Appunti delle lezioni di Didattica della Matematica

DIDATTICA DELLA MATEMATICA

LEZIONE 1

I fondamenti linguistici delle discipline scientifiche (al posto di Problemi) si possono omettere i

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capitoli dedicati alle scienze.

DIFFICOLTÀ IN MATEMATICA

Riferimento ai documenti normativi che regolano il rapporto di lavoro quando agiamo nell’istituto

scolastico, ovvero si fa riferimento alle indicazioni nazionale 2012 e 2018. Anche per la scuola

dell’infanzia i riferimenti normativi sono le indicazioni nazionali e le ipotesi di UMI-CIIM.

Scuola dell’infanzia: numeri, geometria, problemi gioco.

MODELLI DI COMUNICAZIONE DELLA MATEMATICA IN AULA

1. Ripetitività delle spiegazioni: la ripetitività non produce risultati efficaci; se la spiegazione è

ripetuta allo stesso modo, l’alunno continuerà a non capire.

2. Suggerimento attraverso indizi

3. Fai uno sforzo

4. Richiesta nella risoluzione dei problemi attraverso le parole chiave. Sono quelle parole che

cercano di suggerire l’operazione risolutiva. Il bambino ricerca queste parole e mette in campo

operazioni relativamente alle parole chiave. Ma queste parole non sempre aiutano a identificare

l’operazione giusta da eseguire. Il modello di comunicazione spinge a trovare la parola chiave.

La preparazione di una lezione ben fatta induce a pensare che l’insegnamento corrisponde

5. all’apprendimento.

6. Mancanza di comprensione: es. non conosce il senso del termine “variabile”. Dare una

motivazione alla regola.

7. In classe viene assegnato un problema analogo a un problema che verrà dato al compito in

classe. Si tratta di riprodurre la stessa cosa, ma il bambino ha capito o utilizza il modello che ha

visto? Il desiderio che l’allievo produca un buon compito porta a non considerare l’importanza

della comprensione; l’allievo risolve il compito grazie alle sollecitazioni dell’insegnante (che ha

detto che il problema è analogo), così sia insegnante che allievo sono contenti, ma l’allievo

produce la risposta esatta perché ha stabilito una somiglianza tra l’esercizio del compito e quello

in precedenza, quindi ha riprodotto una soluzione di altri.

Una lezione ben preparata induce a pensare che con i cattivi pazienti non c’è niente da fare, oppure

si abbassa il livello, rendendo l’esercizio più facile o suggerendo la risposta. L’insegnante suggerisce

quello che vuole ottenere. L’insegnante non ottiene l’effetto desiderato perché va a rafforzare

quello che hanno capito, mentre gli altri continuano a non capire. Si genera l’antinomia

dell’insegnante: riesco ad insegnare qualcosa a quelli che riescono a imparare da soli, ma non riesco

a insegnare a quelli che hanno bisogno di me. Se si continua a rispiegare alla stessa maniera c’è

qualcosa che non va nella spiegazione, non solo nell’allievo.

Cosa fa l’insegnate in classe che “si preoccupa”? l’insegnante ripete gli argomenti, corregge gli errori,

mette in guardia dagli errori più frequenti, intensifica gli esercizi…, ma il divario tra i bravi e i meno

bravi aumenta.

INTERVENTO SULLA DIFFICOLTÀ

• Allievo con difficoltà: focus sull’allievo, quindi si concentra sulle disabilità, contesto

socioculturale…

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• Difficoltà in matematica: focus sulla disciplina il linguaggio, l’astrazione, alcuni concetti…

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• Difficoltà (dell’allievo) in matematica focus sulla relazione tra allievo e la disciplina.

LEZIONE 2

DIFFICOLTÀ DELLA MATEMATICA

Difficoltà specifiche della matematica in aula:

villani individua 5 situazioni in cui la matematica presenta le sue difficoltà:

Terminologia e simbolismo

1.

