Appunti di algebra e geometria (2)

Siano A, B sottoinsiemi di R, tali che:

• A ≠ ∅
• B ≠ ∅
• A ∪ B = R
• ∀a ∈ A, ∃b ∈ B : a ≤ b

allora

∃c ∈ R | a ≤ c ≤ b ∀a ∈ A, ∀b ∈ B

Si può quindi definire il teorema dei R

Teorema dei R

Il corpo dei reali e l’unico corpo dotato di una relazione di ordine totale compatibile con somma e prodotto, che soddisfa l’assioma di Dedekind

Vettori

Si chiama Σ (sigma) lo spazio EUCLEDEO TRIDIMENSIONALE (ovvero lo spazio che ci circonda, quello nostro, normale).Si fissa un punto (A):

Supponiamo di dover trovare un altro punto (B)

Istruzioni per spostarsi da A ed arrivare a B

1. Si considera una retta passante per i punti A, B (ricorda che tra due punti passa una ed una sola retta, che rappresenta la direzione).
2. Si fissa un verso di percorrenza.
3. Le diamo la distanza che deve percorrere detta modulo o norma (è un numero reale ≥0).

Cosa è un vettore:

Un vettore è un oggetto che racchiude tre informazioni:

• Direzione
• Verso
• Modulo

Come fare per dare queste tre informazioni:

Una coppia ordinata (cioè si capisce qual è il primo ed il secondo) di punti A, B definisce univocamente un vettore:

La direzione del vettore è la retta passante per A e per B, il verso va da A e B, il modulo è la lunghezza del segmento di estremi A e B. Questo vettore si può indicare con: ^AB_→ ≡ B - A

Domanda:

Ci sono coppie di punti che individuano lo stesso vettore? Sì, se esistono due rette parallele ^AB_→ ≡ ^PQ_→. Le due coppie rappresentano lo stesso vettore.

Spazio Vettoriale

Definizioni

1) Dati due vettori, questi sono paralleli se hanno le rette d'appartenenza.

2) Dati tre vettori \(u, v, w \in V\) sono complanari se non un piano \(\alpha\) e i punti \(B, C, D\) tali che \(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} e \ \overrightarrow{AD}\) si ha che i punti \(A, B, C, D\) appartengono ad uno stesso piano.

3) Siano \(v_1, v_2, \ldots, v_k \in V\) con \(k \in \mathbb{N}\). Una combinazione lineare dei vettori \(v_1, \ldots, v_k\) e un vettore del tipo:

\(\lambda_1 \cdot v_1 + \lambda_2 \cdot v_2 + \cdots + \lambda_k \cdot v_k\)

con \(\lambda\) come numeri reali chiamati coefficienti della combinazione lineare.

4) I vettori \(v_1, \ldots, v_k \in V\) si dicono linearmente dipendenti (LD) se esistono \(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_k \in \mathbb{R}\) non tutti 0 tali che:

\(\lambda_1 \cdot v_1 + \lambda_2 \cdot v_2 + \cdots + \lambda_k \cdot v_k = 0 \in V\)

Osservazione

\(v_2, \ldots, v_k\) sono linearmente dipendenti se e solo se almeno uno di essi e combinazione lineare dei rimanenti:

• Le cose appena dette e un'affermazione (enunciato)
• 'Se e solo se' significa:

\(v_1, \ldots, v_k\) LD implica almeno uno di essi è combinazione lineare dei rimanenti.

Dimostrazione di Questo Enunciato

• Implica
• LD significa: \(\exists \lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_k \in \mathbb{R}\) non tutti zero tali che:

\(\lambda_1 \cdot v_1 + \lambda_2 \cdot v_2 + \cdots + \lambda_k \cdot v_k = 0\)

Quindi, esiste almeno un coefficiente \(\lambda\) è diverso da 0 (per semplicità supponiamo che \(\lambda_1 ≠ 0\))

Definizioni

I vettori v₁, v₂, ..., v_k ∈ V si dicono linearmente indipendenti se λ₁v₁ + λ₂v₂ + ... + λ_kv_k = 0 implica λ₁ = λ₂ = ... = λ_k = 0.

Osservazione

Se v₁, v₂, v_r non L.I. allora v_r, v_r+1, ..., v_r, v_m sono L.D. (aggiungendo vettori ne otteniamo ancora vettori L.D.).

Perché osserviamo che v₁, ..., v_r L.D. significa che λ₁, ..., λ_k ∈ ℝ^l (non tutti zeri) λ₁v₁ + ... + λ_rv_r = 0.

Allora posso prendere λ₁v₁ + ... + λ_rv_r + 0⋅v_r+1 + 0⋅v_m = 0. Quindi v₁, v₂, ..., v_r, v_r+1, v_m sono L.D.

Proposizione

4 vettori ∈ V sono sempre L.D.

Dimostrazione

Caso 1: 1 dei 4 vettori è nullo

Quindi un vettore è L.D. ⇒ 4 vettori sono L.D.

Caso 2: 2 dei 4 vettori sono paralleli e quindi L.D.

Implica che i 4 vettori sono L.D.

Caso 3: 3 dei 4 vettori sono complementari quindi L.D.

Implica che i 4 vettori sono L.D.

Lezione 4 - 28/03/18 - h. 10.27 a 11:00

Caso 4: ne ci sono 3 vettori non complementari: u, a, w.

Proposizione

Ad ogni punto P e Σ corrisponde un'unica terna di coordinate (x₁, x₂, x₃). E viceversa una terna (x₁, x₂, x₃) determina univocamente un punto P.

Dimostrazione

Se P è Σ

le coordinate di P nel sistema di riferimento {O, v₂, v₂, v₃} sono coordinate del vettore OP, rispetto alle base {v₂, v₂, v₃}

dove OP = x₁v₂ + x₂v₂ + x₃v₃

Consideriamo V una base di V. {v₂, v₂, v₃}

v ∈ V

v = x₁v₂ + x₂v₂ + x₃v₃

• Coordinate
  • ( x₁ x₂ x₃ )

Sottra tra le colonne

v = x₁v₂ + x₂v₂ + x₃v₃ e w = y₂v₂ + y₂v₂ + y₃v₃

1. Quindi, quali sono le coordinate della somma?
2. Quindi, quali sono le coordinate di λv con λ ∈ ℝ?

Soluzioni

1. v + w = (x₁ + y₁)v₂ + (x₂ + y₂)v₂ + (x₃ , y₃)v₃
2. λv = λx₁v₁ + λx₂v₂ + (λx₃)v₃

V

• Associo
  • ℝ³

v _w

• ( x₁ )
  • ( y₁ )
• ( x₂ )
  • ( y₂ )
• ( x₃ )
  • ( y₃ )

1. v + w
• ( x₁ + y₂ )
  • ( x₂ + y₂ )
  • ( x₃ + y₃ )
2. λv
• ( λx₃ )
  • ( λx₂ )
  • ( λx₃ )