Appunti di algebra e geometria (2)

Teorema dei reali e vettori

Teorema dei reali

Siano A, B sottoinsiemi di R, tali che:

• A ≠ ∅
• B ≠ ∅
• A ∪ B = R

Allora: ∀ a ∈ A e ∀ b ∈ B : a ≤ b

Allora: ∃ c ∈ R | a ≤ c ≤ b ∀ a ∈ A, ∀ b ∈ B

Si può quindi definire il teorema:

Teorema dei reali

Il campo dei reali R è l’unico campo dotato di una relazione d’ordine totale compatibile con somma e prodotto, che soddisfa l’assioma di Dedekind.

Vettori

Si chiama (Σ) lo spazio euclideo tridimensionale (ovvero lo spazio che ci circonda, quello nostro, normale).

Si fissa un punto (A):

Supponiamo di dover individuare un’unione in un altro punto (B)

Siano A, B sottoinsiemi di R, tali che:

• A ≠ ∅
• B ≠ ∅

A ∪ B = R ∀ a ∈ A e ∀ b ∈ B s. che a ≤ b

Allora: ∃ c ∈ R | a ≤ c ≤ b ∀ a ∈ A, ∀ b ∈ B

Si può quindi definire il teorema:

Teorema dei reali

Il campo dei reali R è l'unico campo dotato di una relazione d'ordine totale compatibile con somma e prodotto, che soddisfa l'assioma di Dedekind.

Definizione di vettore

Si chiama Σ (sigma) lo spazio euclideo tridimensionale (ovvero lo spazio che ci circonda, quello nostro mondo!).

Si fissa un punto (A):

Supponiamo di dover individuarvi poi almeno un altro punto (B)

Istruzioni per spostarsi da A a B

1. Si considera una retta formata dai punti A, B (ricorda che due punti formano una ed una sola retta, detta retta rappresenta la direzione).
2. Si fissa un verso di percorrenza.
3. Le dicirmi la distanza da dover percorrere, detta modulo o norma (è un numero reale > 0).

Cosa è un vettore

Un vettore è un oggetto che racchiude tre informazioni:

• Direzione
• Verso
• Modulo

Quindi assegnare un vettore V significa dare queste tre informazioni. Come fare per dare queste tre informazioni: Una coppia ordinata (cioè si capisce qual è il primo ed il secondo) di punti A, B definisce univocamente un vettore:

• La direzione del vettore è la retta passante per i punti A e B, il verso va da A a B, il modulo è la lunghezza del segmento di estremi A e B. Questo vettore si può indicare con: _AB^→ = B - A

Domanda

Ci sono coppie di punti che individuano lo stesso vettore?

Se i rami di due rette parallele, AB = PQ, le due coppie rappresentano lo stesso vettore. Si definisce V l'insieme dei vettori.

Operazione

Somma

Vettori v, w ∈ V

Cosa significa fare la somma tra v e w? v₁ + v

Si deduce che la somma è commutativa: v_v + v_r = v_r + v

Da questi espliciti si può estrapolare la regola del parallelogramma: Se rappresenti i vettori v e w con primo estremo nel punto A, la somma v + w è la diagonale da A del parallelogramma individuato da v + w.

Parallelogramma (v + w)

Esempio: (v + w) (v - w)

Vettore nullo

È il vettore con modulo 0 (zero) e con direzione verso indefinito. È quindi l'elemento neutro per la somma: v + 0 = 0 + v = v

Vettore opposto

Sia v ∈ V, vogliamo definire l'opposto di v: v = AB, consideriamo BA = w se facciamo v + w = 0 questo vettore lo chiamiamo -v ⇒ -v = BA

(V, +) è un gruppo abeliano!

Prodotto per gli scalari (o reale)

Cosa significa? Vogliamo definire il prodotto tra un numero λ ∈ ℝ (detto anche scalare) e un vettore v ∈ V. Vogliamo che il risultato sia un altro vettore:

Per λ ≠ 0

• Direzione uguale a quella di v
• Verso (se λ > 0 verso uguale a v) (se λ Modulo = |λ| ⋅ |v|

Esempio:

• -_AB = 2 ⋅ v
• -_AC = 1/3 ⋅ v
• -_AE = -1/2 ⋅ v
• -₀ (zero) ⋅ v = 0 ∈ V (vettore nullo)

Proprietà del prodotto per gli scalari

• V1) ∀ λ ∈ ℝ, ∀v, w ∈ V λ(v + w) = λv + λw (distributiva)
• V2) ∀ λ, μ ∈ ℝ, ∀v ∈ V (λ + μ)v = λv + μv
• V3) ∀ λ, μ ∈ ℝ, ∀v ∈ V λ(μ ⋅ v) = (λμ) ⋅ v

Riassumendo

(V, +) è un gruppo abeliano ed il prodotto per gli scalari soddisfa le proprietà V1, V2, V3, detto... Spazio vettoriale

Definizioni

1. Dati due vettori, questi sono paralleli se hanno la stessa direzione.