Appunti Analisi matematica 1

INTEGRALE PER PARTI

E’ una formula utile per calcolare l’integrale del prodotto di due funzioni ·

f (x) g(x).

Z Z 0

· · − ·

f (x) g(x) dx = f (x) G(x) dx f (x) G(x) dx

Ricordando che è la derivata di , mentre è una primitiva di

0

f f G g.

Esempio:

(1) Z Z

· · − · · − ·

x cos(x) dx = x sin(x) 1 sin(x) dx = x sin(x) (−cos(x)) = x sin(x) + cos(x)

(2)

Z Z Z

x x x x x x

· · − · · − · − −sin(x) ·

sin(x) e dx = sin(x) e cos(x) e dx = sin(x) e cos(x) e e dx

Z

x x x

· − · − ·

= sin(x) e cos(x) e sin(x) e dx

perciò Z Z

x x x x

· · − · − ·

sin(x) e dx = sin(x) e cos(x) e sin(x) e dx

portiamo a sinistra l’integrale

Z Z

x x x x

· · · − ·

sin(x) e dx + sin(x) e dx = sin(x) e cos(x) e

cioè Z x x x

· · − ·

2 sin(x) e dx = sin(x) e cos(x) e

perciò x x

· − ·

Z sin(x) e cos(x) e

x

·

sin(x) e dx = 2

INTEGRALI PER SOSTITUZIONE

Per questo trick è importante aver ben capito come fare le derivate. Infatti l’idea è di scegliere

una funzione e vederla come una variabile (t poi si integra in questa nuova variabile.

f (x) t, = f (x))

Ricordando che nell’integrale c’è sempre il termine integrando nella nuova ci serve

dx, dt

0 →

dt = d[f (x)] = f (x)dx dx = 0

f (x)

Ma ci serve tutto in funzione della nuova variabile ricordando che è l’inversa di , abbiamo

−1

t, f f

che dt

dx = 0 −1

f (f (t))

26

Ricordati quest’ultima formula, è fondamentale.

Facciamo un esempio per sicurezza: →

t = f (x) = sin(x) x = arcoseno(t)

allora d dt

→

dt = df (x) = d[sin(x)] = [sin(x)]dx = cos(x)dx dx =

dx cos (arcoseno(t))

Proviamo a fare un esempio con questo metodo, per calcolare gli integrali definiti (quelli usati per

calcolare le aree, ovvero quelli con e le cose sono differenti ma molto simili, basta cambiare gli

a b);

estremi e in un opportuno modo.

a b Z 2

·

x sin(x )dx

√ e

scelgo 0

2 → t f (x) = 2 x.

t = f (x) = x x =

Perciò ora devo calcolare dx. dt

√

dx = ·

2 t

quindi √

Z Z

1

dt 1 1 1 2

√

· − −

=

t sin(t) sin(t) dt = (−cos(t)) = cos(t) + C = cos(x ) + C

2 2 2 2

·

2 t

Se invece avessimo dovuto calcolare l’integrale definito

3

Z 2

·

x sin(x )dx

2

ricordando la scelta fatta abbiamo che l’estremo inferiore invece di essere

2

t = f (x) = x b = 2,

diventa 2

t = f (2) = 2 = 4

1

mentre l’estremo superiore diventa 2

t = f (3) = 3 = 9

2

quindi abbiamo 9

3 Z

Z 1

2

· sin(t) dt

x sin(x )dx = 2 4

2

Ciò significa che poi quando devi calcolare l’esatto valore dell’area, e devi fare la differenza tra i

valori della primitiva, calcolata nei due estremi; se scegli la soluzione con la (la penultima), devi

t

usare gli estremi 9 e 4

1 1

− − −

cos(9) cos(4)

2 2

se invece scegli la soluzione con la (l’ultima), devi scegliere gli estremi originali 3 e 2

x

1 1

2 2

− −

− cos(3 ) cos(2 )

2 2

Come vedi, il valore è (e deve essere) lo stesso! 27

ESERCIZI SVOLTI

Integrali generali con formule note (ricordati che per integrare le funzioni composte, serve la derivata

affianco).

Soluzione: 28

Integrali per parti.

Soluzione: 29

30

Integrali per sostituzione.

Soluzione: 31

32

33

34

35

Integrali definiti

Soluzione: 36

37

38

Soluzione: 39

40

Altri link utili dove trovare esercizi svolti (cliccaci sopra col mouse):

1. UNIVERSITA’ DI FERRARA

2. FRANCESCO DADDI

3. RIASSUNTO SU TUTTO L’ARGOMENTO DEGLI INTEGRALI CON ESEMPI

Manca solo la parte degli integrali di frazioni fratte, ma sono presenti molti esercizi dove vengono

trattati. Inoltre se guardi sull’ultimo link c’è tutto!

41

5 Studio di funzione

Siamo arrivati all’ultimo capitolo, all’ultima parte, l’ultimo argomento; ciò che riassume tutto quello

che è stato fatto finora: lo studio di una funzione ad una variabile!

Lo studio di una funzione si procedere step by step. Ad ogni passo si cercano e si trovano

f = f (x)

informazioni, per ottenere come risultato finale il grafico (approssimativo) della funzione in studio.

Vediamo quali sono i punti da affrontare:

1. il dominio è un sottoinsieme di o stesso, dove la funzione vive, cioè dove la

Dominio: R R

funzione è definita.

2. è utile per risparmiare calcoli nel caso risultasse pari o dispari, se

Pari o Dispari o Niente:

è pari studiare la funzione a destra dell’asse delle è uguale a studiarla a sinistra. Simile nel

y

caso dispari in cui basta metterci un meno a molte cose.

