Appunti Analisi matematica 1

ANALISI 1

INTORNO (crescenti, monotone, limitate)

FUNZIONI FORATO

INTORNO

DI ACCUMULAZIONE

PUNTO

(+TEOREMA DI UNICITA’ DEL LIMITE)

LIMITI CONTINUE:

FUNZIONI

-teorema della permanenza del segno

-teorema degli zeri

-teorema dei valori intermedi

-teorema di Weistrass

DERIVABILI:

FUNZIONI

-legame continuità-derivabilità

-massimi e minimi relativi

-teorema di Fermat

-teorema di Rolle

-teorema di Lagrange

-conseguenze teorema di Lagrange

CONVESSE

FUNZIONI

DI FLESSO

PUNTI DE L’HOPITAL

TEOREMA DI TAYLOR

FORMULA INDEFINITI: PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE

INTEGRALI DEFINITI:

INTEGRALI

-teorema della media integrale

-teorema fondamentale del calcolo integrale

-formula fondamentale del calcolo integrale

1

INTORNO ∈

x R x

Dato un punto ed assegnato un numero r > 0, l’intorno di centro e raggio r è

0 0

∈ ∨¿

x R :∨x−x r

l’insieme: ,

0 x

(x −r +

; x r)

che coincide che con l’intervallo aperto di centro e ampiezza 2r.

0 0 0

FUNZIONE

Una funzione tra due insiemi X e Y è una legge f: X->Y che associa ad ogni elemento x

appartenente all’insieme X, detto dominio di f, un unico elemento y=f(x) appartenete

all’insieme Y, detto codominio di f.

CRESCENTE

FUNZIONE ∈ <

x x x x

⊆

f : A X R

Diremo che -> è crescente in A se da , A e segue che

1 2 1 2

(x )≤ ( )

f f x . In modo analogo potremmo dire che una funzione è crescente se il rapporto

1 2 ( )−f ( )

f x x

2 1 ≥ 0

incrementale ossia .

−x

x 2 1

MONOTONE

FUNZIONI

Si chiamano funzioni monotone le funzioni crescenti o decrescenti, ossia quelle tali per cui il

prodotto

( )−f (x )

f x

1 2 x e x

), con nel dominio, non cambia mai di segno. Le funzioni strettamente

1 2

( −x )∙¿

x 2 1

monotone sono iniettive, il viceversa in generale è falso. ( )

f : α , β → R

-Teorema di esistenza del limite per le funzioni monotone: Sia una

( ) α e β

α , β

funzione monotona definita in un intervallo , dove sono reali estesi. Allora,

x → α e x → β

esistono i limiti per di f(x), e risulta che:

f

−−lim ( (x )e (x)= ( )

f x)=inf f lim f x se f è crescente

x→ α x →β

f

( )= ( (x )=inf (

lim f x x)e lim f f x)

-- se f è decrescente

x→α x →β

� LIMITATE

FUNZIONI f : X R

Data una funzione -> si dice che f è limitata superiormente in X se esiste una

≤ h ,

costante h tale per cui f(x) per ogni x appartenete ad X.

Si dice che f è limitata in X se è limitata sia superiormente che inferiormente in X, cioè esistono

( )≤

h ≤ f x k

due costanti h e k tali per cui per ogni x appartenete ad X.

Esempi di funzioni limitate nel loro dominio sono il segno, l’arcotangente e la

mantissa.

Es. la funzione y=1/x non è limitata ne inferiormente ne superiormente nel suo

R

dominio (cioè in tutto tranne che in x=0), mentre è limitata inferiormente

∞ ∞

ma non superiormente in X= (0;+ ) ed è limitata in X=(1;+ ).

FORATO

INTORNO { }

∈ ∨¿

x x R: 0<¿ x−x δ

δ

Si dice intorno forato di un punto di raggio l’insieme: .

0 0

DI ACCUMULAZIONE

PUNTO ∈

x R ⊆

X R

Un punto si dice punto di accumulazione per un insieme se in ogni intorno

0 { }

( )∖

x X ∩ B x x ≠∅

>

δ 0

forato di cadono punti di X, cioè se per ogni risulta .

0 δ 0 0

x

Dalla definizione sopra si deduce che se è di accumulazione per un insieme X, allora ogni

0

x

intorno di contiene infiniti punti di X.

0

2 ⊆

X R

-I punti di un insieme che non sono di accumulazione per x si dicono punti isolati di X.

∈

x X >

δ 0

Quindi un punto si dice punto isolato se esiste un tale che

0

{ }

(x )=

X ∩ B x .

