Appunti di Analisi matematica I - prof. Germano/Martinelli

Programma Analisi Matematica II

1. Applicazioni del calcolo integrale di una variabile
   • Definizione di curve regolari
   • Lunghezza di un arco di curva (dimostrazione parziale)
   • Ascissa curvilinea
2. Funzioni di più variabili
   • A - Elementi di topologia nel piano: punti interni, esterni, di frontiera, insiemi chiusi ed insiemi aperti
   • B - Campi connessi e intorno di un punto
   • C - Punti di accumulazione e chiusura di un insieme
   • D - Domini e insiemi intimamente connessi
   • E - Concetto di funzione di due o più variabili
   • F - Insiemi di definizione di funzioni di due o più variabili
   • G - Limiti di funzioni
   • H - Funzioni continue e punti singolari
   • I - Teoremi fondamentali sulle funzioni continue (con dimostrazione)
   • L - Teorema di esistenza degli zeri di due variabili (con dimostrazione)
3. Calcolo differenziale per funzioni di più variabili
   • A - Derivate parziali delle funzioni di due variabili
   • B - Teorema di Schwartz
   • C - Relazione tra derivabilità parziale e continuità in un punto
   • D - Derivata in ogni direzione di una funzione con derivate parziali parzialmente continue
   • E - funzioni differenziabili
   • F - Differenziale totale
   • G - Condizione necessaria per la differenziabilità
   • H - Teorema di derivazione totale (con dimostrazione)
   • I - Derivate delle funzioni composte
   • L - Condizioni affinché una funzione di due variabili sia costante in un intorno di un punto (con dimostrazione)
   • M - Derivate secondo una direzione, gradiente, condizioni per l'esistenza dell'equazione del piano tangente e della retta tangente, matrice e formula di Taylor del secondo ordine con derivate direzione (con dimostrazione)
   • N - Massimi, minimi relativi e assoluti per le funzioni di due variabili
4. Teoria della misura
   • A - Misura degli intervalli
   • B - Misura esterna ed interna
   • C - Insiemi misurabili secondo Peano-Jordan
   • D - Proprietà degli insiemi su Peano-Jordan
   • E - Teoremi sugli insiemi misurabili nel piano (con dimostrazione solo del M
5. Equazioni algebriche e complementi di calcolo integrale
   • A - Cenni sulle equazioni algebriche, zeri di un polinomio e molteplicità
   • B - Integrali definiti come funzioni di una o più variabili
   • C - Teoremi

6) Integrali su Rⁿ

• Integrale di una funzione continua su un compatto di Rⁿ
• Proprietà degli integrali
• Densità di C^infinito_c(Rⁿ) in L¹
• Formula di riduzione per gli integrali doppi
• Formula di Gauss e formule integrali analoghe
• Cambi di variabile integrali e coordinate polari
• Cambi di variabile in R² due coordinate cartesiane in origine e coordinate di rotazione
• Integrali di Gauss (con dimostrazione) e volume dei cambi di coordinate sotto cambio unità
• Uso dei cambi ordinati in Gauss

8) Forme differenziali lineari

• Integrale curvilineo di una forma differenziale lineare
• Integrale curvilineo che definisce una forma lineare esatta
• Condizione necessaria per forma lineare chiusa sull'insieme curvilineo e convessa (con dimostrazione)
• Forme di Green, Gauss, e loro reciproci (con dimostrazione)
• Forme di Green e Gauss in RF (disequazioni favoribili)
• Condizioni sufficienti per l'integrabilità di una forma differenziale lineare unicamente a campi semplicemente connessi (con dimostrazione)

8) Successioni e serie di funzioni

• Successioni di funzioni: convergenza puntuale e convergenza uniforme
• Condizioni necessarie e sufficienti affinché una successione di funzioni converga uniformemente ad una funzione f(x)
• Teorema di passaggio al limite sotto segno di integrale
• Teorema di passaggio al limite sotto segno di derivata
• Serie di funzioni
  • Convergenza puntuale
  • Convergenza uniforme
  • Convergenza assoluta
  • Convergenza totale
• Teorema sulle serie totalmente convergenti
• Teorema sul continuo di una somma
• Teoremi di derivazione e di integrazione per serie
• Serie di potenze ad altro reale
• Teorema su convergenza assoluta di una serie di potenze sulla circonferenza convesso c in x₀≠x₀ (condizioni dimostrazione)
• Leggi di convergenza e intervallo di convergence con teoremi
• Teorema di Abel
• Teorema di Dirichlet
• Teorema di Boll exhards-tamasarti
• Teorema di Assi

C-ASCISSA CURVILINEA

\(s(t) - s(t_0) = \int_{t_0}^{t} \sqrt{\dot{x}^2(u) + \dot{y}^2(u) + \dot{z}^2(u)} \, du\)

- Se concordo col verso orientato - Se accordo con il verso di t.

\(d s^2 = (\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2) \, dt^2\) DIFFERENZIALE ASCISSA CURVILINEA

\(\) => parametrizzate dalla curvilineare

\(d s^2 = ((d x)^2 + (d y)^2 + (d z)^2) = (\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2) \, dt^2 = x'(\varphi(s))^2 + y'(\varphi(s))^2 + z'(\varphi(s))^2 \, dt\)

-> Il quadrato del differenziale dell'ascissa curvilinea è uguale alla somma dei quadrati dei differenziali delle singole funzioni parametriche

\(s(t)\) è monotona, quindi è sempre invertibile

\(t \leftrightarrow \varphi(s)\)

\(\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \\ z = z(t) \end{cases}\) => inverso => \(\begin{cases} x = x(\varphi(s)) \\ y = y(\varphi(s)) \\ z = z(\varphi(s)) \end{cases}\) => \(\begin{cases} x = x(s) \\ y = y(s) \\ z = z(S)\end{cases}\)

E - FUNZIONI CONTINUE E PUNTI DISCONTINUI

• (Pp) DEFINIZIONE:_Pp si dice continua in P₀ (P₀ ∈ D_E) quanto:

  ⇒ ∀ε > 0 ∃ δ > 0: x ∈ P₀ : 0 < |P - P₀| < δ ⇒ |f(P) - f(P₀)| < ε

• Si dice continua nell'insieme e se continua in ogni punto P₀ non isolato di E.

• In due variabili

• (x₀, y₀) è punto di discontinuità o punto singolare quando non è un punto di continuità cioè

  1. Può avere come risoluzione: f(x₀, y₀) =

  2. aggiungo il valore E nei insieme E.

Quindi per eliminare una discontinuità impongo se E ∈ D_E, ciòè aggiungo il valore E nei insieme E.