Appunti di Teoria delle strutture - Parte 4 (problema flessionale di Timoshenko)

euer_tot = euer_sirt + euer_cor + euer_niuj;

% Sbilanciamento

eq_ms = Sym(zeros (1, mv))

for i = 1:mv

eqms(i) = diff (euer_tot , um.ks{i1})

end

sol = solve(eq_ms);

vos = subs (v,s,sol)

Hos = ET + diff (vos,2,2)

Tas = diff (Hos,2)

% Piattografia

2to = linspace (0,2*k,40);

vos = subs (vos,2,2*to);

Hos = subs (Hos,2,2*to);

Tos = subs (Tos,2,2*to);

figure(4)

hold on

set(foc_yld2,'lineo','y');

plot(t2,to,yld2,'b-')

plot(t2+3,vos,'b--')

plot(t2,to,vct)

title ('Risposte in base al cambio y')

grid on

figure(5)

figure(6)

Il piattogeo e le forze si possono capire dall'esempio precedente.

STABILITA' DELL'EQUILIBRIO

22/03/2023

L'equilibrio è STABILE quando a patire da una configurazione vicinale di equilibrio a seguito di una piccola perturbazione il sistema ritorna nella configurazione vicinale di equilibrio.

L'equilibrio è INSTABILE quando a seguito di una piccola perturbazione il sistema non ritorna nella configurazione iniziale.

L'equilibrio è INDIFFERENTE se a seguito di una piccola perturbazione il sistema entra ad una nuova configurazione di equilibrio.

SISTEMI ARTICOLARIGIDI

Sono l'equilibrio nella configurazione definito connessione de una prof. _{kip - F /simp = 0.} logiche f

^*Le mode trad. _φ

^*_{Equilibrio nella configurazione di un ancoraggio}

Do una piccola perturbazione al sistema.

EQUILIBRIO NELLA CONFIGURAZIONE DEFORMATA

Questo richiede che l'ho solo quando l'asta è compressa F.

Perchè:

F φ l=0 F

φ=0 ➔ equilibrio stabile ∀ F

→ EQUILIBRIO STABILE

Diagramma la funzione f :

• Se f≥1 ➔ F≥K ➔ ∃1 configurazione di equilibrio per φ=0
• Se f=FL/K F=K ➔ F=K/L

L'unica soluzione affinche f=1 è che φ=0

PUNTO DI BIFURCAZIONE (carico critico) φ=1

SOLUZIONE DEL PROBLEMA DELL'EQUILIBRIO ELASTICO

Se f≥1 ➔ F≥K ➔ allora le possibili soluzioni sono 3:

Per capire la natura delle configurazioni devo studiare l'energia potenziale totale:

Π(φ)=¹/₂kφ²-FL(1-cosφ)

φ(φ) λ(φ) dipende da delle unità

det = 8k² - 12kFL + 3F₂L² = 0

F₁ = _k/^L, F₂ = 3_k/^L

Per vedere le posizioni configurazioni di equilibrio, prendo il valore di F₁ e F₂

Sostituisco in uno delle 2 equazioni

• F₁ = _k/^L = 0: (k-FL)φ₁ + (5k-2FL)φ₂
• - (k-_k/^L)φ₁ + (5k-2_k/^L)φ₂ - 3^k

• F₂ = 3^k/_L = 0: (k-FL)φ₁ + (5k-2FL)φ₂
• -(k-^3k/_L)φ₁ + (5k-2^3k/_L)φ₂ -2^k -kφ₂

φ₁ = ^φ₂/₂

TRAVE CON SFORZO NORMALE

Considero una trave soggetta ad un carico assiale uniformemente distribuito che da un carico q ad un carico Q in aumento lineare dello sforzo assiale N di compressione lungo l'asse della trave.

Studio equilibrio delle configurazioni indeformata.

A APPROCCIO STATICO: Scrivo l'equilibrio con trazione orizzontale

MdN - Nd' = 0

N = d'

Voglio esprimere le quantità in funzione della ϑ₁.

Allora:

W(z) = ∫₀²(dp̅ - dξ̅) - ∫₀²(1 - cosϕ)dξ̅ =

d̅p - dξ̅ = d̅p - dξ̅ cosϕ = dξ̅(1 - cosϕ)

= 1/2 ∫₀²(ϑ'₁)²dz = 1/2 ∫₀²(v'ϑdϑ) =

cosϕ ≈ ϑ̅²/2 ϕ̅ = ϑ - dξ̅

Quindi Π sarà:

Π = 1/2 E I [b ̅ϑ''₁]² + 2 - Q₁ ϑ₁ (W̅)²dz - ∫₀^ϑ[1/2 b(ϑ''₁)²d ϑ̅]dξ̅

ϕ̅(ϑ̅) Λ_n(u'̅) W̅(z̅)

A questo punto conviene fare lo storico. Ne adotto un approccio opposto.

METODO VARIAZIONALE APPLICATO

u̅(z̅) = C₁Φ₁(z) + C₂Φ₂̅(z) + … + C_nΦ_n̅(t)

coefficenti incogniti

Φ̅₁, …, in funzione scelta della serie L₁

Allora:

Π = 1/2 EI ∫₀²(C₁Φ'₁ + C₂Φ'₂ + … + C_mΦ(m̅))²d ₁̅dz - ℓ₂ ⁰[1/2 b(C₁Φ₂ + C₂Φ₂+ ... + Φ(m̅))]d̅z

- [ϕ₁ ∫₀ bΦ₁α dα + … + CnΦ_n (αβ)]d

ΔA(i,j) = diff(eq(i), umks(j));

end

end

det_AA = det(AA)

Ne = exp/solve(det_AA)

MODELIZZAZIONE DELLA TRAVE: PROBLEMA FLESSIONALE

MODELLO TIMOSHENKO

Hp. piccoli gradienti di spostamento

materiale elastico lineare isotropo

Le travi sono TOLTE se L > 10D.

Per esse non vale il modello di

Euler-Bernoulli.

Nel caso di travi snelle L > 10D il modello di Timoshenko tende al modello di Euler-Bernoulli.

Il modello di Timoshenko ha come ipotesi costitutive

la generica sezione retta e deformazione avente retta pura e

differenze con il modello di Euler-Bernoulli

Nota: puro yz - u(x,y,z) = 0

SPOSTAMENTI:

u(x,y,z)=u-U(z)

w(x,y,z)=w-yφ(z)

U(z)eφ(z) sono funzioni delle coordinate

DEFORMAZIONI:

ε_x = ∂u

∂x ≈ 0

ε_y = ∂v

∂y ≈ 0

ε_z = ∂w

∂z ≈ 0

ε_xy = ∂u

du - ∂v

ε_x = 0, ε_y = 0, ε_z = φ(z)

ε_xy = 0, ε_x = φ(z)

ε = g(x) = φ(z)

δ = σU(z)+φ(z)