Appunti Analisi matematica 1

Funzioni e Derivate

Sia f una funzione reale di variabile reale definita in un intervallo aperto I e sia x un punto in I. Si dice che f è derivabile in x se esiste ed è finito il limite del rapporto incrementale di f in x. Tale limite, se esiste ed è finito, si chiama derivata di f in x.

Possiamo anche dare un'interpretazione geometrica della derivata: quindi data una funzione reale di variabile reale f, consideriamo un punto del suo grafico (ossia supponiamo che stia nel dominio di f e sia uguale a f(x)). Se f è derivabile in x, la retta tangente al grafico di f in x è la retta passante per (x, f(x)) e avente coefficiente angolare f'(x). Tale retta ha equazione: y = f'(x) * (x - x0) + f(x0).

Il legame tra la derivabilità e la continuità è espresso dalla seguente relazione:

If : I → R mediante il seguente teorema: Sia una funzione derivabile in , allora f è 0x .continua in 0 (x)f(¿−f ( ))=0xDIM: Basta far vedere che .0 ¿limx→ x 0 (x )−f ( )f x 0x ≠ x ( ( )= ).f x)−f x ∙( x−xPer si ha che0 0 0x−x 0x → x xPassando al limite per e tenendo conto che f è derivabile in , si ottiene che:0 0( )f x( )−f (x )f x 0 '(¿−f ( ))=x =f (x )lim ∙ lim x−x ∙0=0 .0 0 0x−xx→x x→x00 0¿limx→ x 0Questo teorema mostra che la continuità è una condizione necessaria ma non sufficiente alladerivabilità. =0x(x)=¿f x∨¿Per esempio, la funzione in è continua ma non0derivabile, in quanto il limite destro del rapporto incrementale vale 1 mentre il=0xlimite sinistro vale -1, ovvero in è presente un punto angoloso (la0funzione è derivabile sia a sinistra che a destra ma le derivate laterali sonodiverse.

¿ x∨¿Un altro esempio è la funzione la quale presenta una cuspide in( ¿f x)= √=0x +∞, in quanto il limite destro del rapporto incrementale fa mentre quello sinistro fa0−∞ . ∈x Xf : X → R-Massimi e minimi relativi: Data , si dice che è un punto di massimo0(x) (x )> f ≤ fδ 0relativo (o locale) di f in X se esiste un tale che per ogni0∈ −δ + (x )x X ∩(x ; x δ) f. Il valore è detto massimo relativo di f.0 0 0Per esempio, nella funzione f(x)=1+|x| il punto x=0 è un punto di minimo ∈≥ Rassoluto, quindi anche relativo, visto che f (0) =1 e f(x) 1 per ogni x.5 2Invece nella funzione f(x)=1+|x|- il punto x=0 è di minimo relativo ma non assoluto per fxperché f(x) in alcuni punti come x=2 assume valori minori di f (0).3La funzione f(x)= ha in x=-1 un punto di massimo relativo mentre in−3x xx=1 un punto di minimo relativo. Tali punti non sono

né di massimo assoluto né di minimo assoluto in quanto, per esempio f(4)>f(-1) e f(-4)<f(1).

f :(a , b)→ R-Teorema di Fermat: Sia una funzione reale di variabile reale. Supponiamo∈(ax , b)che in siano soddisfatte le seguenti ipotesi:

1. f è derivabile in 0x
2. è un punto di estremo relativo per f0 ' =0f

Allora .x 0 xDIM: Senza perdere in generalità supponiamo che è un punto di minimo relativo. Quindi

0( −δ +δ ) ( ( )x ; x f x)≥ f xδ> 0

esiste un tale che l’intorno è contenuto in (a,b) e per0 0 0ogni x appartenente a tale intorno.

Osserviamo ora che si ha:

−f ( ( )x)−f x 0 <x <x +δ≥ 0 se x 0 0x−x 0

−f (x)−f (x )0 −δ < <≤ 0 se x x x0 0x−x 0 x x

Essendo f derivabile in , la derivata destra e sinistra di f in esistono e sono uguali fra0 0loro. Passando al limite delle due disuguaglianze precedenti avremo che:

( (x )f

−f−¿ 0x → x ≤ 00 x−x 0'−¿ ( )=lim ¿x 0 ¿( ( )f x)−f x+¿ 0x→ x ≥ 0 ef ¿0 x−x 0'+ ¿ ( )=lim ¿x0 ¿f ¿ '−¿ (x )=00'+¿ ( )=fx

Di conseguenza si ha che: .¿0' =ff ¿x 0[ ]f : a , b → R-Teorema di Rolle: Sia una funzione soddisfacente le seguenti condizioni:

1. f è continua in (a , b)
2. f è derivabile in
3. f(a)=f(b) '∈(ax , b) =0f

Allora esiste un punto tale che .0 x 0[ ]a , b

DIM: Poiché f è continua in che è un intervallo chiuso e limitato, per il teorema diWeiestrass ammette massimo e minimo assoluti. Esistono cioè almeno due punti[ ]∈x , x a , b tali chem M ( ( )≤ ( ( )=max (min f x)=f x f x)≤ f x f x)m M[ ] [ ]a ,b a ,b[ ] ∈(=x∈ x a ,b)x a ,bper ogni . Se uno dei due punti, ad esempio ,0 mallora, essendo f derivabile in tal punto,

Dal teorema di Fermat segue che f'(x) = 0 se e solo se x è un punto critico (la tesi in questo caso è dimostrata). Se, invece, nessuno dei due punti a e b è un punto critico, allora essi coincidono con gli estremi a e b dell'intervallo e quindi, per la 3° ipotesi, f'(x) ≤ f(x) ≤ f'(x). In tal caso, essendo f'(x) = 0, la funzione risulta costante e, di conseguenza, la derivata è nulla in ogni punto x ∈ (a, b). Teorema di Lagrange: Sia f: [a, b] → R una funzione soddisfacente le seguenti condizioni: 1) f è continua in (a, b) 2) f è derivabile in (a, b) 3) f(a) = f(b) Allora esiste un punto c ∈ (a, b) tale che f'(c) = 0. DIM: Sia g(x) = f(x) - f(a) - (x - a) * f'(a). La funzione g è ovviamente continua in [a, b] e derivabile in (a, b) come somma di f (che è continua in [a, b] e derivabile in (a, b) per ipotesi) con un polinomio. Inoltre, è g(a) = g(b) immediato.verificare che f'(x) = 0 per ogni x appartenente all'intervallo (a, b). Dal punto di vista geometrico, questo teorema prova che esiste almeno un punto x in cui la tangente al grafico di f in (x, f(x)) è parallela alla retta passante per i punti (a, f(a)) e (b, f(b)). -Conseguenze teorema di Lagrange: 1) 1° COROLLARIO: Se f è derivabile in un intervallo I e tale che per ogni x appartenente a I, f'(x) = 0, allora f è costante in I. DIM: Siano a e b due punti appartenenti all'intervallo I con a < b. Per il teorema di Lagrange, esiste un punto x appartenente all'intervallo di estremi a e b tale che f'(x) = (f(b) - f(a))/(b - a). Essendo f'(x) = 0, si ottiene che f(b) - f(a) = 0 e per l'arbitrarietà di a e b, si deduce che f è costante in I.

1. 1^o COROLLARIO (criterio di monotonia): Se f : I → R è una funzione derivabile in un intervallo I e tale che per ogni x ∈ I, I'(x) ≥ 0, allora f è crescente in I.
2. 2^o COROLLARIO (criterio di stretta monotonia): Se f : I → R è una funzione derivabile in un intervallo I e tale che per ogni x ∈ I, I'(x) > 0, allora f è strettamente crescente in I.
3. TEOREMA: Sia f : [a, b] → R una funzione continua in [a, b] e derivabile in (a, b). Supponiamo che esista il limite per x → a+ di f'(x). Se tale limite

è finito, allora f è derivabile in a e la funzione risulta continua in a, cioè si ha f'(a)=lim_x→a f'(x). Se invece tale limite è infinito, allora f non è derivabile in a e la retta tangente al grafico di f in (a,f(a)) è verticale.

4°COROLLARIO: Se f : I → R è derivabile in un intervallo I. Allora la funzione non può ammettere discontinuità di prima specie in I.

CONVESSE: Se f : I → R è una funzione definita in un intervallo aperto I. Allora f si dice convessa in I se per ogni x₁, x₂ ∈ I con x₁ < x₂, il segmento di estremi (x₁, f(x₁)) e (x₂, f(x₂)), non ha punti al di sotto del grafico di f. Se inoltre il segmento non ha punti in comune con il grafico di f tranne gli estremi (x₁, f(x₁)) e (x₂, f(x₂)), allora f si dice strettamente convessa in I.

Esempi di funzioni CONVESSE sono e^x e √(x).

di funzioni CONCAVE sono e(x)=log (x)

Nel caso di funzioni derivabili si ha la seguente caratterizzazione:

f : I → R

TEOR: Sia una funzione derivabile in un intervallo aperto I. Allora f è convessa in I se e solo se la retta tangente ad un punto qualunque del suo grafico sta sotto