Appunti delle lezioni con una personale rielaborazione dell’esame di Didattica della matematica della professoressa Palladino

Didattica della matematica

Numeri naturali

Numeri naturali sono numeri intuitivi. Sono infiniti e sono numeri interi, non negativi.

Tipi di numeri

Numeri interi sono numeri positivi e negativi.

Numeri razionali sono le frazioni.

Numeri irrazionali sono numeri decimali illimitati, non periodici.

Numeri complessi: numeri inventati.

Divisori e multipli di un numero naturale

Multiplo di un numero naturale a, diverso da 0, è ogni numero naturale che si ottiene moltiplicando a per un numero qualsiasi della successione dei numeri naturali. Se un numero, diviso per un altro, dà come resto zero diremo che il secondo è un divisore del primo e il primo è divisibile per il secondo.

Numeri primi

Sono quei numeri che possono essere divisi in modo esatto solo per 1 e per se stessi.

Crivello di Eratostene

Antico algoritmo del calcolo dei numeri primi. Il procedimento è il seguente: si scrivono tutti i numeri naturali a partire da 2 fino a n in un elenco detto setaccio. Poi si cancellano (setacciano) tutti i multipli del primo numero del setaccio (escluso lui stesso). Si prende poi il primo numero non cancellato maggiore di 2. Si ripete l'operazione con i numeri che seguono, proseguendo fino a che non si applica l'operazione all'ultimo numero non cancellato. I numeri che restano sono i numeri primi minori o uguali a n.

Teorema fondamentale dell'aritmetica

Un numero composto è dato dal prodotto di numeri primi in un unico modo. Solo 3 x 5 mi dà 15.

Massimo comune divisore

Il più grande divisore dei numeri considerati.

Metodi alternativi: Se otteniamo il numero 1 non bisogna proseguire. Non sempre il massimo comune divisore esiste.

Minimo comune multiplo

Il più piccolo tra i multipli comuni dei numeri in considerazione.

Metodi alternativi

Moltiplicazione con il metodo degli arabi: Metodo del sedicesimo secolo.

Moltiplicazione egizia: Metodo del raddoppio. Se fosse un numero non preciso, ad esempio, 124 x 48, si va a sommare il numero vicino al 16 e al 32.

Bastoncini di Nepero

Per eseguire le moltiplicazioni secondo l'idea di Nepero si usano dieci diverse asticelle numerate in alto da 0 a 9 e una ulteriore asticella, che chiameremo “regolo”, contrassegnata con il simbolo ×. Ciascuna asticella è divisa in nove quadrati su cui sono riportati dei numeri. A parte quelli del regolo, i quadrati sono separati in due triangoli dalla diagonale che va da destra in alto a sinistra in basso.

La logica

Proposizione —> qualsiasi frase se ha senso chiedersi se è vera o falsa. Più proposizioni sono legate da dei connettivi:

• Negazione:
• Coniugazione: Quando entrambe sono vere, allora la proposizione è vera.
• Disgiunzione: Quando almeno una delle due è vera, allora la proposizione è vera.
• Implicazione: È sempre vero tranne quando p è vera e q è falsa.
• Coimplicazione: Quando entrambe sono uguali, allora è falsa.

Modus ponens

Afferma che se p implica q è vera e anche p è vera allora segue che anche q è vera.

Modus tollens

Se p implica q e q è falsa, allora lo sarà anche q.

Sono due tautologie: sempre vera qualunque siano i valori di verità delle proposizioni che la compongono.

Sillogismo di Aristotele

Fu utilizzato per la prima volta da Aristotele. Parte dai termini: Maggiore, Medio e Minore. Collega i termini attraverso brevi enunciati.

Tipi: Quantitativo, qualitativo, modale, categorico.

Crittografia

• Caccia al segreto: Creare un semplice codice e il bambino dovrà tradurlo. Codice che ad esempio corrisponde alle lettere dell'alfabeto.
• Scrivere lettere: Associare una lettera ad un'immagine e spronare così il bambino ad utilizzare la fantasia e l'immaginazione.
• Creare il proprio codice: Scrivere una frase che interessa il bambino. Incoraggiarlo a creare un proprio codice, ad esempio al contrario.
• Informazioni sui codici antichi: Incoraggiare il bambino a scoprire i codici antichi, il codice morse.

Diagrammi di flusso

Rappresentazione da eseguire per l'esecuzione di un algoritmo. Ogni singolo passo è visualizzato da dei simboli standard. I diagrammi sono complessi di azioni elementari riconducibili a tre tipi essenziali. I comandi vengono eseguiti uno di seguito all'altro. Blocco decisionale: due scelte. Da ripetere fino a quando il controllo del blocco decisionale non ha cambiato il valore di verità. Ogni volta che si costruisce un algoritmo, bisogna riflettere sulla successione delle operazioni elementari che figuriamo nel diagramma e tenere presente che è solo con un corretto impiego dei tre tipi di strutture che l'algoritmo risulta ben organizzato. Il diagramma aiuta ad abituare il pensiero alla riflessione. Si può individuare agevolmente la concatenazione delle sequenze di azioni che caratterizzano un programma.

Numeri naturali particolari

Pitagora e i suoi discepoli diedero vita ad un'attività che elevò l'arte dei numeri a livello di scienza. I numeri permettevano di cogliere la sostanza nella realtà. Sostanza: logos, ragione. La mente umana coglierla. Rapporto tra logica delle cose e logica della mente umana.

Numeri figurati

Rappresentazioni geometriche dei numeri naturali. Possono essere lineari, poligonali o solidi.

Numeri triangolari: Assumono la forma di un triangolo equilatero.

Numeri quadrati: Assumono la forma di un quadrato.

Numeri pentagonali

Numeri esagonali

Teoria degli isoperimetri

• Tra tutti i triangoli di perimetro dato 2P, il triangolo equilatero ha area massima.
• Tra tutti i quadrilateri, il quadrato è quello di area massima.
• Tra tutte le figure piane di perimetro dato 2P, il cerchio ha area massima.
• Ma tutte le figure solide di data superficie S, la sfera è quella di volume massimo.

Perché proporli a scuola?

Perché permette di operare con i concetti di perimetro e area, senza ricorrere a numeri e formule. Può essere argomento di un laboratorio di matematica.

Poligoni stellati

Sono poligoni regolari che hanno lati uguali ma angoli alternativamente concavi o convessi tra loro uguali. Derivano dai poligoni regolari convessi mediante tracciatura di diagonali.

Diagonali: segmento che unisce due vertici non consecutivi di un poligono.

Angoli concavi: se contiene i prolungamenti dei suoi due lati. Minore di 180°.

Angoli convessi: se non contiene i prolungamenti dei suoi due lati. Maggiore di 180°.

Poligoni stellati semplici

• Formati da una sola linea spezzata.

Poligoni stellati composti

• Formati da più linee spezzate.

Un poligono regolare crea un poligono stellato composto quando il numero dei vertici saltati è un sottomultiplo intero del numero di lati del poligono stesso; in caso contrario, stellato semplice.

Costruzione di un poligono stellato

• Fai una circonferenza.
• Scegli il numero dei lati del poligono.
• Dividere in totali parti uguali.
• Decidere quanti vertici saltare.

Unità d'apprendimento sui poligoni stellati

Prendo una tavola di legno, dei chiodi e un filo. Formare un cerchio con i chiodi, fissare il filo ad un chiodo, procedere con passo regolare saltando sempre lo stesso numero di chiodi. Cosa si può notare? Che figure abbiamo formato?

Numeri co-primi e poligoni stellati

Sono strettamente legati i poligoni stellati ai numeri primi. Infatti riesco a costruire un poligono stellare solo quando N (numero dei vertici) e H (salto) sono numeri coprimi tra loro. I numeri co-primi sono numeri che non hanno divisori in comune.

Numeri pitagorici

I pitagorici trovano nella matematica la chiave per comprendere la realtà. Nel mondo pitagorico l'aritmetica e la geometria vengono a coincidere. Lo studio dell'una e dell'altra è la stessa cosa: attraverso il numero di punti è possibile conoscere le principali caratteristiche delle figure e dalla forma è possibile ricavare le proprietà dei numeri. Si definiscono numeri lineari (punti allineati), punti piani (figure piane), numeri solidi (figure solide).

Geopiano

Serve per costruire la maggior parte delle figure geometriche. È costituito da una tavoletta di legno e da dei chiodi.