Appunti di algebra e geometria (4)

Lezione 5 - 03/10/18 - ore 17 a 19:00

Coordinate

Nota

_ℝ³ → ℕ (x₁, x₂, x₃)

Somma definizione

• (x₁, x₂, x₃) + (y₁, y₂, y₃) = (x₁ + y₁, x₂ + y₂, x₃ + y₃)

Prodotto

• λ • (x₁, x₂, x₃) = (λx₁, λx₂, λx₃)

Proprietà

• (ℝ³, +) è un gruppo abeliano
• Insieme vogliamo le proprietà v₁, v₂, v₃, quindi:

ℝ³, con queste operazioni, è uno spazio vettoriale

Nello spazio dei vettori V, fissiamo una base:

B = {v₁, v₂, v₃}

Se ed ogni v ∈ V a scrive in modo unico come

combinazione lineare degli elementi della base v₃, v₂, v₃:

v: x₁v₁ + x₂v₃ + x₃v₃

Coordinate di v rispetto alla base B

Quindi è definita una applicazione:

Φ_B: V → ℝ

ℝ³ → N (x₁, x₂, x₃)

Applicazione dipende dalla scelta della base

Lezione 5 - 03/10/18 - 08:17 \@ 09:00

Coordinate

^Nota _ℝ³

( ^{_{1 2 3}})

( ^{_{1 2 3}}) + ^Definizione ( ^{_{1 2 3}})=( ^{₁ + _{1 2} + _{2 3} + ₃})

( ^{_{1 2 3}} )=( ^{_{1 2 3}})

→

_ℝ ^ℝ³

Proprietà

• (ℝ³, +) è un gruppo abeliano
• Insieme soddisfa le proprietà V1, V2, V3, quindi :
• ℝ³ con queste operazioni è uno spazio vettoriale
• Nello spazio dei vettori V, fissiamo una base:

B = { ₁, ₂, ₃ }

Se ogni v ∈ V si scrive in modo unico come combinazione lineare degli elementi della base ₁, ₂, ₃:

v = _{1 1} + _{2 3} + _{3 3}

→

Coordinate B di V rispetto alla base B

Quindi è definita una applicazione:

_B : V → ℝ³

v ↦ (^{_{1 2 3}})

^{Applicazione dipende dalla scelta della base}

Infettiva o suriettiva

• È infettiva perché non si verifica che due vettori finiscono nella stesso punto.
• È suriettiva perché ad ogni terna (punti) corrisponde un vettore.

Però

Per avere un'applicazione i vettori devono essere l.i. Si dice che è ben definita perché :

Esempio di isogenia

J = β₁ν₁ + β₂ν₂ + β₃ν₃ + β₄ν₄

V = d₁ν₁ + d₂ν₂ + d₃ν₃ + d₄ν₄

con :

• ν₁, ν₂, ν₃ con complanari;
• a₁, a₂, a₃ non complanari;

V ⟶ (_β1β2β3β4)

Ambiguità perché non so dove V va con la freccia, cioè non è ben definito.

In questo esempio prendiamo 4 vettori l.d., ovvero non è una base, e non è ben definita, con tre sì.

Proprietà dell'applicazione

1. f_θ è binivoco
2. f_θ (ν + w) = ?

Aderiamo B = {ν₁, ν₂, ν₃} finito ed ha: ν = x₁ν₁ + x₂ν₂ + x₃ν₃

w = y₁ν₁ + y₂ν₂ + y₃ν₃

ν + w = x₁ν₁ + x₂ν₂ + x₃ν₃ + y₁ν₁ + y₂ν₂ + y₃ν₃ =

= (x₁ + y₁)ν₁ + (x₂ + y₂)ν₂ + (x₃ + y₃)ν₃

Coordinate del nuovo vettore dato dalla somma tra ν e w

quindi:

f (u + v)_i = f (u)_i + f (v)_i ← coordinate della somma = somma delle

f ( (λ ∙ u)_i = d ∙ f (v)_i ← coordinate di λu = λ (coordinate

di u)

u,v ∈ V

i ∈ ℝ

COORDINATE

APPLICAZIONE LINEARE godrà rispetto queste due proprietà:

STRUTTURA LINEARE

VERSORE

DEFINIZIONE

Un versore è un vettore di norma 1

≠ 0

OSSERVAZIONE

Se prendo un vettore v ∈ V (di norma) v sono DUE versori.

uno ha stessa direzione di v, uno in stesso non

ed uno con verso opposto:

v/‖v‖ , -v/‖v‖

DEFINIZIONE

Due vettori u e v, orineri de 0, si dicono

ORTOGONALI se l'angolo formato da u e v è

un angolo retto:

⇒ u ⊥ v

VERSIONE S → 03/10/18 - 09:45 e 10:00

Diciamo che O v ∈ V è ortogonale e tutti gli altri

vettori.

