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INTRODUZIONE "AUTOMATICA"
L'automatica è una disciplina che si occupa della progettazione di dispositivi che sostituiscono l’intervento umano o che ne regolano le qualità e le caratteristiche.
Per esempio il sistema ABS che migliora la frenata o il cruise control che regola la coppia del motore al fine di regolarmene la velocità.
I processi sono digitali e vengono gestiti da una serie di controlli che, dopo averli analizzati, inviano i segnali ad altri controllori adatti e convenienti al fine di attuare il comando attraverso la generazione di correnti elettriche.
Il controllore gestisce sulle variabili controllabili se la variabile è costante; avrà un problema di regolazione, e se la variabile varia nel tempo avrà un problema di controllo.
ANALISI DEI SISTEMI
Un sistema è un complesso di elementi interagenti in cui ci sono delle variabili da modificare.
Per poter controllare devo avere una variabile manipolabile da controllare; queste si distinguono in:
- INPUT ➔ variabile di controllo = CAUSA
- OUTPUT ➔ variabile controllata = EFFETTO
disturbo
controllore ➔ sistema
Tuttavia esistono anche variabili non controllabili che influenzano comunque l'output e vengono chiamate DISTURBI.
I sistemi si distinguono principalmente in sistemi SISO e MIMO:
- SISO → single input single output
- MIMO → many input many output
Un controllore è sostanzialmente un altro sistema che modifica le variabili controllabili al fine di ottenere un output più conforme ai nostri desideri.
r(t) = cost → problema di regolazione
r(t) = variabile → problema di controllo
Un operatore ideale sarebbe del tipo y(t) = r(t).
Tuttavia è difficile avere un sistema di questo tipo perché difficilmente y(t) = r(t), perciò dobbiamo eseguire un tracking (di inseguimento) per e.
y(t) = r(t) + e(t) → errore di tracking
Ovviamente si desidera sempre avere un errore nullo ma poiché è quasi impossibile puntare ad avere e(t) il più piccolo possibile.
Per poter minimizzare e(t) posso operare tramite sistemi ad anello aperto o tramite sistemi ad anello chiuso.
TRASFORMATA DI LAPLACE
Per poter analizzare i sistemi LTI SISO che sono espressi da un'equazione integrale-differenziale, utilizzo la trasformata di Laplace. Si associa ad una funzione di variabile reale una funzione di variabile complessa passando dal dominio del tempo al dominio delle frequenze. Si definisce come:
L{f(t)} = ∫0+∞ e-st f(t) dt = F(s)
t ∈ Rs ∈ C
Quest'integrale non sempre si può risolvere, ma i punti in cui è possibile farlo costituiscono il dominio della trasf. di Laplace della funzione.
Applichiamo Laplace alla funzione u(t), unità. u(t) = 0 per t < 0, quindi tutto ciò che avviene negli istanti di tempo negativi non lo considero ∀t < 0 ⇒ g(t)=0.
Considero il segnale più semplice possibile e cioè applichiamo Laplace al gradino definito come 1(t).
1(t) = { 1 per t ≥ 0 0 per t < 0 }
L{1(t)} = ∫0+∞ 1 · e-st dt = [1/s e-st ]0+∞ = 1/s
con s numero complesso s = σ + jω definita come frequenza complessa che diminuis orizionalmente ed è l'inverso di un tempo.
1) IMPULSO DI DIRAC
Rappresenta lo derivato del gradino che può non è derivabile nell'origine perché discontinuo, perciò definiamo l'impulso di ampiezza finita
pΔ(t)
pΔ(t) = { 1/Δ per 0 ≤ t ≤ Δ 0 per tutti gli altri valori }
Posso anche prendere un valore di Δ più piccolo ottenendo un rettangolo sempre più stretto e la superficie sarà sempre di area unitaria.
Definisco la funzione δ(t) = limΔ→0
+∞∫-∞δ(t) dt = 1
Impulso derivato Gradino derivato Rampa lineare derivata Rampa parabolica
λ = { δ(t)/tⁿ } -1
λ = { 1(t)/tⁿ } -1/3
λ = { 1(t)/t } -1/3
λ = { pΔ(t)/t } -1/3
K2 = F(s)
(5+1)
K4 =
30 (5+5) (5+4)(5+1) (5+2) (5+4)= 30 (-1+5) / (-1+2) (-1+4) = 40/3
K2 = F(s)
(5+2)
K3 =
30 (5+5) (5+4)(5+1) (5+2) (5+4)= 20 (-4+5) / (-4+1) (5+4) = -5/3
Dopo aver raccolto e variato per anticipo/ritardo si sfrutta dueproprietà:
- L {1 (t)}
L = {eat . 1 (t)} ➔ Traslazione in frequenza
f (t) = 40/3 e-t . 1 (t) + (-15) e-2t . 1 (t) + (5/3) e-3t . 1 (t)
F(s) = 40/3 . 1/(5+1) + (-15) . 1/(5+2) + (5/3) . 1/(5+4)
Y(s) = k1 s2 + k12 25 + β
Ora posso fare la scomposizione in fratti semplici:
Y(s) G(s) U(s)
Y = 2 (s + 1) / s (s2 + 2s + 2) (1/s2) + 1 / s + k12 / s2 + k2 / s + α s + β / s2 + 2s + 2
moltiplico e divido cosi da avere lo stesso denominatore e poter fare il m.c.m
abbasso il grado la funzione
Y = 2 (s + 1) / (s2 + 2s + 2) 1/s2
K1 = Y(s) / s0
K1 = 2 (s + 1) / (s2 + 2) 1/s2 = 2 (0 + 1) / 0 + 0 + 2 = 1
Y = 25 Y - 1 = x S - y / s (s2 + 2s + 2) = -1 / s (s2 + 2s + 2)
Y = -1 / s2 + 2s + 2 = K12 / s + α s + β / s2 + 2s + 2
Trov immediatamente le altre quantità perché affinché i due termini siano uguali devo necessariamente avere K2 = 0 α = 0 β = -1
muove posizione di equilibrio non molto distante da quello iniziale. Infine il punto è instabile se a seguito di una perturbazione il sistema si allontana indefinitamente della posizione di equilibrio senza potersi tornare.
Sistemi in cui la stabilità dipende dal singolo punto sono sistemi non lineari ma un possono esistere tutti e 3 i tipi di stabilità in base allo storno ε.
Per esempio: il pendolo semplice perciò ciò da genera il moto è la componente tangenziale della forza peso.
- equilibrio semplicemente stabile
- equilibrio asintoticamente stabile
Invece sistemi lineari hanno un solo punto di stabilità. Infatti la stabilità è una proprietà del sistema non del singolo punto
DEFINIZIONE DI STABILITÀ PER SISTEMI LTI
- Un sistema LTI si dice asintoticamente stabile se e solo se applicando una perturbazione di durata limitata l'uscita del sistema tende asintoticamente a 0 cioè se
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