Appunti di algebra e geometria (1)

LEZIONE 1 - 19/09/18 - 08:15 a 09.00

GLI INSIEMI

DEFINIZIONE:

• PRODOTTO CARTESIANO fra due insiemi: Sia definiscano due insiemi A e B, il loro prodotto è definito come:

A × B = {(a,b) | a ∈ A, b ∈ B}

SPIEGAZIONE: il nuovo insieme A × B è formato da degli elementi a, b tali che gli elementi a appartengono dell'insieme precedente A e gli elementi b appartengono dell'insieme precedente B.

• APPLICAZIONE da A a B indica la corrispondenza tale che ad ogni elemento di A associa un UNICO elemento di B.

esempi:

In questo caso è un'applicazione perché per ogni elemento di A corrisponde un unico elemento di B.

In questo caso non è un'applicazione perché per l'elemento "2" di A corrispondono due elementi di B.

Lezione 1 - 19/09/18 - 08.15 a 09.00

Gli insiemi

Definizione:

- Prodotto cartesiano fra due insiemi: si definiscono due insiemi A e B, il loro prodotto è definito come:

A x B = {(a,b) | a ∈ A, b ∈ B}

Spiegazione: il nuovo insieme AxB è formato da degli elementi a, b tale che gli elementi a appartengono all’insieme precedente A e gli elementi b appartengono all’insieme precedente B.

- Applicazioni da A a B

indica la corrispondenza tale che ad ogni elemento di A associa un unico elemento di B

esempi:

In questo caso definiamo un’applicazione perchè per ogni elemento di A corrisponde un unico elemento di B.

In questo caso non definiamo un’applicazione perchè per l’elemento “2” di A corrispondono due elementi di B.

L'applicazione viene scritta nel seguente modo:

_f: A → B

_a → f(a)

PROPRIETÀ DELLE APPLICAZIONI

1. Applicazione INIEZIONE: un'applicazione f: A → B si dice iniettiva se ad ogni elemento di B è associato un solo elemento di A:

   f(a) = f(a') implica a = a'

   In questo caso non è iniettiva perché gli elementi e₁ ed e₂ dell'insieme A corrispondono allo stesso elemento di B

   In questo caso è iniettiva

2. Applicazione SURIEZIONE: un'applicazione si dice suriettiva se per ogni elemento di B appartenente a B, esiste un elemento x esattamente ad A tale che f(a) è uguale a b:

   ∀b ∈ B ∃ a ∈ A | f(a) = b

   In questo caso è suriettiva.

3) Applicazione BIUNIVOCA

un'applicazione f: A → B si dice BIUNIVOCA se è sia iniettiva che suriettiva

In questo caso l'applicazione è sia iniettiva che suriettiva, quindi è biunivoca.

una corrispondenza

DOMANDA - ESERCIZIO

Siano A, B insiemi finiti (il numero di elementi è finito), se esiste f: A → B univoca, cosa possiamo dire del numero di elementi di A e B?

RISPOSTA

m = numero di elementi di BM = " " " " " Aallora m = m

FORMAZIONE/IDEA GENERALE DI UN INSIEME

INSIEME → OPERAZIONE → PROPRIETÀ(qui le proprietà non è ancora più utilizzate)

Fanno parte dell'insieme vero caratterizzando l'insieme vengono chiamate STRUTTURA

esempio: 1

A = {0, 1}e ne ammettiamo solo questa informazionel'insieme dovrebbe mutile comportarsiora tra 0 e 1Si possono definire le mie operazioni, quindi le proprietà

SOMMA:

MOLTIPLICAZIONE:

Gruppo abeliano

Sia G un insieme e sia * una sua operazione su G:

*: G x G → G

Il gruppo abeliano è caratterizzato dalle seguenti proprietà:

1. Esiste un elemento chiamato elemento neutro, "e" appartenente a G tale che per ogni elemento y appartenente a G si ha:
• y * e = e * y = y

* è una qualsiasi operazione per esempio: somma o prodotto.