δ 0 0

LIMITI x

f : X → R

-Limite finito-finito: Sia una funzione reale di variabile reale e sia un punto

0

di accumulazione per il dominio X di f. Si dice che f(x) tende ad un numero reale l per x che

x >

ε 0 δ> 0 ε

tende ad se per ogni esiste (dipendente da ) tale che da

0

∨¿

0<¿ x−x δ ∈ ¿ (x )−l∨¿

x X f ε

e segue .

0 x

f : X → R

-Limite finito-infinito: Sia una funzione reale di variabile reale e sia un

0

∞

punto di accumulazione per il dominio X di f. Si dice che f(x) tende a + per x che tende a

x ∈ >

M R δ 0

se per ogni esiste tale che da

0 ∨¿

0<¿ x−x δ ∈

x X

e segue che f(x)>M.

0 f : X → R

-Limite infinito-finito: Sia una funzione reale di variabile reale e supponiamo che

∞

X non sia limitato superiormente, cioè che ogni semiretta destra (a;+ ) contenga infiniti

∞

punti di X (ciò per dire che + è un punto di accumulazione per X). Allora diremo che f(x)

∈

>

∞ ε 0 a R

tende ad un numero reale l per x che tende a + se per ogni esiste un tale

∈ ¿ (x )−l∨¿

x X f ε .

che da x>a e segue che f : X → R

-Definizione di limite tramite gli INTORNI: Sia Sia una funzione reale di

α

variabile reale e sia un punto di accumulazione per il dominio X di f. Si dice che f(x) tende

¿

∈ α λ α

λ R

a per x che tende ad se per ogni intorno V di esiste un intorno U di

∈ ∈V

x U ∩ X e x ≠ α .

tale che per ogni si ha che f(x) Si usa anche dire che il limite per x

α λ

che tende ad di f(x) è uguale a . α

-Teorema di unicità del limite: Supponiamo che il limite per x che tende ad di f(x)

esista (finito o infinito). Allora tale limite è unico. ∈

=x

α R

DIM: Possiamo fare la dimostrazione nel caso in cui e limite finito.

0

x → x l ≠ l

(x) (

f →l e f x) →l

-Per assurdo, supponiamo che: per , con

1 2

0 1 2

¿

¿ −l ∨

l 1 2 2

-Fissiamo poi .

ε ≤¿ > ∨¿

δ 0 0<¿ x−x δ ∈

x X

-Per definizione di limite esiste un tale che se e si ha che

1 0 1

¿ (x )−l ∨¿

f ε .

1 > ∨¿

δ 0 0<¿ x−x δ ∈

x X

Analogamente esiste un tale che se e si ha che

2 0 2

¿ (x )−l ∨¿

f ε .

2 { } ∨¿

=min 0<¿ x−x δ

δ δ , δ ∈

x X

-Prendendo e tale che , dalla disuguaglianza

0

1 2

triangolare del valore assoluto si ha che: ¿

¿ −l ∨

l 1 2 2

¿ −l ∨¿∨l −f ( )+f ( ∨≤∨f ( ∨+¿ (x)−l ∨¿

l x x)−l x)−l f 2 ε da cui si ricava ,

1 2 1 2 1 2 >¿

ε

ε

che contraddice la scelta di .

CONTINUE

FUNZIONI ∈

x X

⊆

f : X R → R

Una funzione reale di variabile reale si dice continua in un punto se

0

x x

è un punto isolato di X oppure, nel caso che sia un punto di accumulazione di X, se

0 0

x

0 ).

( ¿

lim f x)=f

x → x 0

3 f : X → R

-Ricordando la definizione di limite potremmo anche dire che una funzione è

∈

x X > =δ (ε )>0

ε 0 δ

continua in un punto e di accumulazione se per ogni esiste un

0

¿ ∨¿

x−x δ ¿ (x )−f ( )∨¿

∈ f x ε

x X

tale che da e segue che .

0

0 f : X → R

-Teorema della permanenza del segno: Sia una funzione continua in un punto

x

∈

x X 0 > (

δ 0 f x)>0

e sia ) >0. Allora esiste un tale che , per ogni

0 ¿

f

∈( −δ + )∩

x x ; x δ X .

0 0 x x

Se f non è continua in un punto del suo dominio, si dice che f è discontinua in

0 0

x x

oppure che f ha una discontinuità in . Possiamo trovare 3 tipi di discontinuità: f ha in

0 0

x

una discontinuità di prima specie se esistono finiti i limiti destro e sinistro di f in ma sono

0

+¿ (x )

x → x f

0

−¿ (x )≠ ¿

x → x f lim

diver