Appunti della Lezione 4 - Stabilità dell'equilibrio

Appunti della Lezione 4

STABILITA’ DELL’EQUILIBRIO

• EC 5.5 Resistenza delle membrature all’instabilità
• EC 5.9 Membrature composte in compressione
• EC 5.5.4 Flessione e compressione assiale

Lezione 4: Stabilità

Teoria di Eulero

Determinazione del carico critico ideale

• Materiale elastico lineare
• Assenza di imperfezioni

Asta perfetta/ideale

Asta elastica di rigidezza EJ sottoposta a forza normale N che induce un spostamento dell'asta stessa.

Vogliamo capire se configurazione stabile o instabile quindi spostiamo l'asta in una configurazione deformata. Poi vediamo se, una volta tolte il sistema di forze applicate, l'asta ritorna nella configurazione iniziale oppure no.

Approcio statico classico del carico critico

Esiterà un carico per cui quando si sposta la struttura nella configurazione deformata questa non rientra più; rimane deformata.

Equilibrio diventa indifferente quando il momento delle F. esterne uguaglia il momento interno dovuto alla deformazione accumulata in quella configurazione.

Momento interno Stabilizzante

H(z) = N . y(z)

Momento esterno Instabilizzante

Differenza di equilibrio

Trave in flessione di rigidezza EJ allora:

- M / EJ = y'' → -M / EJ = y'' → M = - EJ y''

- Teoria di trascurabile y

- Ipotesi di piccoli spostamenti

- Teoria del II ordine linearizzata

NON HO APPUNTI

QUINDI DA PFE =

Per trovare il coeff. di riduzione sappiamo che:

X = (N_E / A) (λ² / E)

π² = E / (√g_y)

Fissiamo il limite di resistenza dell'acciaio pari alla tensione di snervamento f_y

π √(E / f_y)

Snellezza per la quale si raggiungono contemporaneamente le tensioni critiche e lo snervamento

χ = (σ_u / g_y) = σ_u / f_y = (λ² / π²) (E / λ_d²)

= (λ_d² / λ²) - 1 / (λ²)

Curva normalizzata

quando λ = 1 la curva viene interrotta in quanto per valori inferiori di λ la tensione elastica supera quella di snervamento del materiale

Abbiamo parlato di comportamento reale quindi il limite elastico e < f_y:

Comportamento elastico non lineare

Comportamento elastico lineare con modulo di elasticità costante

quando accudo seguo la terna curva e flusso nell'origine

... dovuto all'eccentricità del carico

Eccentricità iniziale

Il carico non è centrato come nelle ipotesi di Eulero

La curva è più bassa rispetto al caso di imperfezioni geometriche. Sarà tanto più bassa quanto maggiore sarà l'imperfezione.

MOMENTO INSTABILIZZANTE ESTERNO

N(e+y) = - E ẏ y

MOMENTO STABILIZZANTE INTERNO

Equazione differenziale non omogenea

y''

N/E y = - N/E e

Integrale generale

y = A sen kz + B cos kz + e

Condizioni al contorno

• z = 0 y = 0 B = e
• z = l y = 0 0 = A sen kl + B cos k l - e

A sen kl = e - e cos kl

A

1. sen kl e (1 - cos kl)
2. sen kl e

A = e tan k l/n

y = e tan k l/n sen kz + e cos kz - e =

= e (tan k l/n sen kz + cos kz - 1)

Animoli, il trucco è:

• Definire l’imperfezione che tenga conto di tutti gli effetti reali presenti sulle aste
• Utilizzare la teoria elastica (sovrapposizione degli effetti) per determinare la condizione per cui nel punto più sollecitato raggiungo la tensione di snervamento

Effetto delle tensioni residue

Non si arriva alla tensione di snervamento ma si rimane su valori più bassi

Momento del secondo ordine:

N · e_tot = N · _L0/^{1 - N}_{N · ω}

Per provare la condizione di crisi impongo che:

^N/_A + ^{N · e}/_W = f_y

(Condizione di instabilità della sezione)

Si impone che le tensioni considerando l’amplificazione dell’imperfezione iniziale raggiunga lo snervamento (approccio anni ’70 di Ayrton Perry)

Ipotesi che dice che il punto critico si ha al raggiungimento del limite elastico in un’asta imperfetta

