Appunti di algebra e geometria (5)

Prodotto Vettoriale

Siano v e w due vettori non paralleli; allora:

v ∧ w del prodotto vettoriale = norma v * w * sen Ѳ ∈ [0, π]

Direzione ortogonale e span {v, w}

Verso: regola della mano destra

Se v e w sono paralleli, allora:

v ∧ w ∈ ∅

Osservazione 1

Int(a, b) = area del parallelogramma determinato dai due vettori

|v| = base del parallelogramma

|w| sin Ѳ = altezza del parallelogramma

Osservazione 2

i, j, k è una base ortonormale positivamente orientata

ie: i ∧ j = k

Osserviamo

• i ∧ i = 0
• j ∧ j = 0
• k ∧ k = 0
• i ∧ j = k
• k ∧ i = j
• j ∧ k = i

Proprietà del Prodotto Vettoriale

1. v ∧ w = -w ∧ v   ∀ v, w ∈ V   antisimettrico
2. u (a₁ v₁ + a₂ v₂) ∧ w = a₁ (u ∧ v) + a₂ (u ∧ w) lineare
3. (λu) ∧ w = λ(u ∧ w)
4. v ∧ w = 0 ⇒ v e w sono paralleli

Lezione n° 7 - 10/10/18 - Ore 20 e 21:00

Riepilogo

U ∧ W; area del parallelogramma {i, j, k} base ortonormale destrorsa; i ∧ j = k Segua la regola della mano destra

Espressione del prodotto vettoriale in coordinate cartesiane

Siano:

• U = x₁i + y₁j + z₁k
• W = x₂i + y₂j + z₂k

U ∧ W = ?

(x₁i + y₁j + z₁k) ∧ (x₂i + y₂j + z₂k) = = x₁x₂i ∧ i + x₁y₂i ∧ j + x₁z₂i ∧ k + y₁x₂j ∧ i + y₁y₂j ∧ j + y₁z₂j ∧ k + z₁x₂k ∧ i + z₁y₂k ∧ j + z₁z₂k ∧ k

= 0 = (y₁z₂ - z₁y₂)i - (x₁z₂ - z₁x₂)j + (x₁y₂ - y₁x₂)k

Proprietà di bilinearità

Consideriamo questa matrice:

Determinante di una matrice con 2 righe e 2 colonne:

det = ad - cb

Esempio:

Determinante = 15 - (-7) = 22

Determinante:

• - det di matrice con x₂ y₂ z₂
• + det di matrice con x₁ x₂ z₂

Sol 2:

| a -1 2 |

<u∧v∧w> = | 1 1 1 | = a | 1 1 | + 1 | -1 1 | + 1 | -1 1 | =

| 1 1 1 | | 2 -2 | | 2 2 |

| 2 2 -2 |

= a (-2-2) + (-2-a) + 0 = (-a-2)(a+1) ≠ 0

Per a ≠ -1, -2 :

I tre vettori formano una base di V

Ricordiamo:

• Identità di Lagrange

|u∧w|² = |u|²|w|² - <u,w>²

= |u|²|w|² - (1 - cos²ω)

= [|u|²|w|² - <u,w>²]

• Doppio prodotto vettoriale

u∧(v∧w) = <u,w>v - <u,v>w

• Il prodotto vettoriale _non è associativo.

u∧(v∧w) ≠ (u∧v)∧w

Dimostrazione

u = i v = j w = z

1^o 0 = i∧(j∧z)

2^o (i∧j)∧z = k∧z = -i