2. Tecniche di calcolo

3. Sequenzialità

4. I problemi e la loro traduzione da linguaggio naturale a linguaggio matematico

5. Astrazione e rigore

TERMINOLOGIA E SIMBOLISMO

Il linguaggio matematico è costituito da termini tecnici fattore, dividendo, acuto, ottuso…; e

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simboli 7 ,3, +, -, []… Spesso i termini utilizzati provengono dal linguaggio comune e perciò entrano



in conflitto con il significato del linguaggio comune. Un secondo ordine di difficoltà si ha con i termini

specifici della matematica perché sono sintetici e chiari e non hanno altri significati. La parola nuova

da legare al suo significato reale può essere difficoltosa (es. apotema, ipotenusa…), quindi il

bambino può avere difficoltà a collegare la parola con il suo significato. La definizione deve essere

applicata all’esperienza, non deve essere semplicemente data: es. la definizione di altezza il



bambino deve coordinare diversi termini come poligono, vertice, perpendicolare… Invece di dare

definizioni si può chiedere al bambino di darla. La conoscenza di una certa quantità di termini

tecnici e simboli è inevitabile e che termini e simboli devono essere legati al loro significato.

LEZIONE 3

TECNICHE DEL CALCOLO

Difficoltà collegate alla:

• memorizzazione

• capacità di eseguire correttamente procedure complesse

• attenzione costante e prolungata

Tecniche di calcolo: esercizio per casa o risoluzione di un problema, perciò bisogna tenere presente

che:

• l’abilità di eseguire una determinata operazione è distinta dall’abilità di sapere in quali

circostanze quella determinata operazione aritmetica va usata. Durante un problema l’alunno

potrebbe risolvere per tentativi o riconoscendo le parole chiave. Occorre che l’alunno riconosca

l’utilità dell’operazione, quindi la tecnica deve ricongiungersi all’uso che se ne può fare.

• La calcolatrice: la correttezza dello svolgimento dei problemi viene valutato in base alla riuscita

dei calcoli; la calcolatrice può essere usata in base all’obiettivo: se si vogliono verificare le

capacità risolutive, la calcolatrice può essere usata; nell’esercizio del calcolo no. Può essere

utilizzata per vedere se ha eseguito correttamente tutte le operazioni, può essere usata a volte

per esercitarsi a utilizzarle. Quindi dipende da quali obiettivi si vogliono valutare e può agevolare

chi ha disturbi di attenzione o in caso di discalculia. La calcolatrice non esclude la necessità che

gli alunni acquisiscano capacità del calcolo sia mentale che non.

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SEQUENZIALITÀ

Nella matematica siamo costretti a seguire una certa gerarchia degli apprendimenti, quindi

l’insegnamento della matematica è rigidamente strutturato.

Le nozioni matematiche vanno prese scrupolosamente e immagazzinate nella memoria a lungo

termine.

Non basta una memorizzazione statica: ad ogni successiva generalizzazione occorre ripensare

criticamente le conoscenze precedente altrimenti si rischiano errori e fraintendimenti.

PROBLEMI E LA LORO TRADUZIONE DAL LINGUAGGIO NATURALE A QUELLO MATEMATICO

I problemi sono espressi in linguaggio naturale e, per risolverli, occorre tradurre il testo in linguaggio

matematico. Il problema mette in gioco componenti diversi:

1. occorre tradurre le informazioni verbali e grafiche del testo del problema in un opportuno

schema di calcolo

2. saper svolgere i calcoli

3. saper interpretare i risultati ottenuti, sapere cos’è quel risultato.

Tutte queste componenti devono essere stimolate.

Non sempre la traduzione spontanea del linguaggio naturale a quello matematico è automatica.

Spesso ci si sofferma troppo sulle operazioni e non sulla risoluzione del problema. L’apprendimento

deve coinvolgere il ragazzo attraverso un’esperienza autonoma.

ASTRAZIONE E RIGORE

I problemi contestualizzano la matematica, l’astrazione e il rigore tendono a decontestualizzarla,

però se è vero che l’astrazione e il rigore sono componenti essenziali dell’attività matematica anche

in vista di un ritorno concreto, es. si può far riferimento alla sua esperienza, problemi veri. Il

problema deve riuscire a immedesimarsi nel problema, ma non si può fare una didattica sempre con

problemi fatti per gli alunni. Nell’astrazione e rigore ci sono tre rischi:

1. gli alunni si soffermano di più sugli aspetti formali e si preoccupano poco dei contenuti;

correttezza formale e rigore logico che gli insegnanti richiedono, possono generare negli allievi

2. il terrore di sbagliare

3. difficoltà di rimanere coerenti con le ipotesi iniziali (es. se io moltiplico, il risultato aumenta) e

con le definizioni date in precedenza.

