Appunti Controlli Automatici

Sistemi di Controllo

• Strumenti Matematici per l’Analisi dei Sistemi Dinamici

I modelli matematici adottati per lo studio dei sistemi di controllo potranno essere di due seguenti tipologie:

• I modelli in forma geometrica.
• I modelli in forma differenziale.

Sistemi in Forma Geometrica

I sistemi in forma geometrica risultano descrivibili per mezzo di una matrice quadrata del tipo:

A: [ n x n ]

Associata alla matrice quadrata, esistono n numeri definiti autovalori e generichi autovettori legato all’autovalore (detta eq. caratteristica):

det[ λ I - A ] = 0

λⁿ + aₙ₋₁ λⁿ⁻¹ + ... + a₁ λ + a₀ = 0

In corrispondenza di ogni autovalore non nullo poi esisterà un vettore, definito “autovettore” definito come:

A x = λ x

→ soluzione non nulla dell’eq. caratteristica.

Sistemi in Forma Differenziale

I sistemi in forma differenziale risultano descrivibili per mezzo di un’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti del tipo:

dⁿy(t)/dtⁿ + aₙ₋₁ dⁿ⁻¹y(t)/dtⁿ⁻¹ + ... + a₁ dy(t)/dt + a₀y(t) = a(x)

*Nota: Il massimo numero di derivazione presente nell’eq. diff. è definito “ordine” (non “grado”), che ti riferisce ai polinomi.

Affinché un’equazione differenziale sia risolubile è necessario che essa sia considerata da tante condizioni iniziali quanto è l’ordine dell’eq. in esame.

y(t)|t=0 = y₀;   dy(t)/dt|t=0 = y₀;   dⁿ⁻¹y(t)/dtⁿ⁻¹|t=0 = y₀;

Analogamente a ciò che accadeva coi sistemi geometrici, anche coi sistemi differenziali sarà possibile ottenere un’autonomia risultando un’equazione caratteristica (ottenuta sostituendo un λ ad ogni derivata e con n pari all’ordine di derivazione):

λⁿ + aₙ₋₁ λⁿ⁻¹ + ... + a₁ λ + a₀ = 0

Trasformate Algebriche – Trasformata di Laplace

Una trasformata algebrica è un algoritmo matematico che permette di portare una funzione da un dominio ad un altro in modo da semplificarne lo studio matematico.

• Def: Trasformata di Laplace della termine

Si definisce trasformata di Laplace della funzione di tempo f(t), la funzione di dominio complesso F(s) data dalla formule della trasf. di Laplace:

F(s) = L{f(t)} = ∫₀^+∞ f(t)e^-st dt con t→0

Ottenuta dal seguente integrale:

F(s) = L{f(t)} = ∫₀^+∞ f(t)e^-st dt con t→0

*Nota: Il simbolo “L{...}” è definito operatore.

L'utilità dell'impiego delle trasformate di Laplace risiede nel fatto che:

• Sussiste una corrispondenza biunivoca fra la trasformata di una funzione e la funzione stessa.

Di conseguenza la funzione d'origine potrà essere sempre ricalcata dalla relativa trasformata tramite una operazione inversa:

• Def.: Antitrasformata di Laplace = trasformazione inversa del laplaciano e - restituita dal integrale:

(^c+j∞√_c-j∞) F(s) dz

L'adozione della tr. di Laplace ci permette di ottenere sistemi in forma algrebrica partendo da sistemi in forma differenziale. In questo modo si potranno eseguire la risoluzione algebrica, sotituire nel dominio per poi ricomputare i risultanti nel dominio temporale sfruttando l'antitrasformata.

• Sistema di eq. diff. lin. a coeff. costanti - Risoluzione diretta - Soluzione in dominio temporale
• Sistema di eq. alge. branch compreso - Risoluzione algebrica - Soluzione in dominio complesso

Teoremi sulle trasformate di Laplace

Proprietà di Linearità

• * Così: dipendono dal fatto che la tr. di Laplace è sostanzialmente il calcolo di un integrale definite.
• 1) y(z)₁ + y(z)₂ + ... y(z)_n L{y₁(t)} + L{y₂(t)} + ... L{y_n(t)}.

"La tr. di una somma algebrica di funzioni è uguale alla somma algebrica delle trasformate".

• 2) L{ky(t)} = kL{y(t)}

"La tr. del prodotto di una costante per una funzione è uguale al prodotto della costante per la tr. della funzione".

Teorema sulla trasformata di una funzione traslata nel tempo

Sia y(t) una funz. traslata nel tempo con ritardo t₀ allora la tr. è:

Dimostrazione

Si sostituisce x= t - t₀ alla relazione renduta dal teorema:

D.'_id₀ divido l'intervallo di integrazione:

Per le arbitri seguenti ipotesi risultano:

Antitrasformazione delle Funzioni Razionali

Come si è visto, applicando la trasformata di Laplace ad un’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti si ottiene una funzione razionale. Sorgeva quindi il problema di dover antitrasformare queste funzioni al di là delle astuzie offerte dalle trasformate notevoli.

• Dos: Funzione di trasferimento = funzione razionale fratta ottenuta dalla trasformazione di Laplace.

G(s) = N(s) / D(s)

• Dos: Disuguaglianza — Radici del numeratore N(s) e del denominatore D(s).
• Dos: Zero (Zi) — Radici del numeratore N(s) della funzione di trasferimento.
• Dos: Poli (Pi) — Radici del denominatore D(s) della funzione di trasferimento.

Procedimento di Antitrasformazione

1. Il primo passaggio è rappresentato dallo sviluppo della funzione secondo Heaviside:
   • Si scompone il denominatore in fattori (si dovrà quindi supporre tra vargo le radici del denominatore; ovvero i poli).
   • Si addizionano poi come tanti razionali quanti sono i fattori in cui si è scomposto il denominatore; i numeratori di queste frazioni sono costanti dette Ai: le Ai si determinano poi in base ai termini presenti al denominatore di ciascuna frazione. Vi saranno in particolare tanti fattori di condizione elevato ad un denominatore intero.

     Heaviside si congettò così di avere la funzione di trasferimento come un'addizione di "pratti semplici" (rimanendo del caso dei poli non multipli).

     G(s) = A₁ / (s - p₁) + A₂ / (s - p₂) + ... + A_n / (s - p_n)

2. I numeri Ai, ovvero le costanti al numeratore, potranno essere determinati in due modi alternativi:
   • Principio di identità dei polinomi
     1. Poli non multipli
        • Si esegue l’addizione dei "pratti semplici".
        • Si sommano eventuali monomi simili al numeratore.
        • Si uguagliano i monomi a sinistra e quelli a destra fra due parentesi.
        • Si troveranno i numeri Ai nell'eguaglianza ottenuta e quindi la funzione di trasferimento.
        • Si risolve quindi il sistema appena formato ottenendo i valori dei residui Ai.