Appunti di algebra e geometria (1)

Lezione 1 - 19/09/18 - 08:15 - 09:00

• Gli insiemi

Definizione:

• Prodotto cartesiano fra due insiemi: se A e B sono due insiemi, il loro prodotto è definito come:

A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}

• Spiegazione: il nuovo insieme A × B è formato da degli elementi a, b tali che gli elementi a appartengono all'insieme precedente A e gli elementi b appartengono all'insieme precedente B.

• Applicazioni da A a B: indica la corrispondenza tale che ad ogni elemento di A associai un unico elemento di B.

Esempi:

In questo caso dichiamo un'applicazione perché per ogni elemento di A corrisponde un unico elemento di B.

In questo caso non dichiamo un'applicazione perché per l'elemento "2" di A corrispondono due elementi di B.

Proprietà delle applicazioni

1. Applicazione iniettiva

   Un'applicazione f: A -> B si dice iniettiva se ad ogni elemento di B è associato un solo elemento di A:

   f(a) = f(a') implica a = a'

   Esempio:

   • In questo caso non è iniettiva perché gli elementi e₁ e e₂ dell'insieme A corrispondono allo stesso elemento di B.
   • In questo caso è iniettiva

2. Applicazione suriettiva

   Un'applicazione si dice suriettiva se per ogni elemento di b appartenente a B esiste un elemento a appartenente ad A tale che f(a) è uguale a b:

   ∀ b ∈ B &exists; a ∈ A | f(a) = b

   Esempio:

   • In questo caso è suriettiva.

5) Q = Q₁ = ℚ

razionali.

Un insieme è detto campo se sono valide tutte le operazioni e tutte le proprietà.

esempio:

( {0,1}³, +, .) e un campo

Natural

I numeri interi ℤ e razionali ℚ si possono ordinare a puntini sulla retta.

-2 0 1 1/2 2

DIMOSTRAZIONE DELL’INESISTENZA DI UN NUMERO RAZIONALE m ^m TALE CHE (m/n)² = 2

^deⁱ√2

1

cateti = m

ipotenusa = m

I lati e d √2 sono non commensurabili, cioè non esiste un segmento AB tale che:

1 = m(AB) e d = m(AB)

DIMOSTRAZIONE:

Supponiamo che esistano mⁿ ∈ ℕ con m ≠ 0 con la supposizione che m.c.d = 1 (numeri primi)

Allora m²/m² = 2 = m² = 2m²

implica 2 divide m²

" 2 " m

" m² = 2 con è un numero intero

q, 2 = m²

2 = m2