L’INSEGNANTE DI SCUOLA PRIMARIA, LA SUA FORMAZIONE PROFESSIONALE E LA MATEMATICA

Tre difficoltà:

1. livello di preparazione estremamente eterogeneo

2. inevitabile e continuo richiamo a concetti noti e la necessità di immaginare che nulla si sappia

di tali concetti per poterli affrontare da un punto di vista nuovo

3. [vedi slide]

Nessuno può insegnare ciò che non sa. La professione del docente è complessa. Un’applicazione

manualistica della matematica è costante, ma occorre anche contestualizzare gli apprendimenti, es.

sapere dove va utilizzata quell’operazione.

DIFFICOLTÀ DELL’ALLIEVO IN MATEMATICA

Alcune scene presenti sul libro

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• Johnnie

• Scenetra

La maestra di Scenetra vuole vedere se è in grado di utilizzare il risultato di un’addizione per

risolverne un’altra. 34+9=43

34+11=?

Scenetra mette in colonna 34 e 11, invece si aggiungere 2 a 43, il risultato precedente. Questa

situazione si ripete ogni volta che si propone un problema simile.

• Luca

• Alessandro

• Martina

Fra tutte le scene, quale mostra un comportamento più grave di tutte le altre? Perché? Cosa riterresti

opportuno fare nei confronti del protagonista di quella scena?

L’intervento dipende dall’interpretazione che noi diamo alla situazione.

Ci possono essere carenze:

• sul piano delle conoscenze matematiche

• sul piano dell’atteggiamento nei confronti del compito e del compito di matematica in

particolare

L’atteggiamento che lo studente mette in campo suggerisce di dover capire quali atteggiamenti gli

studenti hanno compiuto durante il loro percorso scolastico.

INFANZIA E MATEMATICA

Quale matematica va insegnata? Bisogna interpellare le Indicazioni che danno suggerimenti che,

pur non essendo vincolanti, occorre che gli allievi a fine percorso abbiano consolidato certe

competenze. Per sapere quale matematica proporre occorre vedere i contributi della ricerca della

didattica della matematica riguardo l’infanzia, ovvero quali proposte di ordine matematico sono

state formulate per la scuola dell’infanzia. Un contributo consistente è stato dato dalla psicologia:

Piaget si interessò di matematica, soprattutto quella che veniva appresa spontaneamente, per via

scolastica o vivere in comunità. Egli ha indagato sui figli e sugli amici dei figli a partire alla tenera

età.

All’inizio la scuola dell’infanzia era considerata una struttura per accudire i bambini i cui genitori non

avevano possibilità di seguirli per motivi lavorativi. Oggi la scuola dell’infanzia continua ad affiancare

quest’esigenza, passando da asilo a scuola dell’infanzia, con connotati definitivi.

Le Indicazioni (le norme date per gli insegnanti): i bambini sono invitati a vivere esperienze in base

a dei campi di esperienza. Nel ’91 viene introdotto “lo spazio, l’ordine e la misura” come campo di

esperienza e si è visto come l’esperienza dei bambini era piena di matematica, perciò le Indicazioni

dirigono l’intervento della matematica nella scuola dell’infanzia. Questo campo di esperienza si

rivolge al raggruppamento, misurazione di fatti e fenomeni della realtà, ordinamento,

quantificazione. Le abilità matematiche riguardano in primo luogo l’acquisizione di problemi che

possono diventare al loro volta oggetto di riflessione e analisi. Equipara il bambino della scuola

dell’infanzia alla matematica, che non è più un qualcosa di inarrivabile, ma l’insegnante deve

stimolare queste capacità: il bambino che conta sta compiendo un’azione matematica di grande

rilievo rispetto all’età che ha.

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Nel 2007 era stata fatta una commissione per l’insegnamento della matematica e aveva formulato

delle buone proposte per stimolare la matematica nei bambini della scuola dell’infanzia. Nelle

indicazioni del 2012 viene recuperato questo documento.

http://memoesperienze.comune.moderna.it/bambini/pdf/versante_istituzionale.pdf

Nel 2012 c’è il campo di esperienza “il numero e lo spazio”: la famigliarità con i numeri può nascere

a partire dai numeri che si usano ogni giorno. I bambini costruiscono le prime competenze sul

contare ragionando sulla quantità e sulla numerosità degli oggetti. Si avviano alla conoscenza del

numero e della struttura delle prime operazioni, suddividono in parti materiali e realizzano

elementari attività di misura…

Traguardi per lo sviluppo della competenza: cosa dovrebbe essere in grado di fare il bambino alla

fine della scuola dell’infanzia raggruppa, utilizza simboli, esegue misurazioni, conta e opera con i

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numeri, individua la posizione degli oggetti con lo spazio, esegue un percorso correttamente sulla

base di indicazioni verbali…

Nella scuola dell’infanzia esistono i blocchi logici

LEZIONE 4

LA METAFORA DI CARSTAIRS

La cura deve adattarsi al paziente, non che il paziente si adatta alla cura.