PROPRIETÀ DI PITAGORA

‖u + w‖² = ‖u‖² + ‖w‖²

⇔ con u ⊥ w

Una base {i, j, k} si dice ORTONORMALE se |i| = |j| = |k| e i ⊥ j, j ⊥ k, i ⊥ k. Un sistema di riferimento {O, i, j, k} si dice CARTESIANO se la base {i, j, k} è ortonormale.

PROPOSIZIONE

Sia {i, j, k} una base ortonormale e sia v = x₁i + x₂j + x₃k.Quindi:

|v| = √(x₁² + x₂² + x₃²)

DIMOSTRAZIONE

So che v = x₁i + x₂j + x₃k = (x₁i + x₂j) + x₃k

Aggiungo Pitagora ai vettori "1", :

|v|² = |x₂i + x₂j|² + |x₃k|² =

Applico Pitagora:

= |x₁i|² + |x₂j|² + |x₃k|² == |x₁|² + |x₂|² + |x₃|²

PRODOTTO SCALARE

Siano v, w ∈ V ≠ Ø e sia ∝ ∈ ]0, π[ l'angolo formato dai i due vettori:

<v, w> = numero = |v| |w| cos α

Altra notazione

v • w = numero = scalare

Se v = 0 o w = 0, per definizione, il loro prodotto scalare è uguale a 0

Osservazione 1

<N, W> >= 0

1 uno dei due e 0 => cos α = 0 (ossia α = ^π/₂)

Pensiamo considerare le:

<N, W> = 0 => π ⊥ W

Osservazione 2

Sse {π, j, k} ortonormali, ossia j, j, k versori e due a due ortogonali.

Unoco il prodotto scalare:

• <i, i> = 1
• <j, j> = 1
• <k, k> = 1
• <i, j> = 0
• <j, k> = 0
• <k, π> = 0
• <i, k> = 0
• perché sono ortogonali

Proiezione ortogonale

Proiezione ortogonale di v su W.

Significa scrivere v come somma di due vettori:

• Uno parallelo e W e uno ortogonale e W.
• Il vettore proiezione:
• <N, W> = <v, W>/|W|² ⋅ |W| =
• = <N, W>/<W, W> ⋅ W

Spezione dei passagi

• |v| ⋅ |W| ⋅ 1 ⋅ cos α
• Il secondo passagio fa non noi ai se forse, scrivere le
• proprietà del prodotto scalare
• oss → <v, W> = |v| |W|.cos() - |W|²

Propisizione per le propiesità del P scalare

Sio {i, j, k} uno bone ortogonate Sio v = x_ji + x₂j + x₃k

Allora:

• x₁ = <v, i>, x₂ = <v, j>, x₃ = <v, k>

DIMOSTRAZIONE

V = x₁i + (x₂)j + x₃k

[ sono ortogonali ]

quindi: x₁ è la proiezione ortogonale di V su i quindi: < V, i > i = < x₁i, i > ⇔ x₁ = < V, i >

Analogamente si dimostra per j e k

LEZIONE 6 - 05/10/20 - 10:15 e 11:00

Ripasso

Data { i, j, k } ortonormale e V ∈ V, le coordinate di V rispetto alla base { i, j, k } sono le seguenti:

V = < V, i > i + < V, j > j + < V, k > k

[ coordinate di v ]

PROPRIETA

S1) ∀V, W ∈ V:

< V, W > = < W, V > ⇒

S2) ∀ V₂, W₂ ∈ V e ∀α ∈ ℝ ⇒

a) < V₁ + V₂, W > = < V₂, W > + < V₂, W >

b) < α V₁, W > = α < V₁, W >

Proprietà di linearità nel primo fattore. Per le ④ vale anche nel secondo fattore. Il professore dice bilateral.

S3) < v, v > > 0 ed e' = 0 <=> v = 0 ➔ proprieta' a positività

Il prodotto scalare e' definito positivo

DIMOSTRAZIONI

S1) Dalla definizione

S2-b) . Notiamo che:

< a v₂, w > = | a || w | cos α = | v₁ || w | cos α

. se a ≥ 0 => < a v₂, w > ≥ < v₁, w > => a = 0 = 0

. se a > 0 => < a v₂, w > = | a || w | cos α =

. se a < 0

on solo formato da λv₂ e w e' uguale all'angolo formato da v₁ e w

= λ | w | cos α = > < v₂, w >

α + d' = α = 90°

cos α = - cos α

quindi:

< λ v₂, w > ≥ λ | v₂ || w | cos α = λ | v₁ || w | cos α =

= λ ( v₂ || w | cos α ) = λ < v₂, w >

S2-a) obiettivo < v₂ + v₂, w > = < v₁, w > + < v₂, w >

Rottiamo c = w inverse

Aggingere Je e k e formo una base ortonormade

B = { i , j , k }

f_B ( v₁ + v₂ ) = | ⟨v₁ + v₂ , i⟩ | | ⟨v₁ + v₂ , j⟩ | | ⟨v₁ + v₂ , k⟩ |

ho anche: f_B ( v₁ ) = | ⟨v₁ , i⟩ | | ⟨v₁ , j⟩ | | ⟨v₁ , k⟩ |

ho anche: f_B ( v₂ ) = | ⟨v₂ , i⟩ | | ⟨v₂ , j⟩ | | ⟨v₂ , k⟩ |

Nota che variano le coordinate di un vettore rispetto ad una base ortonormale Ricordiamo che f_B è lineare, quindi:

f_B ( v₁ + v₂ ) = f_B ( v₁ ) + f_B ( v₂ )

In particolare ho che: ⟨v₁ + v₂ , z⟩ = ⟨v₁ , z⟩ + ⟨v₂ , z⟩ quindi: |v₁ + v₂|_z = ⟨ |v₁|_z ⟩ + ⟨ |v₂|_z ⟩ infine usando le S2-b, trovo:

⟨v₁ + v₂, w⟩ = ⟨v₁, w⟩ + ⟨v₂, w⟩

Esercizio 6 05/10/₁₆ - ₁₁:15 a 12:00

Proposizione: Se | = | | | siano v = x₁ i + x₂ j + x₃ k w = y₁ i + y₂ j + y₃ k

⟨v, w⟩ = x₁ i + x₂ j + x₃ k | ⟨y₁, y₂, y₃⟩ | S2|: ⟨v₂, j⟩ + ⟨x₂, y₂⟩ + ⟨y₃, y₃⟩ = ⟨y₁ y₂ y₃⟩ ⟨y₂, x₂⟩ ⟨y₃, k⟩ = ⟨y₁ x₂ x₂ x₃

NOTA BREVE

In ℝ³ definiamo un prodotto scalare :

_{<x, y>} con _x=^(_x1) e _y=^(_y1)

<x₁, y₁> = x₁y₁ + x₂y₂ + x₃y₃

e ordiene S₁, S₂, S₃

OSSERVAZIONE 1

La norma di un vettore:

||v|| = √<v, v> della definizione

OSSERVAZIONE 2

Dati v ∈ V e w ∈ V, v ≠ 0 e θ ∈ [0, π] angolo dato in determinati, allora:

cosθ = <v, w> / ||v|| ||w||

OSSERVAZIONE 3

Proiezione_v(π) = <v, w> / <w, w> wcu^⋀

Proiezione di v nella direzione di w

Esercizi

Affiniamo una base ortonormale {î, j, k}.

1. Calcolare <v, w> con :
• v = 2î - 3j + _3/4 k
• w = - î + 2j + 6k

soluzione

<v, w> = -2 - 6 + 6 = -2

2. Determinare il versore nella direzione di v (_v come es. 1)

||v|| = √(4 + 9 + 9/16) = √(49/16) = √(247/16)

= 2^√_16/247 ẑ + 5^√_16/247 j + 3/4^√_16/247 k

2 √16/247 ẑ + 3/4 ^√_16/247 k

2^√₁₆ - z1...

3) determinare l'insieme dei vettori ortogonali a t, W

• (V e W come es. 1):
• Sia t = xi + yj + zk
• <t, V> ≥ 0
• <t, W> ≥ 0

1. 2x - 3y + ³/₄z = 0
2. -x - 2y + &gammadot;z

1. 9y + 16z - 3y + ³/₄z = 0
2. x - 2y + &pibar;z

1. y ≠ ⁶⁷/₄z = 0
2. x, 2y + &alphadotz;

quindi, l'insieme dei vettori:

{(⁵/₁z)i - (⁶⁷/₄)j + z k | z ∈ ℝ}

con

Condizioni:

Tra i vettori ortogonali a V e W ne scelgiamo archetipicamente uno: fissando z = 4:

t = - 102 i - 67 j + 6 k

4) determinare l'insieme dei vettori ortogonali a W

• (come nell’ es. 1)
• Sia t = xi + yj + zk
• soluzioni

• <t, W> ≥ 0
• -x + 2y + βk = 0
• x = 2y + γz

L’insieme è quindi:

{(2y + &thetadot1)i + y + &thetadot z k | y, z ∈ ℝ}₂

Span{zi + j, βi + k}

= y(βi + j) + z(βi + k)

verifica 6 – 05/10/18 – 12:15 o 13:00

Sì dienti nel version:

n = W^z + j + k

determinare l’angolo tra n e W