Appunti di algebra e geometria (4)

Lezione 3 - 03/10/18 - 17:00 e 19:00

Coordinate

Nota

ℝ³ { (x₁, x₂, x₃) }

Somma

Definizione

• (x₁, x₂, x₃) + (y₁, y₂, y₃) = (x₁+y₁, x₂+y₂, x₃+y₃)

Proprietà

• (ℝ³, +) è un gruppo abeliano • Inoltre, vediamo le proprietà v1, v2, v3, quindi: ℝⁿ, con queste operazioni, è uno spazio vettoriale

Nello spazio dei vettori V, fissiamo una base:

B = { v₁, v₂, v₃ }

Se per ogni v ∈ V si scrive in modo unico come combinazione lineare degli elementi della base v₃,v₂,v₃; v = x₁v₁ + x₂v₂ + x₃v₃

Quindi è definita una applicazione:

p_B: V → ℝ³ v ↦ (x₁, x₂, x₃)

1. è iniettiva o suriettiva?

• è iniettiva perchè non si verifica che e due vettori finiscono nello stesso punto
• è suriettiva perchè ad ogni terna (punti) corrisponde un vettore

Però Per avere una applicazione i vettori devono essere LI. Si dice che è ben definita perchè:

Im questo esempio prendiamo 4 vettori, LDI, ovvero non è una base, e non è ben definita, con tre si.

Proprietà dell'applicazione

• f è binivoco
• f(β, V₁+W) = ?

Supponiamo B = {v₁, v₂, v₃} finita ed LW = a₁v₁ + a₂v₂ + a₃v₃

R WV = y₁v₁ + y₂v₂ + y₃v₃

v₁ + v₂ = x₁v₁ + x₂v₂ + x₃v₃ + y₁v₁ + y₂v₂ + y₃v₃

= (x₁ + y₁)v₁ + (x₂ + y₂)v₂ + (x₃ + y₃)v₃

Coordinate del nuovo vettore dato dalla somma tra v_i e W

DIMOSTRAZIONE

v = x₁i + (x₂)j + x₃k

sono ortogonali

quindi:

x₁i è la proiezione ortogonale di v su i

quindi:

x₁ = <v, i> ⇒ x₁ = <v, i>

Analogamente si dimostra per j e k

Lezione 6 - 05/10/20-10:15 e 11:00

Ripetizione

Base {i, j, k} ortonormale e v ∈ V, le coordinate

di v rispetto alla base {i, j, k} sono le

seguenti:

v = <v, i>i + <v, j>j + <v, k>k

coordinate di v

PROPRIETÀ

1) ∀v, w ∈ V:

<v, w> = <w, v> → proprietà di simmetria

2) ∀v₁, v₂, w ∈ V e ∀α ∈ ℝ ⇒ proprietà di linearità

a) <v₁ + v₂, w> = <v₁, w> + <v₂, w>

b) <αv₁, w> = α<v₁, w>

Proprietà di linearità sul primo fattore. Per la (1) vale

anche nel secondo fattore. Il professore dice bilinearità

cod. z <v, w> = ¹/_√3

dove: |w| = √1² + 1² + 1² = √3

Disuguaglianza di Schwarz

|<v, w>| ≤ |v||w|

perché:

• <v, w> = |v||w| cos α
• |<v, w>| = |v||w| |cos α| ≤ |v||w| ^{≤ 1}
• vale <=> v è parallelo a w

b) se v = i - 2j + 3k w = -2i - 5j - 7k

determinare proiez_w(v):

proiez_w(v) = ^{<v, w>}/_{<w, w>} w = ^{-2 + 10 + 21}/_{4 + 25 + 49} (-2i - 5j - 7k)

= ^-13/₇₈ (-2i - 5j - 7k) = + ¹/₃i + ⁵/₆j + ⁷/₆k

7) v e w come nell’es. 6.

determinare t ∈ Span{v, w²} e t ⊥ w

note perdere:

t = v - proiez_w(w) = i - 2j + 3k - ¹/₃i - ⁵/₆j - ⁷/₆k =

= ²/₃i - ¹/₆j + ²¹/₆k