Appunti delle lezioni - Programmazione e controllo della produzione, Gisario

T

X’ è un X vettore X trasposto

Dall’equazione di stato (equilibrio che ci permetteva di determinare una qualsiasi marcatura a partire da quella

iniziale) andiamo a sommare il prodotto matrice di incidenza per il vettore degli stati.

Il nostro obiettivo per trovare P-varianti

è trovare la soluzione più piccola in

grado di trovare anche le altre

soluzioni.

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CSZ sett 9

Andiamo a fare un procedimento analogo per la rete accanto

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CSZ sett 9

Analizziamo ora la terza rete della slide All’inizio l’unica

transizione abilitata è t2,

nel momento in cui scatta

mi troverò i posti in p3 e

in p4. La parte a sinistra

rappresenta un insieme di

posti in cui la marca si

conserva, la parte destra

rappresenta un insieme di

posti in cui la marca si

conserva, quindi il P-

invariante dice che ho una

marca a destra e una a

sinistra.

Gli invarianti di tipo p si trovano con

quelle due equazioni.

I supporti X1 e X2 trovati in precedenza

come due P invarianti dovrei prendere

1 1, entrambi sono supporti minimi,

ma i posti non nulli dell’uno sono

diversi dall’altro. X1 e X2 sono due

supporti minimi canonici

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CSZ sett 9 Se la rete è conservativa posso dire

che è limitata.

Determino la matrice di incidenza ecc

ecc trovo le soluzioni, queste vanno

osservate, mi interessano le minime

canoniche ecc ecc quindi non mi

serve il grafo.

Una rete limitata non

necessariamente è conservativa. Se è

conservativa è limitata, ma non è

detto il contrario.

Gli invarianti di tipo T li

sfruttiamo per andare a

ragionare sulla reversibilità.

Andiamo a considerare come

vettore degli invarianti di tipo T

il vettore Y. È un T-invariante se

e solo se soluzione

dell’equazione nella slide.

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CSZ sett 9

La reversibilità dipende quindi dalla struttura della rete ma anche dalla marcatura iniziale.

Ipotizziamo di avere trovato un

T

vettore Y=[ 1 2 0 1] ho 4 transazioni,

devono scattare una volta la prima,

due volte la seconda e una volta la

quarta per poter tornare nella

situazione iniziale. L’invariante di

tipo T dice una possibile sequenza di

scatti che va verificata per la

marcatura della rete in esame. Se

per tornare alla prima non sfrutto

mai la terza devo verificare che

questa non sia mai abilitata allo

scatto perché altrimenti potrebbe

scattare anche quella.

I sifoni sono un gruppo di posti che

complessivamente tendono a

perdere marche, fino ad arrivare

ad un certo punto con nessuna

transizione che può scattare,

allora la rete non è viva.

Il PRE di X è un insieme con la

transizione che è l’input al posto.

Pre di X significa che per ogni

posto devo vedere le transizioni in

ingresso a tutti i posti dell’insieme

X.

Quando parlo del post di X vado.

Considerare tutte le transizioni in

uscita al posto.

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CSZ sett 9 P3 p4 è un sifone

Ho una marca in p1 e in p4

T3 è abilitata, l’evoluzione può

avvenire in quella direzione, ora

abbiamo marche in p1 e p3 e p2. Ora

le possibili evoluzioni sono nella

direzione t2 o t4. Se vado in t4

percorro il ciclo, se vado in t2

succede che le marche vanno in p2,,

questo ha generato che la rete

procede in direzione t1 ma la rete, le

due marche vanno in P1, ho solo 2

marche in p1 quindi ho perso una marca, questa rete non è viva.

S’ è un sifone più grande di S perché contiene una transizione in più.

23/11

Riassunto delle cose viste la scorsa volta:

Abbiamo analizzato le reti di Petri dal punto di vista comportamentale, cosa già affrontata dal punto di vista grafico.

A volte analizzare dal punto di vista visivo può essere difficoltoso, possiamo fare l’analisi strutturale della rete di Petri

tramite l’impiego di matrici, ci interessa la amatrice di incidenza, che tira in ballo tutte le relazioni di ingresso e

uscita. Ci sono 4 caratteristiche statiche della rete di Petri

 P-invarianti

o Si trovano nella matrice, si conserva la somma pesata delle marche se la rete è viva. Se esistono P-

invarianti e questi sono tali da comprendere al loro interno tutti i posti della rete allora possiamo

dire che la rete è coperta, conservativa, quindi è limitata

 T-invarianti

o Si trovano in maniera simile a quelli di tipo P. Con questi andiamo a verificare se nella rete si

conserva la proprietà di reversibilità, abbiamo anche specificato che quando andiamo a trovare gli

invarianti guardiamo solo la struttura della rete (non anche le marche). Nel caso del tipo T senza

guardare le marche non siamo sicuri della reversibilità, quindi bisogna controllare se per quella

marcatura abbiamo il t-invariante.

o Identifica un certo valore per ogni transizione. Se 0 la transizione non partecipa alla reversibilità, se 1

partecipa una volta sola, se 2 partecipa 2 volte ecc

o Per raggiungere una certa reversibilità, ipotizziamo di avere 5 transizioni nella rete devo far scattare

le transizioni del t-invariante in qualsiasi ordine, però le devo far scattare tutte

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CSZ sett 9

 Sifoni

o Sono da intendersi un insieme di posti nei quali si vengono a perdere marche progressivamente, si

arriva ad un certo punto in cui non si hanno più marche, andiamo ad indagare sulla non vivezza,

dobbiamo vedere per quale percorso ad un certo punto la marcatura è morta.

o Il sifone è minimo se e solo se è contenuto in un altro sifone.

o Se siamo giunti (prendiamo esempio l’ultima slide dell’altra lezione), il sifone S con lo scatto di T3 e

t2 si era smarcato, qualsiasi marcatura raggiungibile da quella in cui si è smarcato avrà sempre i posti

smarcati?