Tensione media

^G + ^{G e_A}/_W = f_y

Equazione più significativa perché si ha la tensione media che porta alla crisi il materiale

η = λ_A / γ(1 / ρ)

Comparre all'interno della snellezza normalizzata

λ̄ = λ / λ₁ = λ / √(E / f_y)

Al posto di lavorare con λ introduco λ̄ che viene usato anche nell'Eurocodice

λ̄ = λ / √(E / f_y) = 90.15 λ̄

f_y = 255 MPa

Fattore di imperfezione

η = 90.15 / γ(ρ / d)

η = (α₁) λ̄ costante

Per introdurre il tratto orizzontale fino al valore di 0,2 bisogna sottrarre ad η il valore di λ̄₀:

η̄ = α₁(λ̄ - λ̄₀)

Coefficiente di imperfezione variabile tra 0,21 e 0,76

Approccio dell'Eurocodice ma anche delle norme italiane con poche differenze

η₂ = α₂√(λ̄² - 0,04)

η₃ = α₃(λ̄² - 0,2)²

η₄ = α₄(λ̄² - 0,04)

L'imperfezione e₀, a meno che non si faccia un calcolo plastico, sarebbe pari a:

e₀ = α(λ̄ - 0,2) W_pl / A

Si può dare l'imperfezione in termini di λ̄ oppure in termini di eccentricità iniziale

e₀ = α(λ̄ - 0,2) W_pl / A

d²y/dz² + k²y = k²β

può essere scritta come soluzione dell'equazione omogenea sommata a quella dell'integrale particolare:

y = A cos kz + B sen kz + β

condizioni al contorno

• z = 0 y = 0 ⇒ A + β = 0 ⇒ A = -β
• y' = 0 ⇒ Bk = 0 ⇒ B = 0
• z = l y = β (1 - cos kl)
• y = l ⇒ l = β (1 - cos kl)

quando è che mi ha indifferenza?

ke = 0

1₄π ke = π/2

A noi interessa

Petit minimo quindi consideriamo m = 1

ke = π/2

sostituiamo il valore di k

Petit = π²/4 (1 - x Petit/9A)

attenzione perchè abbiamo il valore di k²

quindi eleviamo al quadrato questa parte per compensare

la riscriviamo in una forma più conveniente utilizzando:

Pe = (πETI/4e²) ⇒ carico euleriano considerando la sola deformazione flessionale

Petit = Pe (1 - x Petit/9A)

Petit = Pe/1 + x Petit/9A

carico euleriano considerando anche la deformazione tagliante

... il carico critico flessionale sia determinato sulla base del momento d'inerzia nel quale le sezioni sono perfettamente collegate e non risentono quindi della deformabilità a taglio.

Per (id):

\[P_e = \frac{\pi^2 E J_y}{l_0^2} \Bigg( \frac{1}{1 + \frac{\pi^2 G J_c}{l_0^2}} \Bigg) ... \]

TERMINI CHE RAPPRESENTANO \( \chi / GA \)

IN GENERE SI SCRIVE:

Per (id):

\[P_e = \frac{\pi^2 E A}{\Bigg( \frac{\lambda^*}{\chi} \Bigg)^2}\]

\[\lambda^* = \lambda \sqrt{1 + \frac{\pi^2 EA}{\lambda^2} ...}}\]

SNELLEZZA EQUIVALENTE (FITTIZIA)

IN QUESTO MODO IL CARICO CRITICO SI CALCOLA COME SE FOSSE UN'ASTA SEMPLICE

UTILIZZATA ANCHE NELLE NORME

(FINE DI QUANTO VISTO PER LE ASTE TRALLICCIATE)

Asta Calastrellata

FORMATA DA CALASTRELLI CHE NON LAVORANO PIÙ COME LE DIAGONALI O I MONTANTI VERTICALI A FORO NORMALE MA SONO ELEMENTI CHE LAVORANO A TAGLIO E FLESSIONE QUINDI DEVONO AVERE RIGIDEZZA FLESSIONALE

COLLEGATI IN MODO TALE DA POTER TRASMETTERE UN MOMENTO E UN TAGLIO

Estraiamo questo elemento MODULO e studiamo il suo comportamento deformativo a taglio

J_c = RIGIDEZZA FLEX DEL CALASTRELLO

J_c = RIGIDEZZA FLEX DEL CORRENTE

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