Appunti di algebra e geometria (2)

Siano A, B sottoinsiemi di R, tali che:

• A ≠ ∅
• B ≠ ∅
• A ∪ B = R

allora:

∀ a ∈ A e ∀ b ∈ B : a ≤ ballora:∃ c ∈ R | a ≤ c ≤ b ∀ a ∈ A, ∀ b ∈ B

Si può quindi definire il teorema

Teorema dei R

Il campo dei reali R è l’unico campo dotato di una relazione d’ordine totale compatibilecon somma e prodotto, che soddisfa l’insieme di Dedekind.

Vettori

Si chiama (Sigma) lo spazio EUCLIDEO TRIDIMENSIONALE(ovvero lo spazio che ci circonda, quello nostro, normale).Si fissa un punto (A):

Supponiamo di dover individuare un’unione in un altro punto (B)

siano A, B sottoinsiemi di R, tali che:

• A ≠ Ø
• B ≠ Ø inserire vuoto
• A ∪ B = R
• ∀ a ∈ A e ∀ b ∈ B s. che a ≤ b

allora:

∃ c ∈ R | a ≤ c ≤ b ∀ a ∈ A, ∀ b ∈ B

Si può quindi definire il teorema

Teorema dei R

Il campo dei reeli R è l'unico campo dotato di

una relazione d'ordine totale compatibile

con somma e prodotto, che soddisfa l'assioma di

Dedekind

Vettori

Si chiama Σ (sigma) lo spazio EUCLIDEO TRIDIMENSIONALE

(ovvero lo spazio che ci circonda, quello nostro

mondo!).

Si fissa un punto (A):

Supponiamo di dover individuarvi poi almeno un altro punto (B)

Istruzioni per spostarsi da A ed arrivare a B

1. Si considera una retta formata dai punti A, B (ricorda che n due punti formano una ed una sola retta, detta retta rappresenta la direzione).
2. Si fissa un verso di percorrenza.
3. Le dicirmi la distanza da dover percorrere, detta modulo o norma (è un numero reale > 0).

Cosa è un vettore:

Un vettore è un oggetto che racchiude tre informazioni:

• Direzione
• Verso
• Modulo

Quindi assegnare un vettore V significa dare queste tre informazioni.

Come fare per dare queste tre informazioni:

Una coppia ordinata (cioè si capisce qual è il primo ed il secondo) di punti A, B definisce univocamente un vettore:

- La direzione del vettore è la retta passante per i punti A e B, il verso va da A e B, il modulo è la lunghezza del segmento di estremi A e B.

Questo vettore si può indicare con:

_AB^→ = B - A

Domanda:

Ci sono coppie di punti che individuano lo stesso vettore?

Se i rami di due rette parallele, AB = PQ, le due coppie rappresentano lo stesso vettore.

Si definisce V l'insieme dei vettori

Adesso si introduce una operazione:

Operazione

Somma:

vettori v , w ∈ V

Cosa significa fare la somma tra v e w?

v₁ + v

Si deduce che la somma è commutativa:

v_v + v_r = v_r + v

Da questi espliciti si può estrapolare la:

Regola del parallelogramma

Se rappresenti i vettori v e w con primo estremo

nel punto A, la somma v + w è la diagonale

da A del parallelogramma individuato da v + w.

Parallelogramma

(v + w)

Esempio:

(v + w)

(v - w)

Vettore nullo

È il vettore con modulo 0 (zero) e con direzioneverso indefinito. È quindi l'elemento neutro perla somma:v + 0 = 0 + v = v

Lezione 2 21/09/98 11:15 e 12:00

Vettore opposto

Sia v ∈ V, vogliamo definire l'opposto di v:v = AB, consideriamo BA = wse facciamo v + w = 0questo vettore lo chiamiamo -v ⇒ -v = BA

(V, +) è un gruppo abeliano!

PRODOTTO PER GLI SCALARI (o reale):

Cosa significa? Vogliamo definire il prodotto tra un numero λ ∈ ℝ (detto anche scalare) e un vettore v ∈ V. Vogliamo che il risultato sia un altro vettore:

Per λ ≠ 0

• Direzione uguale a quella di v
• Verso (se λ > 0 verso uguale a v)
• (se λ < 0 verso opposto a v)
• Modulo = |λ| ⋅ |v|

ESEMPIO:

-_AB = 2 ⋅ v

-_AC = 1/3 ⋅ v

-_AE = -1/2 ⋅ v

-₀ (zero) ⋅ v = 0 ∈ V (vettore nullo)

PROPRIETÀ DEL PRODOTTO PER GLI SCALARI

• V1) ∀ λ ∈ ℝ, ∀v, w ∈ V λ(v + w) = λv + λw (distributiva)
• V2) ∀ λ, μ ∈ ℝ, ∀v ∈ V (λ + μ)v = λv + μv
• V3) ∀ λ, μ ∈ ℝ, ∀v ∈ V λ(μ ⋅ v) = (λμ) ⋅ v

RIASSUMENDO

(V, +) è un gruppo abeliano ed il prodotto per gli scalari soddisfa le proprietà V1, V2, V3, detto...

Spazio Vettoriale

Definizioni

1. Dati due vettori, questi sono paralleli se hanno la stessa direzione.
2. Dati tre vet