In presenza di un sifone non marcato tutte le transizioni del posto sono morte, la rete non è viva. Se troviamo un

sifone non marcato siamo sicuri di avere una condizione di non vivezza.

 Trappole

o Accumula marche

complessivamente

o Pre e post, ci sono

dei pre da cui

arrivano marche e

dei post da cui non

escono.

o Devo verificare la

condizione che

definisce una

trappola,

nell’esempio di

prima le transizioni

in uscita 8

CSZ sett 9 La seconda trappola contiene in sé un sifone.

Se studiamo l’uguaglianza un P-

invariante acquista e perde

marche quindi nell’evoluzione

rimane costante

Con quest’ultima proprietà possiamo verificare subito il sifone. Possiamo avere un sifone che

contiene una trappola, allora

il sifone si rialimenta da

quella trappola, ma non è

detto che la rete sia viva perché se il sifone è smarcato lì ci saranno delle transizioni che non sono mai abilitate allo

scatto. 9

CSZ sett 9

Due libri, quello viola riguarda la parte di teoria delle reti di Petri, quello azzurro esercizi sulle reti di Petri

Esercizio 1 del capitolo analisi strutturale (libro blu)

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CSZ sett 9

Prendiamo il primo T, se scatta t1 la marcatura va in p1, può scattare t2, che può andare in due direzioni, tolgo la

marca da p1 e in p6 e la porto in p5, poi la marcatura la sposto ecc ecc, torno alla marcatura iniziale

T1 t3 t5 t7 torno alla marcatura iniziale, quindi reversibile secondo questo percorso (l’ordine delle transizioni non

deve necessariamente essere quello).

Verifichiamo il secondo T

T2 non può scattare, t4 non può scattare, può scattare solo t6, la marca va da p6 a p7. Poi tolgo marche in p2 e p7 e

la metto in p3, poi scatta e la marca la riporto in p2, quindi anche qui reversibile perché sono di nuovo nella

situazione iniziale.

Rete reversibile a due vie.

Ora l’esercizio richiede di verificare cosa sono gli insiemi di posti scritti sopra

La rete è viva 11

CSZ sett 10

28/11 La macchina a stati è una rete

definita dalla condizione che

per ogni transizione

appartenente all’insieme delle

transizioni si verifica che il pre

ed il post di una qualunque

transizione valgono 1.

Automa (riesce a seguire un

flusso in maniera ordinata)

Un esempio di macchina a stati può essere ad esempio: Rete strettamente

conservativa: ipotizziamo di

avere un’unica marca, vuol dire

che questa di conserverà (se

conservativa è anche limitata),

esempio a sinistra con quella

marca posso andare o a destra

o a sinistra, posso decidere se percorrere un ciclo o l’altro, ma resterà sempre e comunque una sola marca.

Sappiamo già che è viva e limitata, dobbiamo sapere solo se è reversibile,

dobbiamo quindi verificare se è totalmente connessa, perché se non lo è allora

non è reversibile.

Abbiamo detto che è un particolare tipo di rete perché deduciamo subito delle

proprietà. 1

CSZ sett 10

Grafo marcato Per ogni posto appartenente

all’insieme dei posti il pre dei posti

è 1 così come il post del posto vale

1.

Nella macchina a stati potevamo avere dei conflitti tra le

transizioni, li modelliamo. Nel grafo marcato non si

possono modellare i conflitti. Modella allora situazioni di

sincronizzazione, (due posti connessi ad una transizione),

situazioni di inizio concorrenza.

Perché sia viva ogni ciclo deve avere almeno un posto

marcato. Un grafo marcato totalmente connesso che realizza la condizione che almeno un posto di ogni ciclo sia

marcato allora rappresenta una rete viva. 2

CSZ sett 10 Si dice che è a scelta libera se per ogni

transizione e per ogni posto il pre di T è

uguale al post, anche per i posti vale lo

stesso.

Ciò significa che: Non ammettono che ci sia contemporaneamente un conflitto ed

una sincronizzazione. O c’è solo il conflitto o solo la

sincronizzazione.

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CSZ sett 10

Modellazione di sistemi produttivi

• Approccio fisico

o sistema produttivo complessivo costituito dalla somma di tutti i suoi sottosistemi (sistemi fisici

elementari)

o Andiamo a schematizzare ciascun sottosistema mediante una rete di petri elementare

o Andiamo a fondere quelle transizioni che devono avvenire nello stesso istante

• Approccio funzionale

o Identificare le varie tappe logiche (produttive, logistiche ecc) e sequenziarle opportunamente

o Allocare le risorse produttive 4

CSZ sett 10

Esempio

Quale dei due scegliere? Se i ragionamenti sono giusti dovrebbero portare allo stesso sistema, ma forse quello

funzionale ci permette di andare a modellare situazioni simili

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CSZ sett 10

Immaginiamo ora che ci siano:

• Prodotto A

o Ot