Appunti Controlli Automatici

Sistemi di Controllo

• Strumenti Matematici per l'Analisi dei Sistemi Dinamici

I modelli matematici adottati per lo studio dei sistemi di controllo dottranno essere di due generiche tipologie:

• Modelli in forma geometrica;
• Modelli in forma differenziale.

• Sistemi in Forma Geometrica

I sistemi in forma geometrica risultano esprimibili per mezzo di una matrice quadrata del tipo:

A: [ n x n ]

Associata alla matrice quadrata, esistono n numeri definiti autovalori e ottenuti risolvendo l'equazione (detta equazione caratteristica)

det [ λI - A ] = 0 ➡ λ^n + a_n-1 λ^n-1 + ... + a₁ λ + a₀ = 0

In corrispondenza di ogni autovalore non nullo si esprime un vettore definito "autovettore" definito come:

λẋ = λx V | soluzione: non nulla dell'eq. caratteristica.

• Sistemi in Forma Differenziale

I sistemi in forma differenziale risultano esprimibili per mezzo di un’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti del tipo:

dⁿy(t)/dtⁿ + a_n-1 d^n-1y(t)/dt^n-1 + ... + a₁ dy(t)/dt + a_ly(t) = a_l(t)

*oss: il massimo numero di derivazione presente nell'eq. diff.e' repinito "ordine" (non "grado"), che di infei.e ai polinomi.

Affinché un' equazione differenziale sia risolvibile e' necessario che essa sia concordata da tante condizioni iniziali quanto l'ordine dell'eq. in esame:

y(t)_t=0 = y₀ , dy(t)/dt |_t=0 = y₁ , d^qy(t)/dt² |_t=0 = y_qq

Analogamente a cio' che accaddeva con sistemi geometrici, anche con i sistemi differenziali sara' possibile ottenere gli autovalori risolvendo l'equazione caratteristica (ottenuta sostituendo in λ ad ogni derivata e con n pari all'ordine di derivazione):

λ^n + a_n-1 λ^n-1 + ... + a₂ λ + a₁ λ + a₀ = 0

• Trasformate Algebrica: Trasformata di Laplaxe

Una trasformata algebrica e' un algoritmo matematico che permette di portare una relazione data dal dominio del tempo a quella dal dominio ex.[liar(■) inde looking a lo studio matematico.

• Def.: Si definisce trasformata di Laplace della funzione del tempo f(t) la funzione di dominio complesso solfacs pull zla trasf. di laplare.

f(t)⌣⇔ F(s)

F(s) = ℒ {f(t)} = ∫ e^-⌣t f(t) dt → t ➡ 0

Ottenuta dal seguente integrale:

F(⌣$) = ℒE{f(t)} = 0 ∫∞ e^-⌣t f(t) dt → t ➡ 0

* oss: il simbolo "ℒ{. . .}" e' detto opera^non un^function^ing laplaciano.

Sistemi di Controllo

• Strumenti Matematici per l'Analisi dei Sistemi Dinamici

  I modelli matematici adottati per lo studio dei sistemi di controllo rotabili essenzialmente due generiche tipologie:

  • I modelli in forma geometrica;
  • I modelli in forma differenziale.

• Sistemi in Forma Geometrica

  I sistemi in forma geometrica risultano descrivibili per mezzo di una matrice quadrata del tipo:

  A: [n x n]

  Associata alla matrice quadrata, esistono n numeri definiti autovalori e ottenibili risolvendo l'equazione (detta caratteristica):

  det [λI - A] = 0 → λⁿ + a_n-1λⁿ⁻¹ + ... + a₁λ + a₀ = 0

  In corrispondenza di ogni autovalore non nullo si estrae un vettore, detto appunto "autovettore", definito come:

  A X = λ X   X soluzione non nulla dell'eq. caratteristica.

• Sistemi in Forma Differenziale

  I sistemi in forma differenziale risultano descrivibili per mezzo di un'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti del tipo:

  dⁿy(t)/dtⁿ + a_n-1d^n-1y(t)/dt^n-1 + ... + a₁dy(t)/dt + a₀y(t) = a₀(t)

  *Os*: Il massimo numero di derivazione presente nell'equ. diff. è identificato “ordine” (non “grado”), che dipende inoltre ai coefficienti.

  Affinché un'equazione differenziale sia risolvibile è necessario che essa sia connotata da tante condizioni iniziali quanto è l'ordine dell'eq. in esame.

  y(t)_t=to = y₀ ; dy(t)/dt_t=to = y₁ ; dⁿy(t)/dtⁿ_t=to = y_n

  Analogamente a ciò che accorreva coi sistemi geometrici, anche con i sistemi differenziali sarà possibile ottenere un'autovano risolvendo l'equazione caratteristica (ottenuta sostituendo un λ ad ogni derivata e con n pari all'ordine di derivazione):

  λⁿ+ a_n-1λⁿ⁻¹ + ... + a₁λ + a₀ = 0

• Trasformate Algebriche: Trasformata di Laplace

  Una trasformata algebrica è un algoritmo matematico che permette di po