) tale che il sistema lineare che ottengo debba un'unica soluzione (la sol. zero)

Soluzione 2

Uso il prodotto misto.