Quando l’intervento dell’insegnante ottiene un insuccesso vuol dire che c’è stato un problema

diagnostico: osservazione poco adeguata, intervento e intenzioni distratte… e di conseguenza sono

state adottate strategie di intervento non adatte per tirar fuori l’alunno dal problema.

Facciamo in modo che l'alunno ci dia una risposta corretta. questi interventi (mostrare come si fa,

rispiegare, mettere in guardia dai soliti errori) bisogna vedere se hanno effetto oppure hanno solo

un effetto placebo.

Il caso di Alessandro: ha eseguito un'operazione propedeutica al raggiungimento dell'obiettivo, ma

non è riuscito ad andare avanti. Probabilmente non ha capito il perimetro e l'area..., perciò si dirige

l'insegnamento per colmare la carenza. L'insegnante dirige l'intervento in maniera diversa: un errore

occasionale viene trattato con superficialità; si considera il tempo dell'errore: es. ho appena

spiegato il teorema di pitagora e do una verifica e mi preoccupo di meno dei risultati negativi oppure

da rientro dalla vacanze non mi preoccupo troppo del risultato. Certi errori vengono trattati in

maniera diversa rispetto al valore che noi stessi attribuiamo all'errore.

DALL'OSSERVAZIONE ALL'INTERVENTO.

Si attiva l'interpretazione dell'insegnante. L'insegnante si muove verso un giudizio invece di

interpretare l'errore. Quando l’insegnante percepisce il comportamento errato di un alunno ci

possono essere diversi sentimenti: dispiaciuto, frustato, disgustato e tutto si traduce in un giudizio

es. è stupido perché non si accosta alle attese proprie dell’insegnante. In classe certe severità o

intolleranze derivano dall’idea che l’insegnante si è fatto: di fronte a uno studente bravo,

l’insegnante tende a essere più mite nel caso di errore, mentre un alunno che ripetutamente non

ce la fa diventa una causa persa.

Possibili comportamenti erronei di un insegnante in classe.

L'arte dell'incoraggiamento (libro). Franta e Colasanti descrivono il comportamento di un bambino

appena entrato in aula. Federico si dirige subito al suo posto. Si mette a studiare e rifiuta di giocare

con i compagni. Gli insegnanti che hanno partecipato a quest'indagine, hanno dovuto dare la

descrizione di Federico scegliendo tra una serie di dimensioni. Dall'intervista è emerso che tutti si

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sono espressi o in maniera affermativa o negativa e hanno trovato delle informazioni positive o

negative in aggettivi che il testo non poteva suggerire come "di bell'aspetto", "effemminato"... Dei

conflitti sono nati ad es. sull’aggettivo:

• studioso perché vuole essere molto preciso o non è riuscito a studiare a casa;

• isolato perché non vuole giocare con i compagni oppure, all’opposto, non è isolato perché viene

coinvolto dai compagni.

Ciò che viene osservato porta a dare un giudizio in base alla propria interpretazione, quindi si ha

un giudizio soggettivo e non oggettivo.

La costruzione del bambino Federico è diversa in base all'interpretazione. Le tre azioni (osservare,

interpretare e intervenire) sono indispensabili e occorre stare attenti a non scivolare sul giudizio

sulla base della nostra osservazione: il comportamento dell'alunno non si deve trasformare in

giudizio. L'insegnante deve attivare osservazione, interpretazione e intervento, in particolare

l'interpretazione è fondamentale per intervenire, l'insegnate deve essere consapevole che la sua

interpretazione è una delle tante possibili e dipende da esperienza, convinzione e modalità

interpretative. I nostri interventi sull'allievo dovrebbero essere trattati come ipotesi di intervento e

non come intervento risolutivi. Es. Johnnie ha sbagliato a fare la sottrazio