3. le intersezioni con gli assi (se ce ne sono) sono punti in cui siamo

Intersezioni con gli assi:

sicuri che la funzioni passi, sono i punti più semplici da trovare.

4. è utile perchè è il miglior modo per dividere in fasce il dominio, individuando e

Positività:

restringendoci a zone dove passa la funzione.

5. ci servono sostanzialmente per capire come si comporta la funzione ai due

Limiti e Asintoti:

infiniti e vicino ai punti dove non è definita.

6. con essa possiamo già verificare se i risultati trovati finora

Crescenza e Decrescenza:

tornano.

7. ci serve per un ulteriore verifica e per dare forma alla funzione.

Convessità e Concavità:

8. se esistono sono degli altri punti facili da trovare, utili per dare la forma

Massimi e Minimi:

finale al grafico della funzione.

Per individuare il dominio di una funzione basta ricordare i grafici delle funzioni più

DOMINIO

note ed alcune regolette intuitive. Ecco i grafici ed i domini (dom(f che bisogna ricordare:

))

42

43

h(x)

ù Più in generale se hai una funzione dove e sono altre due funzioni, devi

f (x) = h(X) g(x)

g(x)

mettere la funzione a in questo caso g(x).

diverso da zero denominatore,

44

Più in generale se hai una funzione che è la radice con di un’altra funzione, cioè f (x) =

indice pari

con un numero pari. Allora devi imporre la

p

n g(x) n funzione sotto la radice maggiore o uguale

Nel nostro caso ≥

g(x) 0.

a zero.

Se invece l’indice è non devi va tutto bene. Puoi vederlo qua sotto con la

dispari, imporre nulla,

radice di indice 3 (radice cubica). 45

Più in generale se hai una funzione la devi imporre

dentro al logaritmo strettamente maggiore

Ovvero se devi imporre

f (x) = log (g(x)), g(x) > 0.

di zero. 46

Per ricordarsi il dominio delle funzione ed cioè basta ricordarsi

arcoseno(x) arcocoseno(x), [−1, +1],

che il ed il stanno tra ovvero hanno come codominio perciò le

seno(x) coseno(x) [−1, +1], [−1, +1];

47

loro funzioni inverse hanno come dominio [−1, +1].

Per ricordarsi il dominio della tangente, ovvero basta ricordarsi che è definita come il seno

tan(x),

sin(x)

diviso il coseno, cioè . Ricordando che quando si ha una funzione a denominatore la

tan(x) = cos(x)

vogliamo diversa da zero, dobbiamo escludere tutti i punti in cui si annulla in coseno, cioè tutte le x

π dove è un numero intero, ovvero

tali che −2, −1,

+ k π, k k = ..., 0, 1, 2, ...

x = 2 48

Pari o Dispari o Niente

Una funzione si dice ovvero quello che è a destra dell’asse delle y, è con ciò che

Pari, specchiato

sta a sinistra, se f (x) = f (−x)

Una funzione si dice ovvero tracciando una retta obliqua che taglia il primo ed il terzo

Dispari,

quadrante (alto a destra e basso a sinistra ), oppure che taglia il secondo ed il quarto (alto a sinistra

e basso a destra) quello che sta a sinistra di tale taglio , è con ciò che sta a destra, se

specchiato

−f (x) = f (−x)

Può accadere che non si verifichi nessuna delle due condizioni, ovvero che la funzione non è nè dispari

nè pari! 49

Intersezioni con gli assi

Come detto prima, se esistono sono dei punti utili per fissare il passaggio della curvi in tali punti.

1. Intersezione con l’asse delle ascisse (delle x).

Cosa devi imporre? E’ semplice basta ricordarsi che stai cercando un punto d’interserzione con

l’asse delle quindi che sta con l’asse delle Un punto che sta nell’asse delle non è nè alto

x, x. x

nè basso, cioè ha l’ordinata (il valore della nulla!

y)

Quindi devi imporre Che cos’è la nel nostro caso? Nel nostro caso Quindi

y = 0. y y = f (x).

alla fine della fiera devi imporre f (x) = 0

I valori delle che risolvono questa equazione, daranno i punti nell’asse

x P = (x, y = 0) = (x, 0)

delle che appartengo anche ad

x f (x).

2. Intersezione con l’asse delle ordinate (delle y).

Ragionando come prima, un punto che sta nell’asse delle ordinate ha perciò devi imporre

x = 0,

y = f (0)

Qui non puoi trovare più di un punto, anzi ne troverai sempre e solo uno, tranne nel caso

a denominatore ci sia una funzione che si annulla in in cui devi escludere dal

x = 0, x = 0

dominio.

Positività

Bisogna imporre semplicemente f (x) > 0

Trovate le che risolvono questa disuguaglianza, sai che funzione è strettamente positiva quindi vive

x

nella zona sopra l’asse delle x. 50

Nel grafico sottostante è stato trovato che per oppure per Quindi esclu-

−3 −1.

f (x) > 0 x < x >

diamo le zone che sono a sinistra di e sotto l’asse delle ascisse perchè in tale fascia è

−3

x = f (x)

positiva, stessa cosa a desta di Dato che una funzione o è positiva o è negativa o nulla,

−1.

x =

abbiamo che per forza tra -3 e -1 la funzione è negativa (o nulla) perciò eliminiamo la fascia sopra

l’asse delle perchè in quell’intervallo la funzione è negativa.

x, 51

Limiti e Asintoti

I limiti che devi verificare sono di due categorie:

1. Negli infiniti (SEMPRE)

±∞

2