• 0 è l'elemento neutro per la somma
• 1 "" " " " moltiplicazione
2. ∀ g ∈ G ∃ g̅ ∈ G g * g̅ = g̅ * g = e

g̅ è un elemento inverso per la moltiplicazione (e opposto per la somma, che è un num. neutro)

Per esempio:

• 3⁵ - 3⁵ = 3⁵ + 3̅⁵ = 0 (Somma)
• 3⁵ * 1/3⁵ = 1/3⁵ * 3⁵ = 1 (Moltiplicazione)

(3) Proprietà associativa:

∀ g, h, k ∈ G (g * h) * k = g * (h * k)

(4) Proprietà commutativa:

∀ g, h, k ∈ G g * h = h * g

Se ci sono tutte queste proprietà allora l'insieme G è un gruppo abeliano.

Esempi - esercizi:

1)

{0, 1, 3} = G

TABELLA ADDITIVA; indica la costruzione dell'insieme

+ 0 1

0 0 1

1 1 0

Quasi tutti gli insiemi sono costruiti con questa tabella.

(G, +) è un gruppo abeliano?

Sì, in particolare l'opposto di 1 è 1 perchè 1+1=0

2)

IN={0,1,2,3,...}

(IN, +) è un gruppo abeliano?

Non è un gruppo abeliano perchè non è sempre ammette un opposto.

3)

Z={..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}

(Z, +) è un gruppo abeliano?

Sì perché soddisfa tutte le proprietà.

(Z, ·) è un gruppo abeliano?

In questo caso vale la proprietà distributiva:

∀ l, m, n ∈ Z l·(m+n) = lm+ln

Si chiama anello quando in un insieme ci sono più gruppi (in questo caso Z)

4)

(Z\{0}, ·) è un gruppo abeliano?

No perché non c'è l'inverso: 2·_½ = 1

No

5)

Un insieme è detto campo se sono valide tutte le operazioni e tutte le proprietà. Esmpio: {0,1,} è un campo

Numeri

I numeri interi Z e razionali Q si possono rappresentare con una retta.

• -2
• -1
• 0
• 1
• ...

Dimostrazione dell’inesistenza di un numero razionale m/m tale che (m/m)²=2

I lati e diagonale non sono commensurabili, cioè non esiste un segmento AB tale che:

• 1 = m(AB)
• d = m(AB)

Dimostrazione

Suggeriamo che esistano m,n in N con n ≠ 0 e supponiamo che m.c.d. = 1 (numeri primi)

Allora (m²/2) = 2 ➔ m² = 2m² ⧫

- implica 2 divide m²

-        "            m

-        "        2 ⋅ h

-       m² = 2h con h è un numero intero

- A_h = 2m²

- 2h² = m²

implica z divide n²

" 2 " m

Quindi z divide m e m, questo porta ad una

introduzione

NUMERI REALI

Attraverso il completamento tra numeri razionali

ed ir... otteniamo il campo dei reali (IR)

I numeri reali e i punti sulla retta sono

in corrispondenza biunivoca:

d ∈ R ↔ P ∈ r | OP = d

numeri diversi oltre all'origine del quadrato

ogni punto di n è un numero

LEZIONE 2 - 27/09/18 - 10:15 ∼ 11:00

RELAZIONI

Nei numeri reali IR c'è una relazione TOTALE, ossia:

∀ a, b ∈ R si ha a ≤ b oppure b ≤ a

Questa relazione d'ordine o compatibile con la

somma ossia:

se a ≤ b e c ∈ R → a + c ≤ b + c

Inoltre questa relazione d'ordine è compatibile

con il prodotto, ossia:

se a, b sono ≥ 0 allora a · b ≥ a

Si può affermare che vale l’ASSIOMA DI

DEDEKIND, il quale afferma che: